Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 3

181

напряжения τxy(y) действуют только в стенке двутавра, тогда как в полках этого сечения от нуля отличаются лишь напряжения τxz(z). Напряжения τxy уравновешивают заданную поперечную силу Qy, а напряжения τxz по сечению самоуравновешены. Для вычисления значений τxy(y) используется формула Журавского (3.4) при b= t. Формулу для составляющих τxz можно получить, рассмотрев равновесие выделенного из полки двутавра элемента с размерами δ, (b/2−z) и dx (рис. 3.9b). Выкладки здесь такие же, что и при выводе равенства (3.4), о чем свидетельствует и окончательный результат:

τxz =	QySzотс	.	(3.7)
	δIz
В данном случае Szотс = δ · (b/2−z) · (h/2−δ/2), поэтому напряжения
τxz = Qy(b − 2z)(h − δ)/4Iz			(3.7a)

меняются вдоль полок линейно, достигая максимума при |z|= t/2. Вид эпюр касательных напряжений τxy и τxz представлен на рис. 3.9c.

Следует отметить, что там, где полки и стенки двутавра сопрягаются друг с другом, появляются зоны местных напряжений. Это обстоятельство надо было бы отразить, изображая на эпюрах "τxy" и "τxz" всплески напряжений около концентраторов. Но поскольку задача о концентрации напряжений здесь не решалась, то и указанные эпюры приведены на рис. 3.9c без учета зон местных деформаций. Из содержания следующего пункта станет ясным, почему этому вопросу нет нужды уделять более пристального внимания.

Задачу о касательных напряжениях изгиба в круглом поперечном сечении удобнее решать при помощи полярных координат. Так как (элементарные выкладки опущены)

Iz = πR4/4, b = 2R sin α, Szотс = (2R3 sin α)/3,

182							Часть II
то, согласно формуле (3.4),
τxy =	QySzотс	=	4			Qy sin2 α
							.
	bIz			3		πR2

Но πR2 = F , а sin2 α = 1−cos2 α = 1−y2/R2, так что

τxy = (4Qy/3F ) · (1 − y2/R2).

Следовательно, здесь, как и в прямоугольном сечении, напряжения τxy меняются по высоте

сечения по закону квадратной параболы, достигая максимума на нейтральной оси y = 0.

Чтобы вычислить составляющую τxz, надо воспользоваться формулой

(3.6). Очевидно,
				b0			1	Qy
b= 2R sin α= 2qR2 −y2, by0 = −2y(R2−y2)−1/2,
				τxz =	y	z ·τxy = −				yz.
					b		3		Iz
		√
Эти напряжения максимальны при |y| = |z| =			2R/2, т. е. по концам диаго-

налей, наклоненных к координатным осям под углом в 45o (см., например,

точку 1 на рис. 3.10):

max |τxz| = 23QFy .

Для круга, как и для прямоугольника, имеется точное решение задачи о

касательных напряжениях изгиба:

τ

xy

=

Qy

(3 + 2ν)(R2 − y2) − (1 − 2ν)z2

,

τ

xz

=

−

Qy

1 + 2ν

yz.

8Iz

1 + ν

4Iz 1 + ν

Наибольших значений напряжения τxy достигают в начале координат, т. е. при y = z = 0:

τxy =

1

3 + 2ν

Qy

.

2 1 + ν F

В крайних точках 2 и 3

нейтральной оси эти напряжения, в отличие от

прямоугольного сечения, меньше, чем в центре сечения:

τxy(2) = τxy(3) =

1 + 2ν

Qy

.

1 + ν F

В частности, при ν = 0, 25

7Qy

21

4

Qy

· max τxyср, τxy(2) = 0, 9 · max τxyср.

max τxy =

=

= 1, 05

5F

20

3

F

Глава 3

183

Напряжения τxz достигают максимума

max |τxz| = 1 1 + 2ν Qy

2 1 + ν F

втех же точках сечения, что и при вычислениях по технической теории. При ν = 0, 25 напряжения max |τxz|, найденные по технической теории, на 10% превышают точный результат.

