Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 7

241

Таким образом, эллиптическое поперечное сечение не остается при закручивании бруса плоским. Оно искривляется по седлообразной поверхности (рис. 7.5), причем точки, принадлежащие прямым y = 0 и z = 0, вдоль оси 0x не смещаются. Если бы стержень был зажат по торцам жесткими плитами, препятствующими перемещениям u(y, z), то при его закручивании возникли бы нормальные напряжения σx. Такую деформацию называют стесненным кручением стержня.

Точки брусьев круглого поперечного сечения вдоль оси 0x не перемещаются: если a= b, то из формулы (7.19) следует u≡0. При кручении круглых брусьев их поперечные сечения поворачиваются относительно оси 0x как жесткие диски.

7.3. Функция напряжений Прандтля. Задача о кручении эллиптического стержня была решена сравнительно просто благодаря тому, что эллипс

– гладкая кривая, так что получить выражение для тангенса угла наклона касательной к ней и записать затем условие (7.4) удалось без затруднений. В общем же случае подбор функции u(y, z), удовлетворяющей ограничению (7.4), далеко не прост и интегрирование уравнения (7.11) при условиях (7.2)– (7.4) приходится вести численно. Немецкий исследователь Л. Прандтль нашел способ избавиться от затруднений при назначении зависимости u(y, z), перейдя от искомого перемещения u к новой неизвестной функции ϕ(y, z), определяемой формулами:

τxy =	∂ϕ		τxz = −	∂ϕ		(7.20)
		,			.
	∂z			∂y

Эти формулы позволяют однозначно указать касательные напряжения кручения по известной зависимости величины ϕ от аргументов y и z, а потому функцию ϕ(y, z) называют функцией напряжений. Известна она и под именем функции Прандтля.

Подстановка (7.20) тождественно удовлетворяет уравнению равновесия (7.5), следовательно, она корректна. Чтобы получить разрешающее уравнение относительно функции ϕ, надо при помощи формул (7.20) и (7.10) прийти к равенствам

∂ϕ	= G	∂u	− zψ ,	∂ϕ	= −G	∂u	+ yψ ,
∂z		∂y		∂y		∂z

продифференцировать первое из них по аргументу z, второе – по переменной y и сложить результаты:

∂2ϕ ∂2ϕ	= −2Gψ.
∂y2 + ∂z2		(7.21)

242 Часть II

Это соотношение называют уравнением Пуассона. Оно, как и уравнение (7.11), является линейным, дифференциальным в частных производных, имеет второй порядок, но в отличие от равенства (7.11) неоднородно, ибо содержит в правой части отличную от нуля константу. Однако сложность решения краевой задачи зависит не от того, является ли разрешающее уравнение однородным или нет, а от вида граничных условий. Последние же для функции ϕ(y, z) намного проще тех, что накладываются на величину u(y, z). И в самом деле, так как tgα = dy/dz, а напряжения τxy и τxz выражаются через функцию ϕ по формулам (7.20), то граничное условие (7.4) может быть представлено в виде

τxzdy − τxydz = 0 или	∂ϕ	dy +	∂ϕ	dz = 0.
	∂y		∂z
Значит, dϕ= 0, и на контуре сечения искомая функция постоянна:
ϕ = const.				(7.22)

Добавление к величине ϕ(y, z) константы не отражается на напряжениях (7.20), а потому на границе сечения вместо условия (7.22) можно принять

ϕ = 0.

(7.23)

Таким образом, задача свелась к интегрированию неоднородного уравнения (7.21) при однородном краевом условии (7.23). Ограничения (7.2), (7.3) на касательные напряжения τxy и τxz сохраняются.

Достоинства решения Прандтля подчеркивает пример, рассмотренный в предыдущем пункте. Речь идет о кручении эллиптического стержня. Если выбор перемещения (7.13) в качестве решения уравнения (7.11) может быть сделан только искушенным специалистом в области механики деформируемого твердого тела, то чтобы указать вид функции ϕ(y, z) для эллиптического сечения, достаточно прибегнуть к простым логическим рассуждениям. Ведь это должна быть такая функция, чтобы:

–ее вторые производные по y и z были постоянными;

–на линии y2/b2 +z2/a2 = 1 (контур сечения) она обращалась в нуль.

