82	Лектор Садовец В.Ю.

1	2
	F D

C E	P	K
		2

G

rb1

	A	1
	rb2

	A
B	B
а)

Рисунок 15

Зацепление проходит без интерференции на участке СD, где точка D устремлена в бесконечность, как в реечном зацеплении. Активную линию зацепления определяют точки пересечения E, F линии зацепления с окружностями вершин зубьев. У колеса с внутренними зубьями вершины обращены к его центру.

При малой разнице в числе зубьев зацеплению угрожает интерференция второго рода. Она показана на виде б). При надлежащем выборе коэффициентов смещения и применении нестандартных исходных контуров указанной интерференции можно избежать, причём при разнице чисел зубьев даже на единицу.

Зубчатые передачи

В простейшем случае зубчатая передача имеет только два зубчатых звена. Нарис. 16 показанысхемыосновныхвидовтакихпередач:

а) цилиндрическая передача внешнего зацепления, б) цилиндрическая - внутреннего зацепления, в) коническая, г) червячная.

1	1	2	1	1

2

2	2

а)

б)

в)

г)

83	Лектор Садовец В.Ю.
Рисунок 16

Первые две - с параллельными осями колёс, третья - с пересекающимися, четвёртая - со скрещивающимися.

Основная задача кинематического анализа зубчатых передач состоит в определении передаточного отношения. Как и в плоском зацеплении, в любой передаче, состоящей из двух вращающихся звеньев, передаточное отношение, например, от первого звена ко второму:

u12=z2/z1.

(11)

Для передач с параллельными осями колёс имеет смысл знак передаточного отношения. Если колёса вращаются в одном направлении, то их скорости имеют одинаковые знаки, и передаточное отношение положительно. Если колёса вращаются в разные стороны, то, из того же рассуждения, передаточное отношение отрицательно.

Рядовые и ступенчатые передачи

Деление передач на рядовые и ступенчатые имеет смысл, когда они содержат более двух подвижных звеньев. На рис. 17, а, б показаны примеры рядовой и ступенчатой передач, соответственно.

Колёса рядовой передачи располагаются в одной плоскости или, иначе, в один ряд, отсюда и происходит название. В ступенчатой передаче каждая пара зацепляющихся колёс располагается в своей плоскости, образует свою ступень. На виде б): 1, 2 - первая ступень; 3, 4 - вторая.

			1	2	3	4
1	2	3	4

а)

б)

Рисунок 17

В рядовой передаче каждое звено содержит только одно зубчатое колесо. Номер звена и номер колеса совпадают. В ступенчатой передаче колёса 2 и 3 располагаются на одной ступени (одном валу), поэтому иногда они обозначаются номером вала, на котором они располагаются, и различаются по индексу, например 2′, 2′′ или 2а, 2б. Номер звена не проставляется, так как содержится в обозначениях колёс.

84	Лектор Садовец В.Ю.

Рядовая и ступенчатая передачи образуют класс передач с неподвижными осями колёс. Для любой такой передачи передаточное отношение от первого звена к последнему, n-му, равно произведению промежуточных передаточных отношений. Это правило выражается формулой

u1,n = u1,2 u2,3 ... un-1,n , (12)

где индексы указывают номера звеньев. Для доказательства справедливости формулы представим каждое u в виде отношения скоростей:

ω1 = ω1 ω2 Lωn−1 .

ωn ω2 ω3 ωn

После сокращений уравнение обращается в тождество, что и доказывает справедливость формулы (12). Формула справедлива для любой последовательной цепи механизмов. При этом uij (здесь и далее запятую опускаем) есть передаточное отношение отдельного механизма.

Применим формулу (12) к передачам, изображённым выше. Для рядовой передачи

u =u u u				z	2		−	z	3		−	z	4		=−	z	4	.
		=	−
				z				z				z
14 12 23	34								2				3			z
					1												1

85	Лектор Садовец В.Ю.