3.4.Оценка прочности. На рис. 3.11 представлены эпюры нормальных и касательных напряжений в массивном поперечном сечении изгибаемого бруса. Наибольших по модулю значений напряжения σx достигают в точках, принадлежащих самым удаленным от нейтрального слоя волокнам бруса. Но именно в этих точках нет напряжений τxy, а потому представляющие интерес при оценке прочности стержня главные площадки, выделенные, скажем, около точек 1 и 2, будут расположены как раз в плоскости поперечного сечения. Следовательно, при оценке прочности бруса можно опереться на те же зависимости (2.12)–(2.12b), ко-

торые использовались с этой целью

взадаче чистого изгиба.

Пусть сечение симметрично относительно оси 0z. Для сечения, показанного на рис. 3.11, это означает, что b1 = b2 = b, т. е. напряжения τxy максимальны на уровне

нейтрального слоя. Проверка прочности выполняется по формуле
|	τ(0)	|	=	|Qy|Szотс0	≤	[τ],	(3.8)
	xy			bIz

где Szотс0 – статический момент части сечения, находящейся по одну сторону от нейтральной оси. Однако напряжения |τxy(0)| настолько меньше напряжений σx в точках 1 и 2, что оценка прочности по формуле (3.8) лишена смысла. Сказанное подтверждает следующий пример.

Пусть прямоугольное поперечное сечение консольного бруса, изображенного на рис. 3.2a, имеет высоту h и ширину b. В самом опасном сечении консоли действуют усилия Mz = P l, Qy = P , так что

max σx =

Mz

=

6P l

,

max τxy =

3

Qy

=

3P

,

max σx

= 4

l

.

Wz

bh2

2

F

2bh

max τxy

h

Пусть, далее, [σ] и/[τ] = 6. Такое, примерно, отношение допускаемого нормального напряжения при изгибе к допускаемому напряжению на сдвиг

184

Часть II

имеют некоторые сорта древесины. Из приведенных выше формул видно, что max σx/ max τxy ≥ 6, если только l ≥ 1, 5 h. Значит, лишь для очень коротких брусьев, т. е. при l≤1, 5 h, имеет смысл проверять прочность сечения по формуле (3.8). Недаром при описании в п. 3.1 эксперимента, в котором консольный брус доводился до разрушения в результате скалывания материала по среднему слою, подчеркивалась небольшая относительная длина бруса. Однако элементы небольшой относительной длины к стержням не относятся и напряженное состояние в них не может быть исследовано при помощи гипотез изгиба балок. Нет оснований здесь и для применения формулы Журавского.

Если (см. рис. 3.11) b1 6= b2, например, b2 >b1, то max τxy 6= τxy(0) и во всех точках сечения, кроме точек с ординатами y1 и y2, проверку прочности надо было бы вести по главным напряжениям. Однако при l h эквивалентные напряжения в точках любых внутренних волокон бруса меньше значений нормальных напряжений в волокнах, наиболее удаленных от нейтрального слоя. Таким образом, становится ясной причина, по которой проверка прочности массивных брусьев сводится лишь к контролю за напряжениями σx. Находит объяснение и сделанное в п. 3.2 замечание об отсутствии необходимости в изучении детального распределения касательных напряжений по сечению. Но ясно и то, что понять деформацию изгиба, не изучая касательные напряжения, нельзя.

Пусть сечение стержня является тонкостенным. Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то опасны точки 1, 2 и 0, показанные на рис. 3.12. В точке 1 максимальны напряжения σx и τxz. Однако при l h значения |τxz(1)| много меньше величины |σx(1)|, так что по любой теории прочности σэкв ≈σx(1). Следовательно, в точке 1 сопоставлять с допускаемыми напряжениями надо лишь напряжения σx.

В точке 2 напряжения σx(2) хотя и меньше величины σx(1), но не намного, и здесь же сравнительно велики напряжения τxy(2). В таких случаях применяются теории прочности. Наконец, в точке 0 с допускаемыми значениями

следовало бы сравнить напряжения τxy(0). Но как показывают вычисления, при l > 5h несущую способность сечения ни напряжения σx(2), τxy(2), ни тем

более напряжения τxy(0) не лимитируют. Опасной будет точка 1, так что и для тонкостенного длинного бруса, испытывающего изгиб с поперечной силой, проверка прочности осуществляется по формуле (2.12).