Этим условиям удовлетворяет только одна функция, а именно:

y2			z2
ϕ = C 1 −		−		.	(7.24)
	b2		a2

Дальнейшее ясно. При помощи формул (7.20) и (7.24) находят касательные

напряжения:

τxy = −2Cz/a2, τxz = 2Cy/b2.

Глава 7		243
Затем из уравнения (7.21) определяется константа C:
2C(b−2 + a−2) = 2Gψ или	C =	Gψa2b2
			.
		a2 + b2

Тогда

что совпадает с результатом (7.14a).

Связь между касательными напряжениями кручения и крутящим моментом Mx дается формулой (7.2), которая при помощи подстановки (7.20) принимает вид:

Mx = −Z		∂ϕ		∂ϕ
			y +		z dF.	(7.2a)
		∂y		∂z
F

Пусть dF = dydz, а y1, y2 и z1, z2 – координаты крайних точек отрезков, принадлежащих поперечному сечению и пересекающихся по центру элемента dF (пределы интегрирования). Тогда (интегрирование по частям)

∂ϕ

y2 z2

∂ϕ

z2

y2

∂ϕ

z2

y2

y2

Z

ydF = Z Z

y dy dz = Z dz Z

y dy = Z

dz ϕy y1

−Z ϕ dy .

∂y

∂y

∂y

F

y

1

z

1

z

1

y

1

z

1

h

y

i

1

По условию (7.23) произведение ϕy на границе сечения обращается в нуль, следовательно,

		z2	y2
	∂ϕ
Z		y dF = −zZ dzyZ ϕ dy = −Z ϕ dF.
	∂y
F	1		1	F

Аналогично вычисляется второе слагаемое в формуле (7.2a):

Z	∂ϕ
	∂z z dF −Z ϕ dF.

FF

Таким образом,

Mx = 2Z ϕ dF.	(7.2b)
F

Из вывода формулы (7.2b) следует, что при любой форме поперечного сечения закручиваемого стержня напряжения τxy и τxz вносят в усилие Mx одинаковый вклад.

244

Часть II

7.4. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения. Можно ожидать, что максимума касательные напряжения достигают в точках, расположенных посередине длинных сторон прямоугольника. Этот вывод следует из сопоставления рассматриваемой задачи с задачей о кручении эллиптического стержня. Ясно также, что в угловых точках сечения касательные напряжения отсутствуют, ибо ненулевой вектор не может быть одновременно направлен по касательным к двум взаимно перпендикулярным сторонам прямоугольника. А так как в центре сечения напряжений τ тоже нет, то вдоль луча, идущего из точки 0 в угол сечения, касательные напряжения должны меняться по нелинейному закону. Естественно предположить, что такого рода нелинейность имеет место и по любому другому направ-

лению (рис. 7.6).

Описанная картина распределения напряжений по прямоугольному сечению подтверждается результатами интегрирования уравнения (7.21) при условиях (7.2), (7.3), (7.23). Строится такое решение методом Фурье, приводящим к замене неоднородного дифференциального уравнения (7.21) в частных производных двумя обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка. Функция напряжений отыскивается в виде:

ϕ = Z(z) · Y (y) + Gψ · (b2/4 − z2), h ≥ b.

(7.25)

Через Z(z) и Y (y) обозначены функции, которые зависят только от аргументов z и y соответственно. Граничные условия задачи формулируются с учетом представления (7.25) и требования (7.23):

a) z = ±b/2 : Y Z = 0; b) y = ±h/2 : Y Z = −Gψ(b2/4 − z2). (7.26)

Подстановка функции (7.25) в уравнение (7.21) дает:

ZY 00 + Z00Y = 0 или Y 00/Y = −Z00/Z.

