16	Лектор Садовец В.Ю.

Для лучшего восприятия схемы звенья 2, 3 показаны на этой проекции немного повёрнутыми. Построение схемы по третьему варианту раскладки связей рассматривать не будем, поскольку возникающие там проблемы аналогичны рассмотренным.

Все три варианта раскладки связей получены из условия w=1, n=3. Задаваясь другими значениями этих величин, возможности синтеза значительно расширяют.

Метод деформации. Избыточные связи, обнаруженные методом деформации устраняют либо путём замены кинематических пар на более подвижные, либо путём разрезания звеньев и подвижного соединения их частей. Последнее означает, что избыточные связи усматривают не в кинематических парах, а в сечениях звеньев. Любое сечение трёхмерной модели имеет первоначально шесть связей. Вдвумерной модели - три.

При замене или введении кинематических пар следят за тем, чтобы они предоставляли конечному звену разрезанной цепи необходимую свободу.

Группы Ассура

Метод классификации плоских механизмов и принципы их построения были разработаны русским ученым Л.В. Асуром. Практическое значение классификации заключалось в том, что она давала возможность устанавливать соответствие степени сложности механизма (его класса) методам его исследования и построения.

Построение механизма по Асуру состоит в последовательном присоединении к ведущим звеньям и стойке особых кинематических цепей, называемых структурными группами или группами Ассура, без изменения числа степеней свободы механизма в целом. Группа Ассура –

кинематическая цепь с нулевой степенью подвижности относительно тех звеньев, к которым она присоединяется своими элементами и которая не распадается на более простые кинематические цепи с нулевой степенью подвижности.

Рассмотрим принцип построения механизмов методом наслоения групп Ассура на примере плоского механизма с одной степенью свободы, у которого положение всех звеньев определяется заданием одной обобщенной координаты ϕ (рис. 15,а).

Требуется построить схему при некотором новом значении угла ϕ между звеном 1 и стойкой 0. Попутно заметим, что звено 1 и 0, по классификации Ассура, образуют начальный механизм 1-го класса.

17	Лектор Садовец В.Ю.

Скопируем стойку и звено 1, расположив последнее под заданным углом ϕ′ к стойке (рис. 15,б). Отметим, что звено, с которого начинается построение схемы, называется начальным.

Чтобы решить, какие звенья пристроить в первую очередь, вообразим, что механизм собирается из разрозненных звеньев, причём начальный механизм уже собран и угол ϕ′ «заморожен». В результате замораживания начальный механизм превращается в одно твёрдое тело Φ1 (рис. 15,в).

По исходной схеме механизма выберем такую простейшую цепь, которая после сборки с телом Φ1, занимала бы относительно него определённое положение или, говоря иначе, не могла бы двигаться. Перебрав все цепи, находим, что нужным свойством обладает только цепь 2-3. С неё и продолжим построение.

		C		5
	4
				D
B			G	B
	F	2			F
				3
1					ϕ′
	ϕ	0		1		0

A	E	A	б)	E
	а)	C
	D		5	D
		4

	F 2 G	3	B
		E	Φ2
Φ1	в)		г)

Рисунок 15 Положение цепи 2-3 определённо, а значит и определимо. Разъеди-

нив цепь в точке G, найдём, что возможные траектории разъединённых концов звеньев, т.е. точек G2, G3, представляют собой окружности радиусов FG и EG, соответственно. Исходя из этого, на пересечении траекторий найдём положение шарнира G. Траектории разъединённых концов звеньев называются геометрическим местом этих концов. Отсюда метод определения положения точки G называется методом геометрических мест.

Соединив точку G с F и E, найдём положение звена 2 и одной стороны звена 3. Две другие стороны этого звена построим путём копирования звена с исходной схемы. Это можно сделать аналогично построению

18	Лектор Садовец В.Ю.

цепи 2-3, т.е. из точек G и E провести дуги радиусов GD, ED и на пересечении этих дуг найти точку D.

