5	Лектор Садовец В.Ю.

Пусть механизм содержит высшую пару, у которой оба элемента а -а и b -b очерчены произвольными кривыми (рис. 5, а).

		B	2		2		B	2
				3
		b	D n		D
	a						3		D
	C
			b				C
n K a				C
							1
1		A		1
			а)		б)	в)	A г)

Рисунок 5

Через точку К касания элементов проведём к ним нормаль n -n. Отметим центры C, D кривизны элементов. Центры кривизны всегда лежат на нормали, намостаетсялишьуточнитьихположение.

Введем звено 3, шарнирно связанное в точках C и D со звеньями 1, 2 (рис. 5, б). Покачивая звенья 1, 2 из стороны в сторону, обнаружим, что звено 3 не препятствует небольшим, теоретически – бесконечно малым, перемещениям звеньев 1, 2. Удалим элементы высшей пары (рис. 5, в). При этом соотношение бесконечно малых перемещений звеньев 1, 2 не изменится. Сжав звенья до толщины линии, получим заменяющий механизм, не содержащий высших пар (рис. 5, г).

С помощью такого эквивалентного механизма можно определять только скорости и ускорения.

Определение числа избыточных связей

Как известно из теоретической механики, связь это такое ограничение

(препятствие), которое отнимает у движущегося тела одну степень свобо-

ды. Рассмотрим связи кинематических пар одного из кулачковых механизмов

(рис. 6, а).

		6
	y
0		w0=3
2	yA	ϕ
		A
	1
		xA	x
а)		б)
		Рисунок 6

Лектор Садовец В.Ю.

	w=2
yA	A
	xA
	в)

Определим, сколько степеней свободы теряет звено 2 в результате присоединения к звену 1. Для этого изобразим пару отдельно от механизма. Звено 1 примем за неподвижное. Звено 2 покажем сначала в отсоединённом, затем в присоединённом состоянии (рис. 6, б, в).

Число степеней свободы любой механической системы равно минимальному количеству координат, «замораживание» которых лишает систему подвижности относительно выбранной системы отсчёта. В качестве систе-

мыотсчётапримемосиx, y, неизменносвязанныесозвеном1.

В отсоединённом состоянии звено 2 может совершать любые движения, оставаясь в своём двумерном пространстве (в плоскости чертежа). При этом оно обладает тремя степенями свободы (w0 =3). Степеням свободы соответствуют, например, координаты xA, yA, ϕ.

В присоединённом состоянии звено 2 может совершать тоже любые движения, но без отрыва от звена 1. При этом оно обладает двумя степенями свободы (w=2). Их определяют координаты xA, yA.

вывод: одна точка касания, допускающая взаимное скольжение звеньев, отнимает одну степень свободы и, следовательно, порождает одну связь.

Если точек касания больше одной, то при последовательном введении лишь некоторые из них будут уменьшать число степеней свободы. Точки касания, влияющие на число степеней свободы, назовём активными, а не влияющие - пассивными. Точно так же будем называть и связи, порождённые этими точками.

Во вращательной паре 0-1 число точек касания бесконечно велико. Урезанием одного из звеньев удалим из этой пары все точки касания

(рис. 7, а).

	7	Лектор Садовец В.Ю.
1
0		B ϕ
	A	A
а)	б)	в)

Рисунок 7

Возвратим контакт сначала в точке A, затем в B (рис. 7, б, в). После каждой точки число степеней свободы звена 2 будет уменьшаться на единицу. Возвращение контакта в остальных точках не повлияет на число степеней свободы, следовательно, связи в точках A и B активные в остальных - пассивные. Вместо A и B могут быть выбраны другие точки, но активными будут только две.

В поступательной паре число точек касания тоже бесконечно велико. Действуя тем же методом, найдём, что и эта пара имеет две активные связи, например, в точках C и D (рис. 8).

Активные связи могут быть расположены как с одной, так и с разных сторон звена 2.

		2
0	D		D
	C	h	C

Рисунок 8

Из проведённого анализа следует, что число активных связей s=w0 - w. Для любого звена, находящегося в двумерном пространстве, w0 =3, поэтому число активных связей s=3-w. Преобразуя данное выражение, по-

лучим уравнение подвижностей и связей кинематической пары двумер-

ной модели механизма:

w s	=3	.	(1)
+

Во вращательной и поступательной парах число степеней свободы w=1. Его определяют координаты ϕ и h, соответственно. При этом, согласно уравнению (1), s=2. Это максимально возможное число связей, т. к. при s=3, w=0. Нулевая подвижность означает, что пара становится неподвижной, - не кинематической.

8	Лектор Садовец В.Ю.

Сделаем два замечания. Первое. Судя по вращательной и поступательной парам, все низшие пары в двумерных моделях имеют по две активные связи. Второе. Введение каждой активной связи уменьшает число степеней свободы ровно на единицу, удаление - на столько же увеличивает его.