Левая часть полученного равенства зависит только от независимой переменной y, а правая – только от аргумента z. Следовательно, должны выполнять-

ся условия

Y 00/Y = −Z00/Z = α2,

где α2 – некоторая константа. Таким образом,

Y 00 − α2Y = 0, Z00 + α2Z = 0.

(7.27)

Решением уравнений (7.27) являются функции

Y = A1sh αy + A2ch αy, Z = B1 sin αz + B2 cos αz.

(7.28)

Глава 7

245

Из граничных условий (7.26) следует, что функции Y (y) и Z(z) должны быть четными, что возможно лишь при A1 = B1 = 0. Стало быть,

Y = Ach αy, Z = B cos αz.

Первое из условий (7.26), т. е. условие Z(±b/2) = 0, может быть выполнено лишь тогда, когда

αz = ±α

b

= k

π

или

α = ±

kπ

2

2

b

при k=1, 3, 5,. . .

Значит,

Yk = Ak ch

kπy

, Z = Bk cos

kπz

,

k = 1, 3, 5, . . .

(7.28a)

b

b

Сумма решений (7.28a) – снова решение задачи, так что

2

∞

kπy

cos

kπz

(7.25a)

ϕ = Gψ b4 − z2 + k=1 Ckch b

b

, k = 1, 3, 5, . . . ,

X

где Ck = AkBk – коэффициенты ряда, которые можно найти, воспользовавшись вторым из граничных условий (7.26). Таковое должно выполняться для каждого члена ряда:

YkZk = −Gψ(b2/4 − z2) при y = ±h/2.

Таким образом (см. формулы (7.28a) и (7.25a)):

	Ck		kπh	· cos	kπz	= z2 −	b2
		ch						.
	Gψ		2b		b		4

Чтобы найти константу Ck, надо обе части данного равенства умножить на cos (kπz/b) и проинтегрировать получившееся соотношение в пределах от

−b/2 до b/2:

b/2

b/2

b2

Ck

kπh

Z

cos2

kπz

dz =

Z

z2 −

cos

kπz

(7.29)

ch

dz.

Gψ

2b

b

4

b

−

b/2

−

b/2

Интегралы в равенстве (7.29) табличные, так что результат можно указать сразу:

	Gψ		8b2
Ck = −		·		· (−1)(k−1)/2.
	ch (kπh/2b)		k3π3

246

Часть II

Множитель, определяющий знак, появился в формуле для коэффициента Ck по следующей причине. При вычислении определенного интеграла пределы интегрирования приходится подставлять в функцию sin (kπz/2), а синус аргументов 3π/2, 7π/2, ··· равен отрицательной единице.

Остается ввести коэффициенты Ck в формулу (7.25a):

ϕ= Gψh	4	−z2	− π3		k	(	−	− k3 ch(kπh/2·b)	i, k = 1, 3, 5, . . .
	b2		8b2		X			1)(k 1)/2ch(kπy/b) cos(kπz/b)

Таким образом, функция напряжений представлена в форме бесконечного ряда, каждый член которого есть четная функция аргументов y и z.

Согласно формулам (7.20),

τxy =

∂z

= Gψh

−2z +

π2

k

(

−

− k2 ch (kπh/(2·b))

i ,

∂ϕ

8b

X

1)(k 1)/2ch (kπy/b) sin(kπz/b)

τ

=

∂ϕ = Gψ 8b

X

(−1)(k−1)/2sh (kπy/b) · cos(kπz/b) .

xz

−

∂y

π2

k

k2 ch (kπh/(2b))

Модули этих напряжений достигают наибольших значений в точках y = 0, z = ±b/2 и y = ±h/2, z = 0 соответственно, т. е. в точках 1 и 2 по рис. 7.6. Так как (−1)(k−1)/2 sin (kπ/2)=1 при k =1, 3, 5, . . . , то

max |τxy| = τ1 = Gψbk0 , max |τxz| = τ2 = Gψbk ,

где

8		X	1
k0 = 1 −				,
	π2	k	k2 ch (kπh/(2b))

8		X	( 1)(k−1)/2		kπh
k =			− k2	th		.
	π2	k			2b

Если h≥b, то τ1 ≥τ2.

