Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 1

131

1.8. Дисково-стержневые и шарнирно-стержневые конструкции. На рис. 1.13a изображена плоская конструкция, в состав которой входят диски A и B и стержни с номерами 1–3. Стержни можно отделить от дисков, сведя действие отброшенных частей к реакциям R1, . . . , R8 (см. рис. 1.13b). Значения и направления реакций должны быть такими, чтобы выделенные элементы находились в равновесии.

Из рис. 1.13b видно, что стержень 1 испытывает только осевую деформацию, тогда как в элементах 2 и 3 на нее накладывается изгиб. Безизгибное состояние возможно, если стержень, будучи призматическим, крепится к дискам либо к земле при помощи идеальных шарниров и к нему не приложено силовое воздействие. Этим условиям удовлетворяют все три стержня конструкции, изображенной на рис. 1.13c. Что же касается дисков системы, то они могут быть как деформируемыми, так и недеформируемыми. Ниже будут рассматриваться диски только второго типа, т. е. абсолютно жесткие диски. Конструкцию называют дисково-стержневой, если она состоит из жестких дисков, связанных между собой и с землею стержнями, причем в стержнях возможны лишь осевые усилия.

Широкое распространение получили и так называемые шарнирно-стержневые конструкции (фермы), состоящие из деформируемых призматических стержней, которые соединяются между собой в узлах при помощи идеальных шарниров. Нагрузка на ферму сводится к узловым силам. Простейшие дисково-стержневые и шарнир- но-стержневые конструкции содержат только один диск или только один неопорный узел соответственно. Примеры таких конструкций приведены на рис. 1.14. Ниже рассматриваются простейшие конструкции, у которых стержни изготовлены из материала, подчиняющегося закону Гука, а перемещения узлов малы. Это позволяет

решать задачу о напряженно-деформированном состоянии тела в линейной

132

Часть II

постановке. Дело сводится к нахождению усилий Ni в стержнях конструкции, ибо по известным усилиям напряжения σi устанавливаются обычным образом: σi = Ni/Fi.

Если требуется оценить также и жесткость конструкции, то помимо усилий находят изменения ∆i длин (интегральных деформаций) стержней и перемещения узлов. Полное перемещение Uj узла j может быть представлено составляющими uj , vj вектора Uj в осях 0x и 0y декартовой системы координат. Состояние шарнирно-стержневой конструкции, т. е. совокупность усилий и удлинений ее стержней, полностью характеризуется перемещениями неопорных узлов. Число C таких перемещений называют степенью свободы конструкции. В частности, для одноузловой фермы число C равно 2 или 1. Так, если все стержни изображенной на рис. 1.14b конструкции деформируемые, то C = 2. Параметрами состояния служат перемещения u0 и v0 неопорного узла. Если же, например, стержень 1 является абсолютно жестким, то перемещение v0 невозможно и C = 1.

Состояние дисково-стержневой конструкции зависит от перемещений диска. Если таковой крепится к земле при помощи только деформируемых связей, то C = 3. В качестве параметров состояния могут быть взяты перемещения u и v диска по горизонтали и по вертикали и угол ϕ его поворота относительно некоторой фиксированной точки. Возможны случаи, когда C = 2 и C = 1. Так, если стержень 1 системы, показанной на рис. 1.14a, относится к абсолютно жестким, то горизонтальное перемещение диска будет невозможным. Такая система имеет только 2 степени свободы.

Изучение простейших конструкций целесообразно начать с анализа на- пряженно-деформированного состояния одноузловых ферм.

1.9. Одноузловые фермы при силовом воздействии. Пусть ферма имеет C

стержней, материал которых известен, так же, как и составляющие Px и Py узловой нагрузки. Координаты xi, yi опорных узлов фермы задаются в системе отсчета с началом в узле 0 (рис. 1.15). Задача состоит в определении усилий Ni в стержнях фермы и перемещений u, v узла 0.

Предполагается, что каждый стержень i фермы длиною Li имеет ориентацию вектора, начинающегося в узле 0 и заканчивающегося в узле i, и что li, mi – направляющие косинусы этого вектора. Очевидно,

Li = x2i + yi2, li = xi/Li, mi = yi/Li, i = 1, . . . , C.