Несмотря на общность приёмов, используемых при построении треугольников EFG и EGD, построение первого из них не было копированием одноимённого треугольника исходной схемы механизма. Копирование, как менее творческая задача, не выделяется в отдельный этап. На этом основании вторым этапом построения схемы считается построение цепи 2-3 полностью.

Построенный механизм превратим в одно твёрдое тело Φ2 (рис. 15,г). Мысленно присоединив цепь 4-5, найдём, что её положение определённо, а значит и определимо. Задача определения положения цепи 4-5 решается аналогично предыдущей, поэтому останавливаться на ней не будем.

Если для каждого момента времени определимо положение цепи, то определимы скорости, ускорения и любые другие характеристики движения. На этом основании, цепи, положение которых определимо на каждомданном этапепостроениясхемы, называютсякинематическиопределимыми.

Первой группой Ассура в рассматриваемом механизме является цепь 2-3, второй - цепь 4-5. Нетрудно видеть, что если бы схема механизма строилась, начиная со звена 3, то первой группой Ассура была бы цепь 1-2. Второй по-прежнему осталась бы цепь 4-5.

Чтобы выявить закономерности строения групп Ассура, рассмотрим каждую из них как надстоечную часть особого механизма, стойкой которого является предшествующий механизм, превращённый в твёрдое тело Φ. У надстоечной части число степеней свободы w=0. Чтобы ограничить круг возможных решений, примем, что в надстоечной части, т.е. в группе Ассура, число избыточных связей q=0. После подстановок получим s=3n. Число связей представим в виде s=p1+2p2, где p1, p2 - количество кинематических пар с одной и двумя активными связями. Полагая, что все высшие пары предварительно заменены низшими, двухсвязными, получим p1=0. С учётом этого допущения имеем 2p2=3n. Отсюда

p2=3n/2.

Последнему уравнению удовлетворяют лишь чётные n, т. к. p2 может быть только целым. Соглашаясь на это, получим следующую таблицу структурных параметров групп Ассура:

n	2	4	6
p2	3	6	9

19	Лектор Садовец В.Ю.

Сокращая круг возможных решений и далее, будем считать, что все пары вращательные. Тогда при n=2 можно построить только одну разновидность групп Ассура (рис. 16,а).

а)		б)	3		2	в)
1	2		4			3
				1
Φ	1		2			4
		Φ
						Φ

Рисунок 16

Её называют двухповодковой. Из двухповодковых групп образован механизм, показанный на рис. 16, а. На первый взгляд кажется, что группа 2, 3 этого механизма не вписывается в приведённую выше таблицу сочетаний n-p2, т. к. имеет четыре шарнира вместо трёх. Противоречие устраняется, если вспомнить, что при выводе этих сочетаний учитывались только те кинематические пары, которые образованы звеньями группы между собой и с предшествующим механизмом. В данном случае это шарниры E, F, G.

При n=4 возможны две разновидности групп Ассура (рис. 16, б, в). Первая из них называется трёхповодковой - по числу поводков 1, 2, 3. У второй нет столь выразительного названия. Существует предложение относить изображенные группы ко второму, третьему и четвёртому классу, соответственно.

Шарнирные разновидности групп Ассура называются основными. Прочие разновидности или модификации получаются путём замены вращательных пар на поступательные. Покажем, как выглядят в общем случае все модификации двухповодковой группы (рис. 17).

а)			б)				в)

г)

д)

е)

Рисунок 17

20	Лектор Садовец В.Ю.

Пример, показанный рис. 17, показывает, что присоединение групп Ассура не меняет числа степеней свободы механизма. Это позволяет образовывать механизмы с заданным числом степеней свободы путём наслоения групп Ассура. При этом необходимо и достаточно, чтобы начальный механизм обладал числом степеней свободы конечного.

21	Лектор Садовец В.Ю.

Кинематический анализ механизмов

Задачи и методы кинематического анализа

Кинематический анализ механизмов состоит в определении движения звеньев с геометрической точки зрения без учета сил, вызывающих это движение. При этом должны быть заданы: схема механизма, размеры его звеньев и законы движения начальных звеньев. Если, например, начальным звеном в механизме является кривошип, то его законом движения обычно является равномерное вращение вокруг неподвижной оси. В

22	Лектор Садовец В.Ю.