Остается, используя формулу (7.2b), найти угол закручивания ψ. Выкладки, выполняемые с учетом выведенной выше формулы для функции

напряжений ϕ, приводят к следующему результату:

Mx

1

1 −

192 b

k

1

th

kπh

.

ψ = Gb3hk1

, k1 = 3

π5 h

k5

20

X

Теперь можно ввести обозначения

Ix = k b3h, Wx = k2b2h, k = k

/k

0

1

2

1

для момента инерции при кручении и момента сопротивления при кручении и представить полученные выше расчетные формулы в стандартном для механики брусьев виде:

ψ =	Mx	,	τ		=	Mx	,	τ		= k τ		,	k		= k	/k		.	(7.30)
	GIx			1		Wx			2	3	1			3			0

Глава 7								247
								Таблица 7.1
	ki				h/b
		1	1,2	1,5	2	3	10		∞
	k1	0,141	0,166	0,196	0,229	0,263	0,312		0,333
	k2	0,208	0,219	0,231	0,246	0,267	0,312		0,333
	k3	1	0,935	0,859	0,795	0,753	0,742		0,742

Сдостаточной для практических целей точностью коэффициенты k1, k2

иk3 можно вычислять по приближенным формулам (β = h/b):

pp

k1 = 3, 28 3 β − 2, 09 β + 0, 101β − 1, 15 ,

k2 = 0, 199 p3 β − 0, 0143β + 0, 024 , k3 = (14β2 − 25, 8β + 15, 7)−1 + 0, 741 ,

что избавляет от необходимости иметь дело с рядами, хотя и достаточно быстро сходящимися при h≥b. Можно, наконец, брать значения указанных коэффициентов из таблицы 7.1, прибегая в случае надобности к линейной интерполяции. Следует особо подчеркнуть, что при h < b сходимость рядов, определяющих функцию напряжений ϕ и коэффициенты ki, ухудшается. Именно этим обстоятельством объясняется нарушение симметрии функции ϕ относительно аргументов y и z при записи формулы (7.25). Другими словами, при решении рассматриваемой задачи в качестве размера h следует выбирать больший´ из размеров прямоугольного сечения.

7.5. Мембранная аналогия. Прандтль обратил внимание еще на одно явление, связанное с деформацией кручения, которое было названо мембранной аналогией. Мембрана – это пленка, воспринимающая только растягивающие усилия. В форме мембран выполняются некоторые металлические и тентовые покрытия, надувные оболочки.

Пусть из пологой мембраны, несущей вертикальную нагрузку интенсивностью q, выделяется элемент с размерами dy, dz. Мембрана, как и мыльная пленка, растягивается во всех направлениях одинаковыми погонными усилиями N, так что по граням элемента будут приложены именно те воздействия, которые показаны на рис. 7.7. Поскольку sin(α+dα) ≈ α+dα, sin α ≈α, то условие P X = 0 равновесия выделенного элемента может быть записано следующим образом:

q dy dz + N dz · α − N dz · (α + dα) + N dy · β − N dy · (β + dβ) = 0

или

q dy dz − N dz dα − N dy dβ = 0.

248

Но

∂2u

α =

∂u

dα =

d ∂u

dy =

,

dy,

dy ∂y

∂y2

∂y

так что

∂2u

∂2u

q

+

=

.

∂y2

∂z2

N

Часть II

∂2u dβ = ∂z2 dz,

Это уравнение, так же, как и соотношение (7.21), есть уравнение Пуассона. Интегрировать его надо при подобном ограничению (7.23) краевом условии: u|s = 0, где s – контур мембраны. Значит, искривленная поверхность мембраны, натянутой на контур, совпадающий с границей поперечного сечения закручиваемого стержня, имеет форму поверхности, описываемой функцией Прандтля.

