Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 3

191

Абсолютная величина угла поворота касательной к изогнутой оси балки максимальна при x = l. Прогиб в середине пролета, т. е. при x = l/2, хотя и не равен максимальному прогибу, но достаточно близок к нему. Эти перемещения таковы:

v0(l) =		ql[l2(l2 +30B)+72B2)]			ql2[l2(l2 +31, 5B)+72B2]
	−			, v(l/2) =			,
		48EIz(l2			192EIz(l2
			+3B)			+3B)

где B = AEIz. Слагаемые, содержащие множитель B, отражают вклад деформации сдвига в усилия и перемещения.

Пусть балка имеет прямоугольное поперечное сечение (для такого сечения µz = 1, 2) и выполнена из материала, для которого ν = 0, 25 . Тогда (см. формулу (3.15))

B ≡ AEIz = 2µz(1 + ν)rz2 = h2/4,

где rz2 = h2/12 – квадрат радиуса инерции прямоугольника. При таких исходных данных и при обозначении k = h/l формулы для усилий и перемещений принимают вид:

	VC =	5 + 0, 25k2	ql,
		8 + 6k2

v0(l) = −ql3(2 + 15k2 + 9k4) ,

24EIz(4 + 3k2)

MC = 8 +16k2 ql2,

ql4(8 + 63k2 + 36k4) v(l/2) = 384EIz(4 + 3k2) .

Если k = 0, 1 , то вклад деформации сдвига в усилия весьма мал: 0,74%

– в опорный изгибающий момент и 0,15% – в опорную поперечную силу. Заметно весомее этот вклад в перемещения. При учете только деформации изгиба рассматриваемые перемещения будут такими:

v0(l) = −	ql3		v(l/2) =	ql4
		,			.
	48EIz			192EIz

Но их модули увеличатся соответственно на 6,74% и 7,12%, если влиянием сдвига не пренебрегать. Существенно, что в статически неопределимых конструкциях сдвиговые деформации влияют на величины перемещений больше, чем в статически определимых. Например, если левую защемленную опору рассматриваемой балки заменить на шарнирную, то вклад в перемещения v0(l) и v(l/2) слагаемых, связанных со сдвигом, уменьшится в процентном отношении более, чем в два раза. Объясняется это просто. Заделка препятствует повороту торца стержня, тем самым повышая его жесткость на изгиб. Но на сдвиговой жесткости защемление никак не отражается, поэтому относительный вклад деформации сдвига возрастает.

192

Часть II

С увеличением отношения h/l деформация сдвига все меньше и меньше влияет на перемещения конструкции, поэтому при h/l ≥ 10 этим влиянием обычно пренебрегают. Такой подход принимается далее и в настоящем курсе, за исключением некоторых особо оговариваемых случаев.

Пренебрежение слагаемым 2µz(1 + ν)q/EF в правой части уравнения (3.10a) означает, что жесткость на сдвиг бруса принимается бесконечно большой. Это допустимо, ибо стержни, выполненные из реальных конструкционных материалов, хорошо работают при осевой деформации и сдвиге, но относительно плохо сопротивляются изгибу. Материалов, которые обладали бы противоположными свойствами, не существует. Однако модель конструкции с большой изгибной жесткостью и практически отсутствующей жесткостью на сдвиг предложить можно. Такими качествами обладает, например, набор множества тонких намагниченных пластинок, собранных в единый призматический брусок (см. рис. 3.17b): смежные пластинки заметно сопротивляются попыткам оторвать их друг от друга, но их легко сдвинуть по плоскостям соприкосновения, что и показано на рис. 3.17c. Из этого рисунка видно, что поперечные сечения бруса вообще не поворачиваются, тогда как касательная к "сдвинутой" оси "стержня" горизонтальна только в точке x= l/2. Пока еще нет возможности вычислять углы поворота сечений стержней при изгибе с поперечной силой, но ниже, в главе 8, эта задача найдет свое решение.

3.7. Составные стержни. Выше неоднократно говорилось о том, что касательные напряжения изгиба практически не влияют на прочность и деформативность брусьев и их можно не учитывать. Однако это верно лишь в случае, когда брусья являются цельными, т. е. сами не представляют собой некое конструктивное образование из двух или большего числа стержневых элементов. В таких синтетических брусьях (их называют составными) необходимость появляется тогда, когда изготовить цельный брус нужных разме-

ров невозможно или нежелательно.