Эти формулы полностью определяют геометрию конструкции.

Глава 1

133

Решение задачи начинается с составления условий равновесия неопорного узла (см. рис. 1.15):

	Px = 0 :	C	Nili + Px = 0,	Py = 0 :	C
					Nimi + Py = 0. (1.27)
					i
		i=1			=1

При C > 2 усилия Ni только из этой системы не найти, т. е. задача становится статически неопределимой. Необходимо формировать полную систему уравнений. Кинематические уравнения составляются в форме условий совместности перемещений u и v узла 0 фермы и интегральных деформаций ∆i ее стержней. Из рис. 1.16 видно, что при положительных перемещениях u, v стержень с номером i укорачивается, т. е. интегральная деформация ∆i отрицательна. С точностью до величин высшего порядка малости (предполагается, что изменениями dαi углов наклона стержней при деформировании

фермы можно пренебречь)

∆i = −u cos αi − v sin αi

или

∆i = −uli − vmi.

(1.28)

Таких равенств можно записать столько, сколько имеется стержней, т. е. C. В результате к двум уравнениям равновесия (1.27), содержащим C неизвестных усилий, добавляются C уравнений

с 2 + C неизвестными – двумя перемещениями u, v узла и C изменениями ∆i длин стержней. Замыкают систему уравнений (1.27), (1.28) C равенств закона Гука (физические уравнения):

∆i =	NiLi	, i = 1, · · · , C.	(1.29)
	EFi

Произведение EiFi, называемое осевой жесткостью стержня, записано в формуле (1.29) как EFi, ибо индекс i по умолчанию распространяется на оба сомножителя, т. е. и на площадь поперечного сечения, и на модуль упругости.

Зависимости (1.27)–(1.29) образуют полную систему уравнений одноузловой фермы. При C = 2 эта система распадается на три независимые группы (статически определимая задача). Из равенств (1.27) находят усилия N1 и N2. Затем по закону Гука вычисляются удлинения ∆1 и ∆2 обоих стержней и, наконец, при помощи кинематических соотношений (1.28) определяют перемещения u и v. Если же число стержней фермы больше двух, задача становится статически неопределимой и от полной системы уравнений переходят к так называемым разрешающим уравнениям, содержащим менее чем

134

Часть II

2(C + 1) неизвестных. Наиболее просто выполняется решение в перемещениях.

Из равенств (1.28) и (1.29) следует

Ni = −Ji (uli + vmi), Ji =

EFi

,

(1.30)

Li

так что условиям равновесия (1.27) можно придать вид:

a11u + a12 v = a1,

a21u + a22v = a2,

(1.27a)

где

a

=

C

Ji l2,

a12

= a =

C

Ji li mi, a

=

C

Ji m2;

(1.31)

i

11

i

21

22

i

=1

i=1

i=1

a1 = Px,

a2 = Py .

(1.32)

Необходимость в переобозначениях (1.32) станет ясной из дальнейшего. Основные неизвестные u и v задачи можно найти из системы (1.27a) по

правилу Крамера:

u = D1/D, v = D2/D;

D = a11a22 − a212, D1 = a1a22 − a2a12, D2 = a2a11 − a1a12.

Затем по формулам (1.30) вычисляют усилия. Удлинения стержней следуют из закона Гука (1.29).

Система (1.27)–(1.29) допускает решение и в усилиях. Основные неизвестные N1, · · · , NC этой задачи должны быть связаны между собой C разрешающими уравнениями. При C > 2 их число превышает число соотношений (1.27a), поэтому строить решение в усилиях нецелесообразно. Желающим же его получить понадобится выполнить следующие операции. Во-первых, выбрать из C кинематических уравнений (1.28) два любых соотношения, например, 1-е и 2-е, и выразить с их помощью перемещения u и v через интегральные деформации ∆1 и ∆2. Затем полученные выражения для u и v вводятся в остальные равенства (1.28), что приводит к системе из C −2 уравнений, содержащей C неизвестных величин ∆i. Данные уравнения представляют собой условия совместности удлинений стержней фермы. Величины ∆i заменяются в них на усилия Ni по закону Гука (1.29). Наконец, к полученным равенствам добавляют два условия равновесия (1.27), что и приводит к разрешающим уравнениям в усилиях.