этом случае задается либо частота вращения кривошипа n, либо угловая скорость ω.

В результате кинематического анализа должны быть последовательно определены:

1)положения звеньев и траектории движения отдельных точек механизма;

2)линейные скорости отдельных точек и угловые скорости звеньев;

3)линейные ускорения отдельных точек и угловые ускорения звень-

ев.

Кинематический анализ ведется в следующем порядке:

1 сначала исследуется движение начального звена (начальных звеньев); 2 выполняется кинематический анализ отдельных групп Ассура в

порядке их присоединения при образовании механизма (порядок определяется по структурной формуле механизма). Кинематическое исследование механизмов можно производить как

аналитическими методами, так и графоаналитическими. Графоаналитические методы отличаются наглядностью, относи-

тельной простотой, но не дают точных результатов.

Аналитические методы предпочтительнее в тех случаях, когда нужно провести систематическое углубленное исследование какого-либо механизма с высокой точностью результатов. Кроме того, аналитические методы позволяют выявить взаимосвязь кинематических параметров механизма с его метрическими параметрами (размерами звеньев).

Применение аналитических методов затруднялось сложностью и трудоемкостью получаемых расчетных уравнений, но благодаря внедрению в инженерную практику ЭВМ, в настоящее время аналитические методы кинематического анализа механизмов находят все большее применение.

Кинематический анализ механизмов (графический метод)

Основным методом графоаналитического исследования является метод построения планов положений, скоростей и ускорений механизма, предложенный в 1870 году немецким ученым Отто Мором (1835-1918).|

ПЛАНОМ МЕХАНИЗМА называется графическое изображение взаимного расположения звеньев, соответствующее выбранному мо-

менту времени. Построение плана механизма следует начинать с изобра-

23	Лектор Садовец В.Ю.

жения по заданным координатам неподвижных элементов звеньев; неподвижных точек и направляющих. Затем чертится начальное звено в одном из положений. Потом определяются положения звеньев групп Ассура. В группах Ассура второго класса положения звеньев находятся элементарным методом засечек с помощью циркуля и линейки.

Для механизмов циклического действия, у которых один оборот начального звена совпадает с периодом кинематического цикла, обычно строят двенадцать планов механизма на одном чертеже.

Для получения траекторий движения точек механизма нужно соединить положения этих точек на всех планах механизма плавной кривой. Для определения величины и направления скоростей и ускорений отдельных точек механизма строят планы скоростей и ускорений.

ПЛАНОМ СКОРОСТЕЙ (УСКОРЕНИЙ) ЗВЕНА называется графическое построение, представляющее собой пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости (ускорения) точек звеньев механизма, а отрезки, соединяющие концы лучей - относительные скорости (ускорения) соответствующих точек при заданном положении звена.

ПЛАНОМ СКОРОСТЕЙ (УСКОРЕНИЙ) МЕХАНИЗМА назы-

вается совокупность планов скоростей (ускорений) всех звеньев механизма с одним общим полюсом. На плане скоростей полюс обозначается буквой Р, на плане ускорений буквой π.

Построение планов скоростей и ускорений основано на графическом решении векторных уравнений распределения скоростей и ускорений.

Теоретические основы построения планов скоростей и ускорений излагаются в курсе теоретической механики.

При построении планов механизма, а также планов скоростей и ускорений пользуются масштабными коэффициентами, показывающими, сколько единиц той или иной величины приходится на один миллиметр отрезка, изображающего эту величину. Масштабный коэффициент обозначается буквой μ с соответствующим индексом:

μl - масштабный коэффициент длин, м/мм;

μV - масштабный коэффициент линейных скоростей точек, м/с мм; μa - масштабный коэффициент линейных ускорений точек, м/с2

•мм.

Масштабные коэффициенты определяются следующим образом:

μ		=	lAB , м	; μ	= VB , м c	; μ	a	=	aB , м c2	.	(1)
	l		AB, мм	V	Pb, мм				πb, мм

где lAB - действительная длина звена АВ, м;

24 Лектор Садовец В.Ю.