Соединение элементов между собой может быть самым различным (рис. 3.18), но в любом случае его надежность оценивается по способности сопротивляться сдвигу. О том, как это делается, рассказывается в курсах строительных конструкций. Ниже излагается лишь принципиальная схема прочностного расчета соединений составных брусьев.

Наиболее просто решается задача о прочности клеевого соединения. По существу, оценка прочно-

Глава 3

193

сти склеенного стержня ничем не отличается от таковой для цельного бруса. Это и понятно: ведь будь в соединении использован высокопрочный клей – такой, что разрушение произошло бы скорее по материалу элементов бруса, нежели по шву, то проверять условие прочности по касательным напряжениям не понадобилось бы. Поэтому интерес представляет случай, когда для склеивания применяется недорогой клей, прочность которого при сдвиге меньше сдвиговой прочности самого материала.

На рис. 3.19a изображена деревянная консоль прямоугольного поперечного сечения, загруженная на свободном конце сосредоточенной силой. Как было показано в п. 3.4, в цельном стержне

max τxy = 3P/(2bh).

По закону парности касательных напряжений в нейтральном слое консоли действуют напряжения τyx = max τxy. Они равномерно распределены по этому слою, ибо Qy = const. Оценка прочности сводится к проверке условия

τyx ≤ [τ],

которое (и это тоже было показано в п. 3.4) для цельного бруса всегда выполняется, если l h. Пусть, например, [τ] = 20 кГ/см2, max τyx = 10 кГ/см2. Это означает, что при соединении элементов бруса нет никакой необходимости использовать клей, прочность которого выше 10 кГ/см2.

В балке, изображенной на рис. 3.19b, касательные напряжения τyx, судя по эпюре "Qy", распределены неравномерно. Но выполнять клеевое соединение переменной прочности технологически нецелесообразно. Поэтому клей подбирают по максимальным касательным напряжениям

τyx = max τxy = 3V/(2bh) = 3ql/(4bh).

194

Часть II

Пусть теперь деревянные элементы балки соединяются между собой гвоздями. Проектирование такого соединения начинается с замены эпюры поперечных сил произвольного очертания (в данном примере – прямолинейного) ступенчатой эпюрой так, как это показано на рис. 3.20. Силам

ql/2, ql/3, ql/6

отвечают по формуле Журавского (см. рис. 3.7) следующие значения максимальных касательных напряжений:

3ql/(4bh), 2ql/(4bh), ql/(4bh).

Так как совпадающие с ними касательные напряжения τyx(1), τyx(2), τyx(3) распределены на каждом из трех участков половины пролета балки равномерно, то их можно свести к

касательным силам

T (1) = τyx(1)b · (l/6) =	3		ql2		T (2) =	2		ql2		T (3) =	1	ql2
				,					,					.
	24		h			24		h			24		h

В нормативной литературе по проектированию деревянных конструкций приводятся данные о том, какую срезающую силу Pг может воспринять один гвоздь соединения. Эта величина зависит от длины и диаметра гвоздя, а также от толщины соединяемых частей. (Если высота h сечения уже подобрана из условия прочности по нормальным напряжениям, то толщина упомянутых частей известна.) Зная предельную нагрузку на один гвоздь, можно по формуле

n(i) ≥ T (i)/Pг, i = 1, 2, 3, . . .

подобрать необходимое число n(i) гвоздей на каждом из выделенных участков балки.