Теперь можно обратиться к иллюстративному примеру. На рис. 1.17a изображена трехстержневая ферма заданной геометрии с приложенной в узле 0 вертикальной силой P .

Глава 1

135

Материал конструкции известен. Нужно найти усилия в ее стержнях и перемещение неопорного узла. Ферма статически неопределима (C = 3 > 2), поэтому для решения задачи понадобится полная система уравнений.

Решение начинается с указания системы координат, нумерации стержней и узлов, изображения перемещений u и v, характеризующих состояние фермы. После этого составляются условия равновесия Px = 0, Py = 0 неопорного узла:

−N1 + N3 = 0, N1 cos β + N2 + N3 cos β = P.

(1.33)

Кинематические соотношения получаются при проецировании векторов u и v на направления стержней 1–3:

∆1 = u sin β − v cos β, ∆2 = −v, ∆3 = −u sin β − v cos β.

(1.34)

Наконец, закон Гука:

∆1 =	N1L/ cos β	,	∆2 =	N2L	,	∆3 =	N3L/ cos β	.	(1.35)
	EF			EF
							kEF

Полная система уравнений задачи получена.

Чтобы построить решение в перемещениях, формулы (1.35) надо записать в виде:

N1 = J ∆1 cos β, N2 = J ∆2, N3 = kJ ∆3 cos β, J = EF/L.
Сюда вводятся удлинения стержней (1.34):
	u			u
N1 = J		sin 2β −v cos 2β , N2 = −J v, N3 = −kJ			sin 2β +v cos 2β .	(1.36)
	2			2

Остается подставить усилия (1.36) в условия равновесия (1.33). После упрощений получится следующая система двух разрешающих уравнений относительно перемещений u и v:

u(k + 1) sin β + v(k − 1) cos β = 0,

u(k − 1) sin β cos 2β + v[1 + (1 + k) cos 3β] = −P/J.

136

Ей (системе) удовлетворяют величины

u =

P

(k − 1) ctg β

, v =

P

k + 1

.

J 1 + k(1 + 4 cos 3β)

− J 1 + k(1 + 4 cos 3

β)

Тогда

N1 = N3 =

2kP cos 2β

,

N2

=

(k + 1)P

.

1 + k(1 + 4 cos 3β)

1 + k(1 + 4 cos 3β)

В частности, при k = 1

N1 = N3 =

P cos 2β

,

N2 =

P

,

1 + 2 cos 3β

1 + 2 cos 3β

Часть II

(1.36a)

т. е. при любом значении угла β из диапазона 0 < β < π/2 усилие в центральном стержне больше усилий в двух других стержнях. А вот при k = 2 и β = 30o все три усилия одинаковы: N1 = N2 = N3 = √3P/(3 + √3).

Теперь о решении в усилиях. Оно начинается с исключения перемещений u и v из кинематических уравнений (1.34). Для этого первое и последнее из равенств (1.34) складываются, после чего учитывается, что v = −∆2. В результате получается условие совместности изменений длин стержней вида

∆1 − 2∆2 cos β + ∆3 = 0.

(1.37)

После подстановки величин ∆i по формулам (1.35) оно легко сводится к равенству

N1 − 2N2 cos 2β + N3 = 0.

Разрешающая система уравнений задачи в усилиях состоит из этого соотношения и условий равновесия (1.33). Можно проверить, что усилия (1.36a) указанным уравнениям удовлетворяют.

При решении задачи в силах кинематические уравнения выполняют вспомогательную роль, ибо используются лишь для перехода к условиям совместности интегральных деформаций стержней, которые-то и требуются в дальнейшем. Но такие условия можно получить и непосредственно, т. е. без обращения к равенствам (1.28). Для этого сначала устанавливается степень статической

неопределимости n фермы как разность между числом C ее стержней и числом независимых уравнений равновесия: n = C −2, а затем при помощи

Глава 1

137

чисто геометрических соображений составляются ровно n условий совместности удлинений ∆i стержней конструкции.