АВ- длинаотрезка, изображающегоданноезвенонаплане, мм; VB - модуль скорости точки В, м/с;

Pb - длина отрезка, изображающего скорость этой точки на плане скоростей, мм;

аB - модуль ускорения точки В, м/с2;

πb- длина отрезка, изображающего ускорение этой точки на плане ускорений, мм.

Иногда графические значения отрезков, изображающие физические величины, выделяются ломаными скобками. Например πb - длина от-

резка, изображающего ускорение этой точки на плане ускорений, мм. При построении планов скоростей и ускорений используют теорему

подобия.

Теорема. Точки на звене и концы их скоростей и ускорений на соответствующем плане образуют геометрически подобные и сходственно расположенные фигуры.

Сходственность расположения означает одинаковость взаимного положения точек, или возможность вписывания фигур друг в друга после перемещения одной из них в плоскости чертежа.

Пример 1. Дана кинематическая схема кривошипно-ползунного механизма (рис. 1,а), также известны угловая скорость ω1 и угловое ускорение ε1 звена 1. Для изображенного положения требуется определить скорость и ускорениеточекB, C, S1 иS2.

Планскоростей. Дляупрощениязадачипринимают: ω1 = const, тогдаε1 = 0. СкоростьточкиВопределяютнепосредственнопоисходнымданным:

Vb = ω1 lAB

(2)

		25		Лектор Садовец В.Ю.
	y	B	ω	Vcb
		S2
	S1		2

ω1		Vc
A	Vb	x
		C, S3
	а)	Vb

р

Vc

с

VS2 Vcb

s2 Рис. 1

б) Vb

b

Для определения скорости точки С связывают с точкой В систему координат Bxy, движущуюся поступательно, например, так, что ось x остаётся горизонтальной. Систему Bxy принимают за носитель звена 2. При этом движение звена 2 состоит из поступательного вместе с системой и вращательного – вокруг В – относительно системы.

При составном движении абсолютная скорость любой точки переносимого звена, в данном случае точки С звена 2, равна геометрической сумме скорости точки С, неизменно связанной с системой Bxy, и скорости точки С звена 2 относительно системы. Отсюда следует уравнение:

		C2 =		CBxy +		C2 Bxy .	(3)
	V		V		V

Скорость точки С звена 2 равна скорости всего шарнира С, поэтому V C2 заменяют на искомое V C . По свойству поступательного движения скорость точки С, неизменно связанной с системой Bxy, равна скорости шарнира В, поэтому неизвестную V CBxy заменяют на известную V B . Гро-

моздкое обозначение

V

C2 Bxy заменяют на более простое –

V

CB . После

всех замен уравнение (3) принимает вид:

C =

B +

CB .

(4)

V

V

V

||AC AB BC

На рис. 1,б показан план скоростей, построенный по векторному уравне-

нию 3, на котором скорость точки S2 определена по теореме подобия. Угловая

скоростьзвена2 определяетсяпоформуле ω2 =Vcb

lBC

.

26

Лектор Садовец В.Ю.

Направление скорости ω2 определяют переносом вектора V cb по

принадлежности в точку С. Вектор «вращает» звено 2 вокруг В против

часовой стрелки, туда же направлена скорость ω2.

План ускорений. Ввиду криволинейности траектории точки В её уско-

рение имеет нормальнуюитангенциальнуюсоставляющую:

ab = abn +aτb

(5)

||АВ AB

Нормальное ускорение точки

В будет определяться an = ω2

l

AB

. Так

b

1

как звено 1 совершает равномерное вращательное движение, следовательно

ε1 = 0 . ТангенциальноеускорениеточкиВравно aτb = ε1 lAB = 0 .

Таким образом, выражение (5) приметвид ab = abn

(рис. 2,а).

