Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 5

221

ния конструкций служат своды каменных мостов и аркбутаны готических храмов.

Итак, при наличии временных нагрузок рациональны арки, в которых изгибающие моменты малы. Но при обжатии арок изгибающие моменты еще меньше, причем настолько, что их можно не учитывать.

5.6. Изгиб стержней переменного сечения. Такие стержни рассматривались при изучении осевой деформации (см. п. 1.1). Было показано, что при малых углах наклона касательной к контуру стержня напряжения в его поперечных сечениях можно находить по той же формуле, что и в призматических брусьях. Аналогичный результат имеет место и здесь.

На рис. 5.11 изображен участок балки переменного сечения, загруженный вертикальными сосредоточенными силами. У поверхности стержня, т. е. там, где максимальны нормальные напряжения, при помощи трех сечений выделена элементарная призма с высотою, равной ширине b поперечного сечения, измеряемой на уровне верхнего волокна. Размеры основания ABC берутся достаточно малыми с тем, чтобы можно было считать напряжения, действующие по граням выделенного объема, распре-

деленными равномерно. На поверхности бруса касательной нагрузки нет, а потому на грани, которой принадлежит ребро AC, отсутствуют касательные напряжения. Не будет их и на грани с ребром BC (закон парности касательных напряжений). Впрочем, на этой грани равны нулю и нормальные напряжения, что следует из гипотезы об отсутствии взаимодействия между волокнами стержня. Призма находится в состоянии равновесия, поэтому

X X = 0 : σxb·AB−σnb·AC cos α= 0,	2	X Y = 0 : τxyb·AB−σnb·AC sin α= 0.
Так как AC = AB cos α, то σx = σn cos		α, τxy = σn sin α · cos α или
σn = σx/ cos2 α,		τxy = σx · tgα.	(5.19)

Если α= 12o, cos2 α= 0, 9565 , то напряжения σx и σn отличаются друг от друга менее чем на 5%. Значит, при α ≤10o–12o нормальные напряжения в брусьях переменного сечения можно находить по формулам, предназначенным для вычисления напряжений σx в призматических брусьях. Разумеется, геометрические характеристики Iz, Wz и F поперечного сечения должны определяться как функции абсциссы x.

222			Часть II
Из формулы (5.19)	2	6	o
		следует, что при α = 0	касательные напряжения τxy

не обращаются в нуль на нижней и верхней границах сечения: при α = 12 они составляют примерно пятую часть от напряжений σx. Найти напряжения τxy в произвольной точке переменного сечения можно при помощи равенства

QySотс

Mz

d

Sотс

,

τxy =

z

+

z

(5.20)

bIz

b

dx

Iz

вытекающего из зависимости (3.3)2. Если сечение прямоугольное, то

Szотс

=

b(h2/4 − y2)/2

= 6

1

y2

,

d

Szотс

=

6

1

3y2

dh

,

Iz

bh3/12

4h − h3

Iz

−h2

4

− h2

dx

dx

причем dh/dx = 2 tg α. Аналогично можно вычислить второе слагаемое в формуле (5.20) и для других поперечных сечений. При y = ±h/2, т. е. в крайних волокнах прямоугольного сечения,

d		Sотс		3
		z		=		2 tg α = 6 tg α/h2.
dx		Iz			h2

Тогда (см. равенство (5.20) и рис. 5.11)

6Mz

τxy(A) = 0 + bh2 tg α = σxtg α,

что совпадает с формулой (5.19)2, верной, кстати, не только для прямоугольного сечения.

Ясно, что призматический стержень по расходу материала оптимальным быть не может: ведь в общем случае максимальные напряжения изгиба в разных сечениях стержня различны. Представляется естественной попытка найти такой профиль бруса, при котором во всех поперечных сечениях наибольшие нормальные напряжения равнялись бы допускаемым напряжениям [σ]. Сложность решения этой задачи зависит, главным образом, от способов закрепления бруса. Так, найти профиль статически неопределимой балки равного сопротивления изгибу трудно даже в тех случаях, когда решение существует. Однако если воздействие является силовым, а конструкция – статически определимой, то построить рациональный профиль бруса удается сравнительно просто.

Пусть балка на двух шарнирных опорах имеет прямоугольное поперечное сечение постоянной ширины b и переменной высоты h(x). Требуется найти функцию h(x) из условия, что максимальные нормальные напряжения во всех поперечных сечениях балки должны равняться заданному значению [σ]. Нагрузка на конструкцию указана на рис. 5.12a. При решении задачи

Глава 5

223

удобно воспользоваться симметрией балки. Поскольку при 0 ≤x≤l/2 момент Mz равен величине P x/2, то

max σx = Mz/Wz = (P x/2)/(bh2/6) = 3P x/bh2.