В рассматриваемом примере n = 1 и нужно установить только одну связь между величинами ∆i. Точка 0 принадлежит каждому из трех стержней (см. рис. 1.18a), и ее перемещение в положение 0 можно трактовать как результат изменения длины стержня i (i = 1, 2, 3) на величину ∆i и последующего поворота стержня относительно опорного узла. Перемещения малы, так что дугу окружности, по которой движется начальная точка оси стержня, допустимо заменить прямолинейным отрезком, ортогональным к первоначальному направлению стержня. Сказанное рис. 1.18a как раз и иллюстрирует. По изображенному на нем плану перемещений надо установить связь между удлинениями ∆i стержней фермы. Эта задача требует некоторой изобретательности: надо догадаться к выполненному на рис. 1.18a плану перемещений добавить линии 0 C и CA (рис. 1.18b), записать после этого очевидные равенства

∆2 = 0B + AB, ∆2 = 0C − AC,

учесть, что AB = AC и потому 2∆2 = 0B + 0C, и, наконец, подставить в последнюю формулу длины ∆1/ cos β, ∆3/ cos β отрезков 0C, 0B. Результат совпадает с равенством (1.37):

2∆2 cos β = ∆1 + ∆3.

Такого рода геометрические упражнения развивают гибкость ума, и в этом отношении они полезны. Но получать условия совместности интегральных деформаций стержней путем элементарных преобразований кинематических уравнений (1.28) все-таки удобней.

1.10. Несиловое воздействие. В статически неопределимых системах усилия возможны не только при силовом воздействии. В частности, они появляются при сборке фермы из элементов, изготовленных с отступлением от проектных размеров. Речь идет о так называемых монтажных усилиях.

Пусть стержень i сделан на величину δi длиннее, чем требуется. При установке этого стержня на место неопорный узел займет положение 0 , отличающееся от того положения 0, которое занял бы данный узел, будь все стерж-

ни выполнены точно (рис. 1.19). Пусть, далее, ∆i – про-

−→

екция вектора 00 на ось i-го стержня. Тогда длины этого

стержня до монтажа фермы и после него суть Li + δi и Li + ∆i соответственно, а потому с усилием Ni по закону Гука связано удлинение ∆i − δi,

138					Часть II
т. е.		NiLi
	∆i =		+ δi.		(1.29a)
		EFi
Изменяется и формула (1.30):
Ni = −Ji(δi + uli + vmi).					(1.30a)
Другими будут свободные члены в уравнениях (1.27a):
	C			C
a1 =	δi li/Ji, a2 =			δi mi/Ji.	(1.28a)
	i
	=1			i=1

Сами же уравнения (1.27a) и их коэффициенты (1.31) остаются прежними, что и оправдывает выделение меняющихся от расчета к расчету величин ai при помощи обозначений (1.32).

Аналогично, т. е. при записи закона Гука, можно учесть и тепловое воздействие на конструкцию. Для этого в формуле (1.29a) достаточно положить δi = αiLiTi, где αi – коэффициент линейного расширения материала i-го стержня, Ti – изменение температуры окружающей данный стержень среды. Таким образом,

∆i =	NiLi	+ αiLiTi.	(1.38)
	EFi

При выполнении иллюстративного примера целесообразно снова обратиться к ферме, приведенной на рис. 1.17. Пусть k = 1, т. е. все элементы фермы имеют одинаковую жесткость, и средний стержень изготовлен с отклонением от проектного размера на величину δ. Требуется найти усилия, возникающие при сборке фермы.

Решение заметно упрощается, если выполнять его с учетом симметрии конструкции и воздействия, т. е. того обстоятельства, что

N1 = N3, ∆1 = ∆3, u = 0.

В этом случае условия равновесия (1.33) и кинематические соотношения (1.34) примут вид (принимается во внимание, что P = 0):

2N1 cos β + N2 = 0, ∆1 = −v cos β, ∆2 = −v.