Связи механизма

В общем случае активные связи пар могут быть поделены на активные и пассивные для механизма. Продемонстрируем новое деление связей на примере двумерной модели клинового механизма (рис. 9, а).

Число степеней свободы механизма равно единице. Это число определяет, например, координата x. Очистив все пары от собственных пассивных связей, получим схему с тем же числом степеней свободы

(рис. 9, б).

Связи в точках A, B, C и т.д. являются активными для пар. Урезанием одного из звеньев удалим активную связь, например, в точке F. После удаления число степеней свободы механизма останется прежним, следовательно, связь в точке F пассивная для механизма (рис. 9, в).

Удаление ещё одной связи привело бы к увеличению числа степеней свободы, следовательно, оставшиеся пять связей являются активными для механизма.

а)	2	б)	в)
		C	C
0		D	D
	1 A	B E F A	B E
	x

Рисунок 9

Пассивные для механизма связи называют избыточными, повторяющимися, дублирующими или, просто, лишними.

КЛАССИФИКАЦИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАР

Одним из основных характерных свойств кинематических пар является количество простейших относительных движений, которых лишаются звенья механизма при соединении их в кинематические пары.

w + s = 6

9	Лектор Садовец В.Ю.

Известно, что свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы в пространстве. Произвольное перемещение его можно определить как результат независимых движений: трех поступательных параллельно осям координат и трех вращательных вокруг этих осей (рис. 10).

z

O

x

y

Рисунок 10

Взависимости от вида соединений звеньев механизма одно из них может совершать относительно другого одно, два, три, четыре или пять движений из шести, перечисленных выше.

Впространственных механизмах уравнение подвижностей и связей кинематической пары примет вид

(2)

Существует две классификации кинематических пар. Академиком И.И. Артоболевским введена классификация, согласно которой все пары делятся на пять классов в зависимости от числа связей s. В.В. Добровольский предложил классифицировать кинематические пары по родам, в зависимости от числа относительных движений звеньев, т.е. числа степеней свободы w.

Классификация кинематических пар (КП) приведена в таблице 1. Если сравнить две рассмотренные классификации то увидим, что

пары первого рода по Добровольскому это пары пятого класса по Артоболевскому. Пары второго родаэто пары четвертого класса. Пары четвертого род это пары второго класса, а пары пятого рода соответствуют парам первого класса.

Можно пользоваться любой из этих классификаций, так как они равнозначные.

Таблица 1

			10	Лектор Садовец В.Ю.
№ s w	Класс	Род	Название КП	Схематическое	Условное обозна-
	КП	КП		изображение КП	чение

1 1 5 1

5 Шар–плоскость

2	2	4	2	4	Шар–цилиндр
3	2	4	2	4	Цилиндр–
					плоскость
4	3	3	3	3	Плоскостная
5	3	3	3	3	Шаровая
					(сферическая)
6	4	2	4	2	Шаровая со
					штифтом
7	4	2	4	2	Цилиндрическая
8	5	1	5	1	Вращательная
9	5	1	5	1	Поступательная
10	5	1	5	1	Винтовая

11	Лектор Садовец В.Ю.

Следует пояснить, почему винтовая пара, звенья которой совершают два движения, относится к парам первого рода (пятого класса). Дело в том, что оба перемещения (вдоль и вокруг какой-либо оси) связаны между собой определенной зависимостью, и независимым считается только одно из них, а род пары определяется по числу только независимых относительных движений звеньев, образующих пару.

Степень подвижности механизма

Число степеней свободы кинематической цепи (структурной схемы механизма) относительно одного из звеньев называют степенью подвижности. Для определения степени подвижности (числа степеней свободы) кинематической цепи w необходимо из общего числа степеней свободы всех подвижных звеньев вычесть число связей, накладываемых на относительное движение звеньев кинематическими парами, которые связывают звенья. Пусть п – число подвижных звеньев пространственного механизма; рi – число кинематических пар i -го класса (i =1,...,5). Тогда 6n –

общее число степеней свободы п звеньев цепи, считая их не связанными между собой, а iрi – общее число связей, наложенных на звенья механиз-

ма кинематическими парами i -го класса.

Структурная формула пространственного механизма (формула Со- мова-Малышева) будет иметь вид:

w = 6n −5 p5 −4 p4 −3 p3 −2 p2 − p1

(2)

Формула (2) показывает, какому количеству звеньев кинематической цепи должно быть задано движение (т.е. сколько должно быть ведущих звеньев), чтобы движение остальных было однозначно определимым.

В плоских механизмах кинематические пары 1-го, 2-го и 3-го класса не применяются, поэтому структурная формула (формула Чебышева) примет вид:

w = 3n −2 p5 − p4

(3)

При определении w учитываются все без исключения степени сво-

боды механизма. Различают основные и местные степени свободы. Ос-

новными называются те, без которых механизм не может выполнять возложенное на него преобразование движения. Все остальные степени свободы относятся к местным.