Глава 3

185

3.5. Изгиб в двух плоскостях. Если поперечное сечение призматического стержня имеет две оси симметрии и нагрузка прикладывается в плоскостях симметрии бруса ортогонально к его поверхности, то стержень испытывает пространственный изгиб с усилиями Mz, Qy и My, Qz. На рис. 3.13 эти

усилия изображены положительными. О том, что положительными считаются изгибающие моменты, растягивающие те волокна бруса, которые находятся в положительном октанте базиса xyz, говорилось в п. 2.5. Остается объяснить выбор знака для поперечных сил. Объяснение простое: этот выбор продиктован традициями, сложившимися в механике стержней. Изучение изгиба начиналось с исследования деформирования балок. Балка – это горизонтальный брус, закрепленный по концам и несущий вертикальную нагрузку. Под нагрузкой балка провисает, ее нижние волокна растягиваются, верхние – сжимаются, опорные реакции направлены вверх. И вне зависимости от выбора системы координат, все реализующиеся в натуре деформации

иперемещения стали считать положительными. Другими словами, положительными принимают прогибы, направленные вниз, изгибающие моменты, растягивающие нижние волокна балки, и такие поперечные силы, которые уравновешивают направленную вверх левую опорную реакцию. Последнее правило может быть сформулировано и иначе: положительна та поперечная сила, которая вращает отсеченную часть балки по часовой стрелке. Эти правила относятся к деформации плоского изгиба, но их можно распространить

ина более общий случай, что и было сделано при выполнении рис. 3.13.

Для выкладок нужна система координат. Пусть ее начало совмещается с центром тяжести одного из торцов стержня, который принимается и за начало самого стержня. Ось 0x направляется по оси бруса от его начала к концу. Ось 0y – она же и ось симметрии сечения – идет вертикально вниз, ось 0z берется так, чтобы система координат xyz была левой. В этом базисе положительные перемещения v, w на-

правлены в ту же сторону, что и оси 0y, 0z, а положительные поперечные силы Qy, Qz антипараллельны указанным осям. Вектор положительного момента My совпадает по направлению с осью 0y, а вектор положительного момента Mz оси 0z противонаправлен. Что же касается связи M0 = Q меж-

186

Часть II

ду поперечными силами и изгибающими моментами, то в настоящей задаче она сводится к двум равенствам:

	Qy =	dMz	, Qz =	dMy	,
		dx		dx

записанным с учетом выбранной системы координат. Силам Qy и Qz (см. формулу (3.4) и рисунок 3.14a) отвечают касательные напряжения

	Q	S отс		QzS отс
τxy =	y	z	, τxz =	y	.
	b(y)Iz			h(z)Iy

Если сечение стержня тонкостенное, а в нем касательные напряжения τ распределяются так, как об этом говорилось в п. 3.3, т. е. равномерно по толщине скорлупы и по касательной к ее оси, то, согласно принципу наложения,

	Q	S отс		QzS отс
τ =	y	z	+	y	.	(3.9)
	δIz			δIy

При оценке прочности поперечного сечения рассматриваются только те его точки, которые наиболее удалены от нейтральной оси. В этом отношении данная задача не отличается от задачи о чистом изгибе в двух плоскостях. Стало быть, для прямоугольного поперечного сечения опасны точки 1 и 2, показанные на рис. 2.9a. Казалось бы, что при наличии поперечных сил надо позаботиться о проверке прочности и в некоторых других точках, например, в точках 3 и 4 (см. рис. 2.9a): хотя в них напряжения σx и меньше, чем в точке 1 (или 2), но ведь там имеются ненулевые касательные напряжения τxz или τxy. Это, конечно, верно, но верно и то, что при l h вклад касательных напряжений изгиба в эквивалентные напряжения столь незначителен, что им можно пренебречь.

И еще одно замечание. Если сечение несимметрично, то могут возникнуть осложнения, о которых необходимо знать. Дело в том, что при приложении нагрузок в плоскостях, содержащих главные оси инерции поперечных сечений, в стержне, помимо изгиба, появится деформация кручения. В массивных брусьях эта деформация мала и ею пренебрегают, но в тонкостенных стержнях открытого профиля не учитывать напряжения кручения нельзя. Более подробно данный вопрос освещается в главе 6.