(1.39)

Закон Гука для стержня 1 берется в форме (1.29), а для стержня 2 – в форме (1.29a) (см. также равенства (1.35)):

	∆1 =	N1L	, ∆2	=	N2L	+ δ
		EF cos β			EF

Глава 1

139

или с учетом двух последних формул (1.39):

N1 = −J v cos 2β, N2 = −J (v + δ), J = EF/L.

(1.40)

Данные усилия вводятся в равенство (1.39)1, что позволяет сразу найти перемещение v, а вслед за тем – и усилия (1.40):

2v cos 3β + v + δ = 0 → v = −δ/(1 + 2 cos 3β),

N1 = N3 =	J δ cos 2β		N2 = −	2J δ cos 3β
		,			.
	1 + 2 cos 3β			1 + 2 cos 3β

Задача решена. Результат получился совершенно естественным. При β > 0 (средний стержень сделан длиннее, чем положено) крайние стержни придется к узлу 0 подтянуть (вот почему N1 = N3 > 0). Стремясь вернуться в исходное положение, они вызовут сжатие центрального стержня.

1.11. Нестандартные случаи. Как уже отмечалось в п. 1.8, при наличии дополнительных абсолютно жестких связей число степеней свободы системы уменьшается. Это приводит к нарушению стройного хода решения задачи. На рис. 1.20a изображена ферма, которая отличается от рассматриваемой выше только тем, что к ее неопорному узлу подходит абсолютно жесткий опорный стержень 0B. Ферма испытывает тепловое воздействие, состоящее в одновременном изменении температуры стержней 1–3 на T oC. Усилия и перемещения фермы, порожденные таким воздействием, и требуется определить.

Условия равновесия Px = 0, Py = 0 неопорного узла 0 фермы имеют вид (см. рис. 1.20c):

−N1 sin β + N3 sin β − R cos β = 0,				(1.41)
N1 cos β + N2 + N3 cos β	−	R sin β = 0.

При решении задачи в перемещениях продольные силы и реакцию R из уравнений (1.41) надо исключить. Для исключения усилий используются кинематические и физические соотношения. Но к недеформиру-

емому стержню закон Гука неприменим, поэтому реакцию R приходится

140

Часть II

исключать при помощи самих же уравнений (1.41). Это можно сделать, если из нижнего равенства, умноженного на cos β, вычесть верхнее уравнение, умноженное на sin β:

N1 + N2 cos β + N3 cos 2β = 0.

(1.41a)

Именно это условие равновесия и используется для перехода к разрешающему уравнению в перемещениях. Любое другое условие равновесия может пригодиться лишь для вычисления реакции R по найденным усилиям Ni. В данной задаче для этой цели следует воспользоваться равенством (1.41)1:

R = (N3 − N1)tgβ.

(1.41b)

В рассматриваемом примере C = 1 и в качестве параметра состояния выбирается перемещение U узла 0, направленное ортогонально к оси опорного стержня. Из рис. 1.20b видно, что u = U sin β, v = −U cos β. Подстановка этих компонент вектора U в кинематические уравнения (1.34) дает

∆1 = U, ∆2 = U cos β, ∆3 = −U cos 2β.

(1.42)

К этому результату можно прийти и иначе – последовательно проецируя вектор U на направления стержней 1–3.

Закон Гука записывается в форме (1.38):

∆1 =

L

N1

+ αT

, ∆2 = L

N2

+ αT

, ∆3 =

L

N3

+ αT

cos β

EF

EF

cos β

kEF

или (J = EF/L)

N1 = J∆1 cos β − αT EF, N2 = J∆2 − αT EF,

N3 = k(J∆3 cos β − αT EF ).

Теперь в эти формулы вводятся интегральные деформации (1.42):

N = N = J U cos β − αT EF, N= k(J U cos β cos 2 β− αT EF ). (1.43)

1 2 3

Наконец, усилия (1.43) подставляются в уравнение равновесия (1.41a), что

дает

U = αT EF 1 + cos β + k cos 2β .

J(1 + cos β − k cos 22β) cos β

Задача решена. Подстановка перемещения U в формулы (1.43) приводит к искомым усилиям