Условие max σx = [σ] дает

q

h = 3P x/(b[σ]) , 0 ≤ x ≤ l/2.

Профиль равнопрочной балки показан на рис. 5.12b. Ее объем

q

V = l 2P bl/(3[σ]) ,

тогда как объем балки постоянного сечения, в которой допускаемым напряжениям равняются максимальные нормальные напряжения лишь в середине пролета, в полтора раза больше:

q

Vпр = l 3P bl/(2[σ]) .

Стержни переменного сечения сложны в изготовлении и их редко применяют на практике. Кроме того, брусья равного сопротивления изгибу имеют невысокую жесткость, т. е. их прогибы велики. Но то, что плохо для строительных конструкций, может быть полезным в других случаях. Так, если набрать рессору из узких пластинок и придать набору форму, показанную на рис. 5.12c, то будут обеспечены и прочность, и достаточная податливость рессоры, и высокая технологичность ее изготовления.

ГЛАВА 6. ЦЕНТР ИЗГИБА

6.1. О центре изгиба. Если плоскость нагружения не совпадает с плоскостью симметрии бруса (рис. 6.1a), то брус будет не только изгибаться, но и закручиваться. И в самом деле, касательные напряжения изгиба и связанные с ними касательные силы в симметричном сечении распределяются симметрично, поэтому по оси симметрии, т. е. по оси 0y, направлена и результирующая Sy касательных сил. Так как Sy = Qy , где Qy – поперечная сила, то в сечении возникает крутящий момент, который может быть определен по известным значениям Qy и e: Mx = Qy e. Если сечение несим-

метрично (см. рис. 6.1b), то равнодействующая касательных сил уже не будет направлена по центральной оси сечения. Она проходит через некоторую точку C поперечного сечения, отстоящую от его центра тяжести 0 на расстоянии a. Это расстояние зависит от формы и размеров сечения. Если e = a, то возникнет крутящий момент

Mx = Qy (e − a).

Точку C поперечного сечения, относительно которой равен нулю момент всех касательных сил, возникающих при изгибе бруса (из-за отсутствия плеча у силы Sy ), называют центром изгиба. Ясно, что точка C находится на оси симметрии сечения, а если имеются две таких оси, то центр изгиба сливается с центром тяжести

сечения. Существуют и несимметричные фигуры, для которых положение центра изгиба очевидно (рис. 6.2). В ряде других случаев координаты точки C удается отыскать сравнительно просто, например, для тонкостенного швеллера (рис. 6.3). Здесь yC = 0 и согласно определению центра изгиба

размер a должен быть таким, чтобы выполнялось условие
MC = 0 :	aTс − hTп = 0, a =	Tп	h,	(6.1)
		Tс

где Tс, Tп – касательные усилия в стенке и полках швеллера:

Tс = Qy , Tп = 0, 5τmaxbδ,

Глава 6

225

причем (см. формулу (3.7))

Qy Sотс

τmax = z .

δIz

Статический момент Szотс отсеченной полки равен величине bhδ/2, а

	δh3		2	bδ3	+ 2δb	h2		δh2
Iz =		+					=		(h + 6b).
	12			12		4		12

Слагаемое, заключенное в квадратные скобки, ввиду малой толщины скорлупы отбрасывается. Тогда

τmax =	6Qy b	,	Tп = 0, 5τmaxbδ =	3b2Qy
	δh(h + 6b)			h(h + 6b)

и в соответствии с равенством Tс = Qy и условием (6.1)

3b2
a = h + 6b .	(6.2)

Если у сечения вообще нет осей симметрии, то находить координаты центра изгиба сложнее. Особенно трудна эта задача для массивных поперечных сечений, ибо в этом случае нельзя, опираясь только на техническую теорию изгиба брусьев, установить истинную картину распределения касательных напряжений по сечению. Но как раз для массивных стержней знать положение центра изгиба не обязательно. Детальный анализ задачи показывает, что при не очень сильной асимметрии центры изгиба и тяжести массивного поперечного сечения находятся рядом, так что если при вычислении крутящего момента по формуле Mx = Qy (e −a) положить a = 0, большой ошибки не будет. Важно и то, что массивное сечение является достаточно жестким, а потому малый крутящий момент к заметным напряжениям и деформациям не приведет. То же самое можно сказать и о тонкостенных стержнях замкнутого профиля. А вот жесткость на кручение тонкостенных стержней открытого профиля невелика. Кроме того, центр изгиба несимметричного тонкостенного сечения обычно находится на большом удалении от центра тяжести (см. формулу (6.2)). Из сказанного следует, что практический интерес представляет собой лишь задача об отыскании центра изгиба тонкостенного поперечного сечения открытого профиля. Чтобы решить эту задачу, надо ввести одно важное понятие, о котором пойдет речь в следующем пункте.