3.6. Влияние сдвигов на перемещения и нормальные напряжения.

Здесь снова рассматривается плоская задача и для выяснения сути дела этого вполне достаточно. Если бы поперечные силы не вызывали искривления сечений стержня, то связь между изменением кривизны v00 изогнутой оси

Глава 3	187
бруса и усилием Mz давалась бы уже знакомым
равенством (2.10):
v00 = −Mz/EIz ,	(3.10)

в котором, в отличие от случая чистого изгиба, усилие Mz и величина v00 суть функции координаты x, а не константы. Однако сечения бруса при изгибе искривляются, что необходимо учитывать, устанавливая связь между функциями v00, Mz и Qy. Здесь можно опереться на принцип наложения и добавить к правой части равенства (3.10) слагаемое, связанное с деформацией сдвига. При сдвиге

бесконечно малый элемент, выделенный из бруса, смещается по горизонтали и искажается (рис. 3.15). Относительное удлинение ребра CD этого элемента равно величине (C00D00 = CD = dx)

εcd =

C0D0 − CD

=

C00D00 − C00C0 + D00D0 − CD

=

D00D0 − C00C0

,

CD

CD

dx

а так как

D00D0 = (γxy + dγxy)dy,

C00C0

= γxydy,

γxy = τxy/G,

то (см. также формулу (3.4))

dγxy

1 τxy

1 d

QySzотс

q Szотс

εcd =

dy =

dy =

dy = −

dy,

dx

G

dx

G

dx

bIz

G

bIz

где q – интенсивность заданной распределенной нагрузки. Относительное удлинение ε волокна k–k, расположенного на произвольном расстоянии t от нейтрального слоя, складывается из деформаций εcd всех бесконечно малых элементов, находящихся между плоскостями y = 0 и y = t, т. е.

		t		t	отс
	εx = Z		q	Z
		εcd = −			Sz	dy .	(3.11)
			GIz		b
	0			0

Гипотеза об отсутствии взаимодействия между волокнами бруса позволяет применить закон Гука при σy = σz = 0, т. е. в наиболее компактной форме: σz = Eεx . Тогда

Mz(Q) = Z	σxydF = EZ		Eq	Z	y Z	t
							S отс
		εxydF = −					z	dy dF . (3.11a)
			GIz				b
F	F			F	0

188

Часть II

Изгибающий момент Mz(Q) порожден дополнительными нормальными напряжениями, связанными с искривлениями поперечных сечений. Входящий в формулу для усилия Mz(Q) интеграл берется по частям. Пусть

t	отс			отс
u = Z						Z
	Sz	dy,	dv = ydF, du =	Sz	dy, v(y) =		ydF = Szотс.
	b			b
0					F отс

Внеинтегральный член uv обращается в нуль, ибо v(F ) = Sz – статический момент всего сечения относительно центральной оси. А так как dy = dF/b и E/G= 2(1+ν), что следует из формулы (I.6.3), то

	Eq	h	0 − Z	Szотс	S отс			q	Z	(S отс)2
Mz(Q) = −					z	dy	= 2(1 + ν)			z	dF. (3.12)
	GIz				b			Iz		b2
			F			i			F

Усилие Mz(Q) можно записать еще короче, если ввести безразмерный коэффициент µz, характеризующий форму поперечного сечения:

µz =	F	Z	(Szотс)2		(3.13)
				dF.
	Iz2		b2
		F

Коэффициент µz близок по величине к единице. Так, для прямоугольника

Iz = bh3/12, F = bh, Szотс = b(h2/4−y2)/2 и

144

1

h2

36

h/2

h2

Z

2

Z

2

µz =

− y2

dF =

− y2

bdy = 6/5 = 1, 2 .

bh5

4

4

bh5

4

F

−

h/2

Для круглого поперечного сечения µz = 10/9 = 1, 11 , для прокатных двутавровых профилей – µz = 2 ÷ 2, 4 .