Для ступенчатой передачи

				z2′			z3			z2′z3
	u =u u =		−			−			=		.
				z			z
	13 12 23									z z
			1				2′′			1 2′′

Результаты показывают, что передаточное отношение рядовой передачи зависит от чисел зубьев только крайних колёс. Ступенчатая передача не обладает таким свойством. Знак «минус» в передаточном отношении u14 показывает, что колёса 1, 4 вращаются в разные стороны.

Планетарные передачи

Планетарными зубчатыми механизмами называются такие механизмы, у которых ось хотя бы одного зубчатого колеса является подвижной, то есть перемещается в пространстве (рис. 18).

На рис. 18, а изображена схема наиболее распространенного планетарного зубчатого механизма, состоящего из четырех звеньев.

	3				3
	2				2
ω	1	H	ωН	ω1	1	H	ωН
1

а) б)

Рисунок 18

Колесо 1 имеет неподвижную ось вращения и называется центральным (или солнечным). Колесо 2 с подвижной осью называется планетарным или сателлитом (отсюда происходит название механизма). Колесо 3, жестко соединенное со стойкой, является неподвижным и называется опорным. Звено 4, в котором помещена ось сателлита 2, выполнено в виде рычага и называется водилом. На всех схемах водило принято обозначать буквой Н (от немецкого слова "Hebel" - рычаг). Степень подвижности этого механизма равна единице (W = 1), поэтому передаточное отношение является постоянным (и = const ).

86 Лектор Садовец В.Ю.

Часто применяются планетарные зубчатые механизмы, у которых степень подвижности равна двум и более и которые опорного звена не имеют (все зубчатые колеса вращаются). Такие механизмы называются

планетарными дифференциальными механизмами (сокращенно диф-

ференциальными механизмами).

Схема дифференциального механизма показана рис. 18, б. Обычно в планетарных механизмах имеется несколько симметрично расположенных сателлитов, делается с целью выигрыша в размерах, разгрузки подшипников центральных колес, улучшения уравновешивания водила. Число сателлитов обозначается буквой К. При кинематическом расчете учитывается только один сателлит, так как остальные являются пассивными звеньями в кинематическом отношении.

Планетарный редуктор (или мультипликатор) можно превратить в дифференциальный механизм, если освободить неподвижное колесо 3 (рис. 18, а) и сообщить ему вращение. Наоборот, любой дифференциальный - механизм можно превратить в планетарный редуктор -закрепив одно (при W = 1), например, колесо 3 на рис. 18, б, или несколько (при W = 2) из его центральных -колес.

Это свойство обратимости в планетарных механизмax позволяет применять одинаковые методы проектирования и исследования любых сателлитных механизмов.

Анализ планетарных зубчатых механизмов сводится к определению передаточного отношения. Определить передаточное отношение можно двумя способами: построением картины линейных и угловых скоростей (графический метод) и аналитически.

Картина линейных скоростей (рис. 19, б) представляет собой совокупность линий распределения скоростей всех точек, лежащих на линии, проходящей по водилу. Для построения картины передача должна быть вычерчена в определённом масштабе. При этом начальные окружности могут быть заменены пропорциональными им делительными окружностями, на картину скоростей это не повлияет.

Зададимся скоростью в какой-нибудь точке, лежащей на линии водила, например в полюсе зацепления B колёс 1 и 2. Задаваемую скорость изобразим вектором BB′ произвольной длины. Колесо 1 вращается вокруг точки A. Соединив A и B′, получим линию распределения скоростей колеса 1, точнее, линию распределения скоростей тех точек колеса 1, которые лежат на линии АВ.

Скорость в точке В сателлита такая же, как в точке В колеса 1. Сателлит катится без скольжения по колесу 3. Точка D является мгновен-

87 Лектор Садовец В.Ю.

ным центром вращения сателлита. Соединяя D и B′, получим линию распределения скоростей сателлита. С помощью этой линии найдём скорость СС′ в центре сателлита.