Ускорение точки С определяют из того же разложения движения зве-

на 2, что и при определении скорости. В связи с этим получаем:

aс = ab

+ acbn

+ aτcb

(6)

||АC ||AB ||ВС BC

где аτcb

- тангенциальное ускорение точки С во вращательном дви-

жении звена ВС вокруг точки В; нормальная составляющая этого ускоре-

ния а

n

V 2

.

cb

= cb

lBC

y

B

ε2

асb

S1

аb

S2

τ

ω1

n

асb

аc

асb

A

x

C, S3

аb

а)

с

аc

π

τ		аS2	аb
	s2
асb			б)
	асb
			Рис. 2
	аn
	сb	b

27	Лектор Садовец В.Ю.

На рис. 2,б представлен план ускорений, выполненный по векторному уравнению 5, на котором ускорение точки S2 определено по теореме подобия. Угловое ускорение звена 2 определяется по формуле

ε2 = aτcb lBC .

Направление ускорения ε2 определяют переносом вектора aCBτ по принадлежности в точку С. Вектор «вращает» звено 2 вокруг В по часовой стрелке, туда же направлено ускорение ε2.

Пример 2. Дана кинематическая схема шарнирного четырёхзвенного механизма (рис. 3,а), также известны угловая скорость ω1 и угловое ускорение ε1 звена 1. Для изображенного положения требуется найти скорость и ускорение точек B, C, S1, S2 и S3.

План скоростей. Скорость точки В, выбранной за полюс, определяет-

ся

Vb = ω1 lAB

(7)

Скорость точки С определим по векторному уравнению

	Vc =Vb +Vcb		(8)
	СD AB BC
			Vb
Vb	ω2	C	Vc
	S2

B

y

S1

ω1

A

S3	Vcb
	ω3
D	x

а)		b
Vb		Vcb
р	VS2	s2	Рис. 3
б)	Vc		с

На рис. 3,б показано графическое решение векторного уравнения 7, на котором скорость точки S2 определена по теореме подобия. Угловая

	28			Лектор Садовец В.Ю.
скорость звена 2 определяется по формуле ω2				=Vcb	, а угловая ско-
	=Vc				lBC
рость звена 3 по выражению ω			.
3		lCD
Направление скорости ω2	определяют переносом вектора						cb по
						V

принадлежности в точку С. Вектор «вращает» звено 2 вокруг В по часовой стрелке, туда же направлена скорость ω2. Направление скорости ω3

определяют также, но переносом вектора

V

c

по принадлежности в точку

С.

План ускорений. Нормальное ускорение точки В будет определяться

an = ω2 l

AB

. Так как звено 1 совершает равномерное вращательное движе-

b

1

точки В равно

ние,

следовательно ε1 = 0 . Тангенциальное

ускорение

aτb = ε1 lAB = 0 .

Звено 2 совершает сложное движение, а звено 3 вращательное во-

круг точки D. Поэтому ускорение точки С определиться по двум вектор-

ным уравнениям:

=

+

acbn

+

aτcb

(9)

aс

ab

||AB ||ВС BC

=

+

an

aτ

(10)

a

||СD CDс

c

c

Совместное графическое решение уравнений 9 и 10, позволяет определить ускорение точки С (рис. 4,б), при этом абсолютные величины нормального ускорения звена ВС и точки С, определяются по выражениям соответственно

а	n	V 2		и а	n	V 2		(11)
	cb	= cb	lBC		c	= c	lCD
Ускорение точки S2 определено по теореме подобия. Угловое ускорение звена
2 определяется по формуле ε2 = aτcb		, а угловое ускорение звена 3 ε3 = aτc							.
		lBC						lCD
Направление ускорения ε2		определяют переносом вектора aτ							по
							cb

принадлежности в точку С. Вектор «вращает» звено 2 вокруг В по часовой стрелке, туда же направлено ускорение ε2. Направление ускорения ε3

29	Лектор Садовец В.Ю.

определяют таким же способом, но переносят вектор acdτ по принадлежности в точку С.