6.2. Секториальные координаты. Положение произвольной точки k на средней линии L скорлупы тонкостенного сечения (так называют линию,

226

Часть II

делящую толщину элементов профиля пополам) можно задать несколькими способами (рис. 6.4). Можно, например, указать декартовы координаты yk , zk этой точки или назвать ее дуговую координату s, измеряемую от некоторой фиксированной точки B – начала отсчета. Но есть еще одна возможность определить положение точки на линии L, которая при решении задачи об отыскании центра изгиба оказывается самой удобной.

Пусть p – точка плоскости 0yz, назначаемая произвольным образом и именуемая полюсом. Из полюса в начало отсчета на линии L проводится луч pB. Еще один луч pk соединяет полюс с текущей точкой на линии L. Удвоенную площадь фигуры, образованную лучами pB, pk и дугой Bk, называют секториальной площадью, или секториальной координатой точки k. Обозначается эта величина через ω. Секториальная площадь считается положительной, если луч pB переходит

в положение pk, поворачиваясь относительно полюса по часовой стрелке. Из рис. 6.4 видно, что

sk

	(6.3)
dω = ρ ds, ω = ρ ds ,

sB

где ρ – расстояние от полюса до касательной t к линии L в рассматриваемой точке дуги Bk.

Определять секториальные координаты удобно при помощи эпюр секториальных площадей, построенных на линии L. На рис. 6.5 приведены две такие эпюры, получающиеся при различном выборе полюса и начала отсчета в разомкнутом коробчатом поперечном сечении. В обоих случаях точки p и B совмещены друг с другом. На каждом линейном участке линии L величина ρ постоянна, поэтому обе эпюры "ω" кусочно-линейны. Второй из рис. 6.5b служит иллюстрацией к вычислению секториальной координаты точки 2 линии L: ясно, что удвоенная площадь затушеванной трапеции равна величине

Глава 6

227

2 · [0, 5(h + 0, 5h)b] = 3bh/2.

Важно уметь преобразовывать секториальные координаты, т. е. находить изменение площади ω при переходе к новым началу отсчета и полюсу. Если начало отсчета перенести из точки B в точку B1, оставив полюс на старом месте (см. рис. 6.4), то секториальная координата точки k уменьшится на величину, равную удвоенной площади сектора pBB1. Другими словами, перенос начала отсчета при фиксировнном полюсе ведет к изменению секториальной площади на постоянное число.

Пусть теперь меняется положение полюса: из точки p1 он переносится в точку p2. На рис. 6.6 через t обозначена касательная к средней линии скорлупы тонкостенного сечения, наклоненная под углом α к оси 0z. Согласно формуле (6.3)1, dω1 = ρ1ds, dω2 = ρ2ds, поэтому

dω2 − dω1 = (ρ2 − ρ1)ds.

Из рис. 6.6 видно, что

ρ2 − ρ1 = ac − ab = (y2 − y1) cos α − (z2 − z1) sin α.

Стало быть,

dω2 − dω1 = (y2 − y1)ds · cos α − (z2 − z1)ds · sin α = (y2 − y1)dz − (z2 − z1)dy

и
ω2 = ω1 − (z2 − z1)y + (y2 − y1)z + D,	(6.4)

где D – постоянная интегрирования, которую можно найти по заданным началам отсчета при полюсах p1 и p2.

Приведенных здесь сведений достаточно, чтобы перейти к выводу формул для координат центра изгиба.

228

Часть II

6.3. Координаты центра изгиба. Пусть полюс C помещен в центр изгиба (рис. 6.7), а начало отсчета взято в точке 1 линии L. По определению центра изгиба

s2	s2
(τ δ ds) · ρ = 0 или	τ δ dω = 0.
s1	s1

Касательные напряжения в тонкостенных сечениях открытого профиля даются формулой (3.9), поэтому

	Qy	s2	Qz	s2
		· Szотсdω +		· Syотсdω = 0.
	Iz		Iy
		s1		s1

Поперечные силы Qy и Qz не зависят друг от друга, так что последнее равенство выполняется лишь при условиях:

s2

s2

Szотсdω = 0,	Syотсdω = 0.	(6.5)
s1	s1

Интегралы в этих формулах берутся по частям. Например,

s2	отс	s2	отс dω		отс	s2	s2	dSzотс
Sz		dω = Sz			dF = Sz	ω|s1	− ω		dF.
				dF				dF
s1		s1					s1

Поскольку 1 и 2 – крайние точки сечения, то внеинтегральный член из-за

множителя Szотс обращается в нуль (предполагается, что ось 0z – центральная ось сечения), а так как dSzотс = y dF , то

s2
Szотс dω = −	yω dF.
s1	F
Таким образом,

yω dF = 0,	zω dF = 0.	(6.5a)
F	F

Интегралы

Sωz = yω dF,	Sωy = zω dF	(6.6)
F	F

называют осевыми секториальными статическими моментами поперечного сечения. Равенства (6.5a) означают, что полюс, при котором осевые секториальные статические моменты равны нулю, расположен в центре изгиба сечения.