ГЛАВА 4. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ

ОПЛОСКОМ ИЗГИБЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО БРУСА

4.1.Постановка задачи. Казалось бы, что после вывода формул для нормальных и касательных напряжений в изгибаемом стержне и соотношений, определяющих перемещения его точек, говорить о каких-либо еще зависимостях между искомыми величинами не приходится. И все же такой разговор неизбежен. Дело в том, что и напряжения, и перемещения при из-

гибе выражаются через усилия Qy и Mz, а потому до тех пор, пока эти усилия не найдены, напряженно-деформированное состояние стержня остается неизвестным. Если задача статически определима, то усилия разыскиваются достаточно просто, в противном случае решение должно строиться на основе полной системы уравнений механики твердого деформируемого тела. Но как раз с помощью этой системы было получено соотношение (3.10), связывающее изгибающий момент со второй производной от перемещения v точки оси бруса. Если бы функция v(x) была известна, то по ней, выполнив ряд операций дифференцирования, можно было бы найти угол поворота касательной к оси стержня, изгибающий момент и поперечную силу и тем самым установить напряженно-деформированное состояние бруса. Это означает, что уравнение (3.10) есть разрешающее уравнение задачи плоского изгиба стержней. Важно также, что для наиболее распространенных типов нагрузки его решение представимо в виде конечных формул.

Если при EIz = const дважды продифференцировать по x равенство (3.10), получится соотношение

vIV = q/EIz,

(4.1)

содержащее интенсивность заданной распределенной нагрузки. Пусть последняя меняется по линейному закону q = q0 + q1x. В этом случае четырехкратное интегрирование уравнения (4.1), выполненное с использованием

формул Mz =

−

EIzv , q =

Q , Qy = M , дает:

−

y

z

v = C1 +C2x+C3x2 +C4x3 +x4(q0 +q1x/5)/(24EIz),

v

= C

+2C

x+3C

2

3

(q

+q

x/4)/(6EI

),

x

+x

2

3

4

0

1

z

(4.2)

Mz = −2EIz(C3 +3C4x)−x2(q0 +q1x/3)/2,

Q

= 6EI

C

4

x(q

+q

x/2).

y

z

0

1

−

−

196

Часть II

Постоянные интегрирования Ci определяются граничными условиями задачи. Решение получено, но пользоваться формулами (4.2) в общем случае неудобно. Это демонстрирует следующий пример.

При обращении к формулам (4.2) ось балки, изображенной на рис. 4.1a, приходится разбивать на два участка и записывать упомянутые равенства на каждом из них отдельно:

v1 = C11 +C12x+C13x2 +C14x3,	0 ≤x ≤ a,
v2 = C21 +C22x+C23x2 +C24x3,	a ≤x ≤ l,

· · ·	· · ·	· · ·
Qy2 = −6EIzC24,		a ≤x ≤ l.

Входящие сюда константы должны быть подчинены четырем граничным условиям

v1(0) = v1(0) = v2(l) = v2(l) = 0

иеще четырем условиям сопряжения перемещений

иусилий в месте стыка участков:

v1(a) = v2(a) v1(a) = v2(a), Mz1(a) = Mz2(a), Qy1(a) = Qy2(a)+P.

Граничные условия в точке x = 0 дают C11 = C12 = 0, а шесть остальных из названных уравнений сводятся к виду:

		C21 +C22l+C23l2 +C24l3 = 0,
											2	= 0,
			C +2C l+3C l
			22			23				24
2	3						2				3
C13a + C14a C21			C22a C23a C24a = 0,
		− −		−				−
2C13a+ 3C14a2 −C22 −2C23a−3C24a2 = 0,
		C + 3C a C							3C a = 0,
					−			−
		13	14			23				24
			C14			C24 = P/6EIz.
					−			−

И хотя получившаяся система линейных алгебраических уравнений не самая сложная, затратить время на ее решение придется. Ниже приводится только результат такого решения:

C13 =

C22

P a(l − a)2

2EIzl2

= P a2 , 2EIz

, C			14	=	−	P (l − a)2(l + 2a)				,
						6EIzl3
C	23	=		−	P a2(2l − a)		, C	24	=
						2EIzl2

P a3 C21 = − 6EIz ,

P a2(3l − 2a) . 6EIzl3

Глава 4

197

Константы C13 и C14 отличаются от изгибающего момента и поперечной силы в начале координат лишь множителями -1/2EIz и -1/6EIz соответственно. Учитывая симметрию задачи и тот факт, что l−a = b, можно прийти к эпюрам усилий, изображенным на рис. 4.1b.