		асb
		аn	аτсb
	ε2		C
		сb
	S2		аn
	B	ас τ	с
			аb
	y	ас	S3
	аb S1
	ω1		ε3
	A	D	x

аπ

ас	аn
с	с
аτс	а	аb
	S2
	n2
аτсb	s2	а
		сb
		b
n1	аn
	сb
	б

Рис. 4

30	Лектор Садовец В.Ю.

ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ

Динамический анализ – это раздел теории механизмов и машин, в котором изучается движение звеньев механизма под действием заданной системы сил. Основная цель динамического анализа заключается в установлении общих зависимостей между силами (моментами сил), действующими на звенья механизма, и кинематическими параметрами механизма с учетом масс (моментов инерции) его звеньев. Эти зависимости определяются из уравнений движения машины.

Основная задача динамики машин состоит в определении закона движения машины по заданным внешним силам.

Силы, действующие на механизм

Силы и пары сил (моменты), приложенные к механизму машинного агрегата, разделены, на пять групп.

1. Движущие силы FД (или пара сил с моментом МД ) – это си-

лы, элементарная работа которых на возможных перемещениях точек их приложения положительная. Движущие силы прикладываются к ведущим звеньям со стороны двигателей. Они предназначены для приведения машин в движение, преодоления сил сопротивления и осуществления заданного технологического процесса.

2. Силы сопротивления FС (или пары сил полезного сопротив-

ления с моментом МС ) – это силы, элементарная работа, которых на

возможных перемещениях точек их приложения отрицательна. Силы сопротивления препятствуют движению механизма. Они разделяются на силы полезного сопротивления FПС, МПС , для преодоления которых

предназначен рассматриваемый механизм, и силы вредных сопротивлений FВС , МВС , вызывающие непроизвольные затраты энергии движу-

щих сил. Силы полезного сопротивления обусловлены технологическими процессами. Обычно они прикладываются к выходным звеньям исполнительных органов машин. Силы вредного сопротивления – это в основном силы трения в кинематических парах и силы сопротивления среды.

3. Силы тяжести Gi , прикладываемые в центре тяжести звеньев, и

направленные вертикально вниз, могут быть полезными (или вредными), когда они способствуют (или препятствуют) движению механизма.

31Лектор Садовец В.Ю.

4.Силы инерции Ii или моменты сил инерции Mi возникающие

при изменении скорости движения звеньев (равноускоренное или равнозамедленное движение), могут быть как движущими силами, так и силами сопротивления, в зависимости от направления их действия относительно направления движения звеньев.

5. Силы взаимодействия между звеньями механизма (реакции в кинематических парах). Эти силы можно разложить на две составляю-

щие: нормальные Rijn и касательные Rijτ . Нормальные составляющие

работы не совершают, а касательные составляющие (силы трения) совершают отрицательную работу.

Силы и моменты первых трех групп называются активными или внешними, так как они приложены извне.

К внешним относят также все силы и моменты четвертой группы, но не все из них являются активными. Силы пятой группы называются внутренними. Они представляют собой реакции на действие активных сил и согласно третьему закону Ньютона всегда взаимообратимы.

На закон движения механизма наибольшее влияние оказывают движущие силы ( FД ) и моменты ( МД ), а также силы сопротивления ( FС ) и

моменты сопротивления ( МС ). В большинстве случаев эти силы и мо-

менты не являются постоянными, а изменяют свою величину при изменении положений звеньев механизма и их скорости. Эти функциональные зависимости обычно представляются графически, или массивом сил, или аналитически и называются механическими характеристиками.

Задачи силового исследования механизмов

Силовой анализ механизмов основывается на решении прямой (или первой) задачи динамики - по заданному движению определить движущие силы. Поэтому законы движения начальных звеньев при силовом анализе считаются заданными. Внешние силы, приложенные к звеньям механизма чаще всего тоже считаются заданными.

При силовом исследовании механизма силы трения кинематических парах не учитываются, так как они, обычно невелики по сравнению с другими силами.

Следовательно, подлежат определению только реакции в кинематических парах. Иногда внешние силы, прилов к начальным звеньям, считаются неизвестными, тогда в силовой анализ входит задача определения таких величин этих сил при которых выполняются заданные законы дви-