Глава 6

229

Для отыскания координат центра изгиба надо при некоторм произволь-

ном полюсе p1(y1, z1) вычислить интегралы (6.6):
Sωz(1) = yω1 dF,	Sωy(1) = zω1 dF,	(6.6a)
F	F

а затем перейти к новому полюсу p2, считая последний находящимся в цен-

тре изгиба. Тогда Sωz(2) = Sωy(2) = 0 или (см. формулу (6.4)):
yω2 dF =	yω1dF − (z2 − z1)	y2 dF + (y2	− y1)	yz dF + D y dF = 0,
F	F	F	F		F
zω2 dF =	zω1dF − (z2 − z1)	zy dF + (y2	− y1)	z2 dF + D z dF = 0.
F	F	F		F	F

Так как оси 0y, 0z – главные центральные оси инерции сечения, то статические моменты и центробежный момент инерции равны нулю. Стало быть,

Sωz(1) − (z2 − z1)Iz = 0, Sωy(1) + (y2 − y1)Iy = 0.

Остается положить y2 = yC, z2 = zC, где yC, zC – координаты центра изгиба поперечного сечения тонкостенного стержня, и найти

zC = z1 + Sωz(1)/Iz , yC = y1 − Sωy(1)/Iy .

(6.7)

Надо иметь в виду, что хотя полюс p1 и начало отсчета выбираются произвольно, от этого выбора зависит объем вычислений по формулам (6.6a), а значит, и по формулам (6.7).

6.4. Секториальные характеристики сечения. Деформация кручения изучается в следующих двух главах пособия, а пока лишь закладывается база для такого изучения. И в самом деле, о каких расчетах на кручение может идти речь, если не известен крутящий момент, найти который, не располагая информацией о местонахождении центра изгиба, нельзя. Формулы (6.7) решают эту задачу, но не проблему в целом. Для описания напряженнодеформированного состояния закручиваемых тонкостенных стержней необходимо иметь так называемые секториальные характеристики сечения, т. е. интегралы Sωz , Sωy и

Sω = ωdF,	Iω = ω2dF.	(6.8)
F	F

При δ = const их можно записать и иначе:

Sω = δ ω ds, Sωz = δ yω ds, Sωy = δ zω ds, Iω = δ ω2ds.

(6.9)

L L L L

230 Часть II

Интегралы Sωz и Sωy встречались при выводе формул (6.7), секториальный статический момент Sω и секториальный момент инерции Iω найдут свое применение в главе 8.

Значения интегралов (6.9) зависят от выбора полюса и начала отсчета. Если полюс совместить с центром изгиба сечения, а начало отсчета выбрать так, чтобы статический момент Sω обратился в нуль, получится особая система секториальных координат, которую называют главной. Иными словами, главные секториальные координаты поперечного сечения – это система

отсчета, в которой
Sω = Sωz = Sωy = 0.	(6.10)

Главные секториальные координаты играют в теории кручения ту же роль, что и главные центральные оси инерции в теории изгиба. Как известно, моменты инерции Iy и Iz достигают экстремальных значений в том случае, когда оси 0y и 0z являются главными центральными осями инерции сечения. Секториальный момент инерции минимален именно в главной секториальной системе координат.

Если средняя линия скорлупы является ломаной, то в пределах каждого звена секториальная площадь линейно зависит от дуговой координаты s. В этом случае интегралы (6.8) могут быть вычислены при помощи приема, известного как способ перемножения эпюр. Пусть требуется взять интеграл

L

J = k (a + bs)f (s) ds,

0

в котором k, a, b – константы, f (s) – произвольная интегрируемая функция координаты s. Таким образом, речь идет о вычислении интеграла, под знаком которого стоит произведение двух функций: g(s) = a+bs и f (s). Первая из них линейно зависит от аргумента s. Графики этих функций на отрезке [0, L], т. е. эпюры зависимостей g(s) и f (s), если пользоваться терминологией механики деформируемого твердого тела, приведены на рис. 6.8. Пусть Ωf , sc – площадь и абсцисса центра тяжести фигуры, ограниченной линией f (s), осью 0s и вертикалями s = 0, s = L, а gc – ордината прямой g(s) в точке s = sc. Очевидно,

L L

J = k · a f (s)ds + b sf (s)ds = k(aΩf + bΩf sc) = kΩf (a + bsc).

0 0

Здесь было учтено, что второй интеграл в квадратных скобках есть не что иное, как статический момент фигуры "f " относительно оси ординат. Поскольку a+bsc = g(sc) ≡gc, то

J = kΩf gc.

(6.11)