Не надо обладать большим воображением, чтобы представить себе объем вычислений в случае, когда к стержню прикладывается несколько сосредоточенных воздействий или любая другая не слишком элементарная нагрузка. Ясно, что в подобных случаях желателен иной подход к интегрированию разрешающего уравнения задачи. И такой подход был предложен во второй половине прошлого века немецким исследователем А. Клебшем. Речь идет о методе начальных параметров, введенном в вычислительную практику еще Коши. Но именно Клебш сумел придать своему решению задачи ясный физический смысл.

4.2. Метод начальных параметров. Пусть к стержню (рис. 4.2a) прикладываются сосредоточенные моменты Mj , сосредоточенные силы Pi, полоски равномерно распределенной нагрузки с интенсивностями qk и наборы треугольных распределенных нагрузок, характеризуемых числами pt. Количества указанных воздействий могут быть произвольными, но от нагрузок qk и pt требуется, чтобы они распространялись до конца стержня. Последнее условие позволяет все члены приводимых ниже формул записывать однообразно и в то же время оно не слишком обременительно: ведь любую иную распределенную нагрузку из названного класса можно свести к требуемому виду при помощи принципа наложения (см. рис. 4.2b). Принятые к рассмотрению воздействия охватывают практически все нагрузки, прикладываемые к несущим конструкциям, либо позволяют аппроксимировать их с достаточной точностью.

В число нагрузок Pi, Mj входят и опорные реакции. Величины ai, bk,

cj , st, с помощью которых на стержне указываются положения нагрузок, должны быть заданы. Положительными считают воздействия, приводящие к отрицательным изгибающим моментам, т. е. к растяжению верхних волокон

198 Часть II

бруса. Как раз такими и являются нагрузки, показанные на рис. 4.2a, так что

	л			л			л		л
Mz =	Mj (x	−	cj )0	Pi(x	−	ai)		qk(x−bk)2		pt(x−st)3	. (4.3)
	− j			− i			− k	2	− t 6(l−st)

Символ, поставленный над знаком суммы, говорит о том, что при вычислении изгибающего момента учитываются только те нагрузки, которые находятся слева от сечения с абсциссой x. Значение каждого сосредоточенного момента умножается на разность (x−cj ) в нулевой степени, т. е. на единицу, что обеспечивает однородность представления в записи (4.3) всех воздействий. Так как v = −Mz/EIz, то двукратное интегрирование правой части соотношения (4.3), выполненное без раскрытия скобок, дает

л

л

л

л

v = C2 +

Mj (x−cj )

+

Pi(x−ai)2

+

qk(x−bk)3

pt(x−st)4

,

6EIz

j

EIz

i

2EIz

k

− t

24EIz(l−st)

л

Mj (x−cj )2

л

Pi(x−ai)3

л

qk(x−bk)4

л

pt(x−st)5

v = C1+C2x+

+

+

.

120EIz(l−st)

j

2EIz

i

6EIz

k

24EIz

− t

При x = 0 отсюда следует C1 = v0, C2 = ϕ0, где v0 и ϕ0 – прогиб и угол поворота начального торца стержня. Таким образом,

v = v0 +ϕ0x+

л

л

л

л

+

Mj (x−cj )2

+

Pi(x−ai)3

+

qk(x−bk)4

pt(x−st)5

,

120EIz(l−st)

j

2EIz

i

6EIz

k

24EIz

− t

л

л

Pi(x

л

л

v = ϕ0 +

Mj (x−cj )

+

−ai)2

+

qk(x

−bk)3

pt(x−st)4

,

j

EIz

i

2EIz

k

6EIz

− t

24EIz(l−st)

л

л

л

л

(4.4)

Mz =

Mj

Pi(x

−

ai)

qk(x−bk)2

pt(x−st)3

,

6(l−st)

− j

− i

− k

2

− t

л

л

л

pt(x−st)

2

Qy =

Pi

qk(x

−

bk)

.