Скорость на подвижном конце водила такая же, как в центре сателлита. Водило вращается вокруг точки А. Соединяя А и С′, получим линию распределения скоростей водила. На этом построение картины линейных скоростей завершено. Эта картина считается завершённой, когда на ней есть линии распределения скоростей всех подвижных звеньев.

	3	Рис. 2.20	E'		E
	2		3		D ω2
				C		C'
			2				ω1
	1	H	1 B		BH	B'
				A			ω2 ωH

ω1	e′	e b	bH	b′
		d a

	а)	б)	в)

Рисунок 19

С помощью построенной картины можно быстро и надёжно определить скорость любой точки передачи. Например, скорость точки В водила равна ВВН. Разумеется, речь идёт о графическом значении скорости. Зная истинное значение одной из скоростей, можно определить масштаб всей картины, а через него – истинные значения других скоростей.

Если все линейные скорости отнести к одному и тому же расстоянию r от центра вращения, то на основании известной формулы v=ωr эти линейные скорости можно будет рассматривать как угловые. В качестве r выберем AB и покажем соответствующие скорости (рис. 19, в). Для единообразия, которое окажется полезным в дальнейшем, r будем откладывать вверх от центра вращения.

Скорости колеса 1 и водила Н на расстоянии AB уже показаны. Скорость сателлита на расстоянии DE=AB изобразится вектором ЕЕ′, упирающимся в продолжение линии DB′. Теперь можно утверждать, что отрезки BB′, BBH, EE′ являются графическими значениями угловых скоростей ω1, ωH, ω2, соответственно.

Для определения угловых скоростей нам пришлось усложнить картину линейных скоростей. Чтобы этого избежать, картину угловых ско-

88 Лектор Садовец В.Ю.

ростей строят отдельно. Для этого откладывают произвольный вертикальный отрезок ab (рис. 19, в). Через b проводят горизонтальную прямую. Из a проводят лучи, параллельные линиям распределения скоростей. В результате построений образуются прямоугольные треугольники abb′, abbH, dee′, подобные одноимённым треугольникам картины линейных скоростей. Из подобия следует, что горизонтальные катеты bb′, bbH, ee′пропорциональны угловым скоростям ω1, ωH, ω2, соответственно. Зная одну из угловых скоростей, можно определить масштаб всей картины.

Чаще всего приходится определять u1H, т.е. передаточное отношение от колеса 1 к водилу. По картине угловых скоростей u1H = bb′/ bbH. По картине линейных скоростей u1H = BB′/BBH.

Выведем формулу, выражающую передаточное отношение через числа зубьев(аналитическийметод).

Сообщим всем звеньям механизма угловую скорость -равную по величине и противоположную по направлению угловой скорости водила ωH (рис. 20). Тогда водило становится неподвижным, и механизм из пла-

нетарного обращается в обычный двухступенчатый с неподвижными осями. Такой механизм называется обращенным. Для обращенного механизма передаточное отношение будет равно произведению передаточных отношений отдельных ступеней:

			z2							z3
Н						z3
и13		−	z						= − z		(13)
	=				z		2
			1						1

-ωH

3

2

1

ω1+(-ωH)

Рисунок 20

Передаточное отношение обращённого механизма через отношение угловых скоростей будет определять по выражению:

u( H ) =	ω( H )	=	ω		+( −ω	H	)	=−u	+1.	Отсюда
	1			1	−ωH
13	ω(3H )							1H
				u =1−u( H ) .						(14)
					1H		13

89	Лектор Садовец В.Ю.

Как показывает формула, передаточное отношение от центрального колеса к водилу равно единице минус передаточное отношение обращённого механизма.

Подставив выражение (13) в (14) получим
u1H =1+ z3 /z1.	(15)

На этом задача решена. Формула 15 (формулы Виллиса) применима и к более сложным планетарным механизмам. При этом вся задача сводится к выражению u13( H ) через числа зубьев.

Если же движение передается от водила Н к колесу 1 (передача с быстроходным водилом), то общая формула для определения передаточного отношения соответственно примет следующий вид:

	и3	=	1	=		1	(16)
			и3		1−иН
	Н1
			1Н		13