Данное обстоятельство используется для экспериментального поиска зависимости ϕ(y, z), причем в качестве мембраны берется мыльная пленка. Такой метод решения задачи особенно хорош при сложном поперечном сечении (рис. 7.8), хотя обращаться к мембранной аналогии есть смысл и тогда, когда сечение имеет простую форму. В этом случае особенно просто представить себе вид натянутой на контур сечения мыльной пленки, понять, какие ее участки имеют наибольшую крутизну, и тем самым установить зоны максимальных касательных напряжений: ведь последние равны производным от функции ϕ.

Глава 7

249

Удобно опираться на мембранную аналогию и при решении задачи кручения для многосвязных сечений. Так, решение уравнения (7.21) для сечения, показанного на рис. 7.8b, должно удовлетворять двум краевым условиям: ϕ|s1 = C1, ϕ|s2 = C2, где s1, s2 – линии, очерчивающие внешнюю и внутреннюю границы сечения. Одну из постоянных Ci можно принять равной нулю, например, первую: C1 = 0, а другая подлежит определению при решении задачи. Но здесь важно, что C2 – константа, а потому искомая функция напряжений имеет форму мыльной пленки, натянутой одной кромкой на неподвижный контур s1, а другой – на жесткий диск с границей s2, который может свободно перемещаться вдоль оси стержня.

7.6. Кручение тонкостенных стержней. Мембранная аналогия помогает решить задачу о свободном кручении тонкостенных стержней закрытого профиля. При δ ρ (рис. 7.9a) поверхность пленки на участке между внешней и внутренней границами скорлупы сечения близка к конической, а в этом случае

τ = ∂ϕ∂ξ = tg α = const,

где ξ – произвольное радиальное направление в плоскости поперечного сечения. Сказанное означает, что касательные напряжения τ постоянны по толщине скорлупы и могут меняться лишь вдоль ее срединной линии: τ = τ(s). Пусть τ1 и τ2 – значения касательных напряжений в начале и в конце малого элемента, выделенного из бруса так, как это показано на рис. 7.9a, b. По торцам 1 и 2 элемента действуют касательные силы T1 и T2, которые можно найти, опираясь на закон парности касательных напряжений:

T1 = τ1δ1 dx, T2 = τ2δ2 dx.

250		P	Часть II
δ1τ1	= δ2τ2,		равновесия рассматриваемого элемента следует, что
Из условия		X = 0

т. е.

τ δ = const.

Таким образом, произведение касательных напряжений кручения на толщину скорлупы для тонкостенного сечения замкнутого профиля величина постоянная. Отсюда в свою очередь следует, что напряжение τ достигает наибольшего значения в том месте поперечного сечения, в котором толщина скорлупы минимальна. Впрочем, к этому выводу еще проще можно было прийти, основываясь на мембранной аналогии: ведь при фиксированном значении константы C2 (см. рис. 7.9a) угол α наклона касательной плоскости к поверхности пленки тем больше, чем тоньше толщина скорлупы.

Остается связать крутящий момент Mx с напряжениями τ. Из рис. 7.9c видно, что

ZZ

Mx = (τδds) · ρ = τδ	ρds = 2τδΩ,
L	L

где Ω – площадь фигуры, которую ограничивает замкнутая средняя линия скорлупы длиною L. Стало быть,

τ =		Mx	.		(7.31)
		2δΩ
Для трубчатого поперечного сечения ρ= R= const, δ = const, Ω = πR2 и
τ =		Mx		.	(7.31a)
	2πR2
			δ

В тонкостенных стержнях открытого профиля касательные напряжения кручения получают при помощи формулы (7.30)2, в которой надо положить h/b → ∞. Тогда k1 = k2 = 1/3 и

Ix = b3h/3 , Wx = b2h/3 , ψ = 3Mx/(b3hG), τ1 = 3Mx/(b2h). (7.32)

Именно такими будут величины ψ и τ1 в узком прямоугольнике. Мыльная пленка, натянутая на контур указанного прямоугольника, имеет форму, ко-