2(l−st)

− i

− k

− t

Это и есть формулы Клебша, позволяющие по заданной нагрузке и начальным параметрам v0 и ϕ0 найти перемещения и усилия в любых сечениях стержня. Используя их, важно следить за тем, какие именно нагрузки влияют на значения усилий и перемещений в данном сечении бруса, т. е. что за воздействия должны входить под знак суммы. Часто под этим знаком оказывается только одно слагаемое, что приводит к записи типа

Глава 4	199
л
Mz = − P1(x − a1),	(4.5)
i

имеющей несколько странный вид. С другой стороны, более естественная запись

	P1(x	−	a1) при x > a1,
Mz = −
0	при x ≤ a1

является и более громоздкой. В подобных случаях прибегают к помощи так называемой тэта-функции (θ-функции), которая представляет собой оператор вида

θ(x, a) =

1 при x > a,

0 при x ≤ a.

Она принадлежит к классу так называемых обобщенных функций, изучаемых в специальных разделах математики. Ввел в употребление тэтафункцию известный английский физик О. Хевисайд. Из определения тэтафункции видно, что

θ(x, a) =θ(a, x),

т. е. порядок следования аргументов при записи функции Хевисайда существенен (рис. 4.3).

Теперь равенство (4.5) можно записать и без символа суммы:

Mz = −P1(x − a1) · θ(x, a1),

(4.5a)

но смысл его остается прежним: если x < a1, то Mz = 0, в

противном случае Mz = −P1(x − a1).

При помощи формул (4.4) пример, рассмотренный в п. 4.1, решается намного проще. На рис. 4.4 представлена схема загружения балки. Воздействия P0 и M0 – суть иско-

мые опорные реакции. Две другие реакции опор P и M также изображены на рис. 4.4, хотя, будучи приложенными в конце стержня, они не принимают участия в решении задачи. Так как балка защемлена по торцам, то v0 = ϕ0 = 0 и, согласно формулам Клебша (4.4):

EIzv = M0x2/2+P0x3/6+P (x−a)3 · θ(x, a)/6,

EIzϕ = M0x+P0x2/2+P (x−a)2 · θ(x, a)/2,

Mz =−M0−P0 x−P (x −a)2 · θ(x, a),

Qy = −P0 −P · θ(x, a).

(4.6)

200

Часть II

Для определения реакций M0 и P0 используются условия v(l) = 0 и ϕ(l) = 0. В точке x = l, т. е. на правом конце стержня, θ(l, a) = 1, x −a = l −a = b и первые два из равенств (4.6) принимают вид:

0 = M0l2/2+P0l3/6+P b3/6, 0 = M0l+P0l2+P b2/2.

Стало быть,

M0 = P ab2/l2, P0 = −P b2(l + 2a)/l3.

Задача решена. Результат получился тем же, что и в предыдущем пункте, но достигнут он был с меньшей затратой времени.

Учет влияния деформации сдвига на усилия и перемещения на двух последних формулах из соотношений (4.4) никак не отразится, но две первые формулы изменятся. Их вывод дается ниже для случая, когда интенсивность распределенной нагрузки постоянна, т. е. при всех pt = 0. Интегрирование уравнения (3.10a) в этом случае дает (см. также обозначение (3.15)):

	л	Mj (x − cj )	л	Pi(x−ai)2		л	qk(x	− bk)3
	v =		+		+				−
		EIz					6EIz
	j		i	2EIz		k
					л		л

− A Pi + qk(x − bk) + C,

	л	Mj (x − cj )2
	v =
		2EIz
	j
		л
		− A Mj
		j

						i		k
+	л					л
	Pi(x		− ai)3 + qk(x − bk)4							−
	i	6EIz				k		24EIz
+	л	Pi(x		ai) +		л	qk(x−bk)2		+ Cx + C1.
			−
								2
	i					k

В начале стержня v = v0, v = v0, поэтому C = v0 + AP0, C1 = v0 + AM0, где P0 и M0 – воздействия, приложенные к началу стержня. Тогда

л

л

л

v = v0 +v0x+

Mj (x−cj )2

+

Pi(x−ai)3

+

qk

(x−bk)4

j

2EIz

i

6EIz

k

24EIz

−

Mj + л

ai) + л

A

л

Pi(x

qk(x−bk)2 ,

−

−

2

л

j−0

i−0

л

k

л

(4.4a)

Mj (x − cj )

Pi(x−ai)2

qk(x − bk)3

v = v0 +

+

+

−

j

EIz

i

2EIz

k

6EIz

л

л

− A Pi + qk(x − bk) .

i−0 k