Итак, в соответствии с формулой (3.12)
Mz(Q) = 2µzq(1 + ν)Iz/F	(3.14)

и задача определения перемещений в изгибаемом стержне с учетом деформации сдвига практически решена. Но прежде, чем записать расчетные формулы, имеет смысл воспользоваться полученным результатом, чтобы оценить вклад усилия (3.14) в нормальные напряжения. Подстановка момента (3.14) в формулу σx = Mzy/Iz дает

σx(Q) = Mz(Q)y/Iz = 2µzqy(1 + ν)/F.

Пусть 0z – ось симметрии сечения. Тогда

max σx = max σx(Mz) + max σx(Q) = Mz/Wz + µzqh(1 + ν)/F.

(3.15)

Глава 3

189

В шарнирно опертой балке прямоугольного сечения, несущей равномерно распределенную нагрузку, изгибающий момент максимален в середине пролета l: max Mz = ql2/8. В этом месте

	max σx =	ql2	/8	+	1, 2qh(1 + ν)		=	3 ql2			[1 + 1, 6(1 + ν)h2/l2].
		bh2/6			bh			4 bh2

Если ν = 0, 25 , то 1, 6(1 + ν)h2/l2 = 2, 0h2/l2, так что при h = 0, 1l второе слагаемое в квадратных скобках составит всего 2,0% от первого. Эти вычис-ления подтверждают все то, что говорилось в п. 3.1 о влиянии деформации сдвига на нормальные напряжения.

Чтобы найти изменение кривизны изогнутой оси бруса, обусловленное

сдвигом, надо в формулу (3.10) подставить усилие (3.14):
v00(Q) =		−	Mz(Q) =					−	2µzq(1 + ν)
				EIz						EF
и опереться на принцип наложения:
v00 = −		Mz			2µzq(1 + ν)
				−						. (3.10a)
	EIz						EF

Интегрировать это уравнение надо с учетом граничных условий, составляемых при помощи рис. 3.16a. Для за-

щемления эти условия имеют специфический вид, ибо при сдвиге нормаль ν к поперечному сечению (рис. 3.16b) не совпадает с направлением касательной τ к искривленной оси бруса. Так как dQy/dx= −q, то первый интеграл уравнения (3.10a) при Mz(Q) = 0 имеет вид:

v0 ≡ γ = 2µz(1 + ν)Qy + C. EF

Если в заделке поперечная сила отсутствует, т. е. Q0y = 0, то тогда не будет и сдвига, т. е. γ0 = 0. Это условие выполняется лишь при C = 0. Стало быть,

γ0 = 2µz(1 + ν)Q0y , EF

что и учитывалось при выполнении рис. 3.16a. При обозначении

A = 2µz(1 + ν)

EF

связи между углом сдвига γ0 = v00 и поперечной силой в заделке можно придать компактный вид:

γ0 = AQy0 .

(3.16)

190

Часть II

На рис. 3.17 изображена статически неопределимая балка, усилия и перемещения в которой требуется найти с учетом влияния на них деформации

сдвига. В рассматриваемом случае

Mz(x) = VC · x −

1

qx2 − MC, yQ(x) = VA − qx

2

и (см. уравнение (3.10a) и обозначение (3.15))

1

1

v00 =

MC − VC x +

qx2 − Aq,

EIz

2

поэтому

1

MCx

1

1

qx3 − Aqx + C,

v0

=

−

VCx2 +

EIz

2

6

1

1

1

1

1

v =

MCx2 −

VCx3

+

qx4

−

Aqx2 + Cx + C1.

EIz

2

6

24

2

Далее надо учесть граничные условия (см. формулу (3.16)):

v00 ≡γ 0 = AVC, v0 = 0, v(l) = 0, M(l) = 0,

что дает

C =AVC, C1 =0,

VC =

5l2 +AEIz

MC =

ql4

ql,

.

8(l2

+3AEIz)

8(l2

+3AEIz)

Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил в рассматриваемой балке приведены на рис. 3.17a. Формулы для перемещений имеют вид:

v0

=

x

MC −

1

+

1

qx2

− A(VC − qx),

VCx

EIz

2

6

x2

1

1

1

v =

MC −

VCx +

qx2 + Ax VC −

qx .

2EIz

3

12

2