Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 1

151

которые затем вводятся в два оставшихся уравнения указанной системы:

∆3 = ∆1 − (1 + k)(∆1 + ∆5),

∆4 = [∆1 − (1 + k)(∆1 + ∆5)] cos β + ∆2 − ∆1 cos β.

Подстановка в эти условия совместности интегральных деформаций стержней удлинений (1.62) приводит к двум равенствам, содержащим искомые усилия. Вместе с условиями равновесия (1.60) они составляют систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными. Можно проверить, что усилия (1.64) этой системе удовлетворяют.

1.16. Подбор сечений при действии постоянной нагрузки. Задачей проектировщика является назначение таких размеров элементов конструкции, чтобы последняя выдерживала прикладываемые внешние воздействия и была экономичной. В рассматриваемых здесь задачах длины стержней конструкции, их число и способы закрепления считаются известными, а определению подлежат только размеры поперечных сечений. Впрочем, для элементов, испытывающих осевую деформацию, достаточно найти площади Fi их сечений. О процессе отыскания величин Fi из условий прочности элементов шарнирно-стержневой или дисково-стержневой конструкций и говорят как о подборе сечений. При подборе сечений надо отличать друг от друга статически определимую и статически неопределимую конструкции. В статически определимой конструкции усилия возникают только при силовом воздействии, причем они не зависят от материала стержней и размеров поперечных сечений, т. е. от осевых жесткостей EFi, i = 1, 2, . . . , C, где C

– число деформируемых стержней конструкции. Поэтому после того, как из условий равновесия будут получены усилия Ni, можно тут же воспользоваться формулой

σ(i) = Ni ≤ [σ],

x Fi

из которой следует, что Fi ≥ Ni/[σ]. В этом случае всегда возможно назначить размеры всех сечений так, чтобы соблюдались условия

	Fi =	Ni		, 1, 2, . . . , C.	(1.65)
		[σ]

Конструкцию, для всех стержней которой выполняется условие (1.65), называют равнопрочной. Пока оставим в стороне вопрос о том, насколько целесообразно проектировать такие конструкции. Важно, что это всегда можно сделать, тогда как равнопрочные статически неопределимые шарнирностержневые и дисково-стержневые конструкции существуют далеко не всегда. Последнее утверждение требует доказательства.

152

Часть II

На рис. 1.27a изображена симметричная одноузловая ферма, состоящая из трех стержней. Ясно, что усилия в наклонных стержнях равны, а потому одинаковыми следует назначить и площади их поперечных сечений. Условие совместности удлинений стержней этой один раз статически неопределимой

фермы имеет вид (см. рис. 1.27b):

∆1 = ∆2 cos β.

(1.66)

Так как L1 = L/ cos β, L2 = L, то (закон Гука)

				∆1 =	N1L	, ∆2	=	N2L
					EF1 cos β			EF2
и условие (1.66) принимает вид:
N1		=	N2	cos 2β.			(1.67)
	F1
			F2

Напряжения в стержнях 1 и 2 определяются равенствами

σ1	=	N1	, σ2	=	N2	,
		F1			F2

поэтому сделать ферму равнопрочной (σ1 = σ2 = [σ]) можно только при условии, что

N1	=	N2	.	(1.68)
F1
		F2

Условия (1.67) и (1.68) не противоречат друг другу лишь в случае вырождения фермы, т. е. при cos β = 1. Стало быть, рассматриваемая статически неопределимая ферма равнопрочной быть не может. Этот вывод справедлив и для других систем с элементами, испытывающими осевую деформацию, хотя при специальном подборе параметров конструкции и внешнего воздействия возможны и исключения. Сказанное означает, что в общем случае только некоторую часть стержней статически неопределимой конструкции можно выполнить так, чтобы их прочность была полностью исчерпана, тогда как все остальные стержни останутся недогруженными.

Казалось бы, что отмеченное выше обстоятельство свидетельствует о нерациональности статически неопределимых конструкций. Однако это не так. Опытный инженер и статически определимую конструкцию не станет проектировать равнопрочной. Во-первых, изготавливать конструкцию, все элементы которой имеют разные размеры, нецелесообразно по технологическим соображениям. Во-вторых, надежность работы равнопрочной конструкции невелика. Любой материал и любое заводское изделие имеют дефекты,

Глава 1

153

которые дают о себе знать именно в тех местах, где возникают самые большие напряжения. Вероятность совпадения областей наибольшей концентрации дефектов и наибольших напряжений сравнительно невелика, но лишь при условии, что конструкция не является равнопрочной. По указанным причинам шарнирно-стержневые конструкции собирают из элементов не более двух–трех типоразмеров вне зависимости от того, статически определимы они или нет.

Другой особенностью статически неопределимой конструкции является зависимость усилий в ее элементах от размеров поперечных сечений и материала, т. е. от величин EFi. Это означает, что последними (точнее, отношениями жесткостей EFi к некоторой эталонной жесткости EF0) необходимо предварительно задаться. О том, как это делается в реальных расчетах, рассказывается в специальных курсах инженерных конструкций. Пока же можно поступить так. Принять, например, на первом шаге вычислений осевые жесткости EF всех деформируемых стержней одинаковыми, найти усилия Ni в них и по уровням полученных усилий разбить элементы конструкции на две–три группы (по числу предполагаемых типоразмеров этих элементов). На втором этапе расчета для каждой группы стержней назначаются осевые жесткости EF = const, пропорциональные средним уровням усилий ее представителей. После этого делается перерасчет конструкции. Возможно, что для получения решения, удовлетворяющего проектировщика, описанную процедуру придется повторить не один раз. Если же отношения EFi/EF0 из конструктивных или иных соображений задаются однозначно, то надобность в перерасчетах отпадает.

Для примера можно подобрать поперечные сечения участков стержня, изображенного на рис. 1.21, в предположении, что материал бруса одинаково сопротивляется растяжению и сжатию при допускаемом напряжении [σ]. Значения усилий на трех участках стержня при их одинаковой длине и одинаковой жесткости EF определяются формулами (1.46a):

N1 = N3 = P/3, N2 = −2P/3.

Так как |N2| > N1 = N3, то прочность стержня определяется прочностью его второго участка. Пусть σ2 = [σ]. Тогда

= |N2| = 2P

F2 [σ] 3[σ] .

На участках 1–3 напряжения будут вдвое меньше:

σ(1) =	N1	=	P/3		=	[σ]	,
			2P/3[σ]			2
	F1

154

Часть II

т. е. две трети стержня недогружены на 50%. Объем рассматриваемой конструкции равен величине

2P L

V = 3F2L = [ ] . (1.69)

σ

Можно попытаться запроектировать стержень иначе, приняв осевую жесткость на участках 1 и 3 в два раза меньшей, чем на участке 2. Пусть

EF1 = EF3 = EF , EF2 = 2EF . При k2 = k3 = 1, η2 = η3 = 1, m = −1, µ1 = 1,

µ2 = 2 формулы (1.46a) дают

N1 = N3 = P/5, N2 = −4P/5.

Тогда

N1

P

|N2|

4P/5

2P

σ(1) =

=

,

σ(2) =

=

=

.

5F

2F

F1

F2

5F

И в этом случае прочность конструкции лимитируется ее вторым участком. Если σ(2) = [σ], то

	F =	2P	,	σ(1) =	[σ]	.
		5[σ]			2

И хотя участки 1 и 3, как и на первом этапе вычислений, недогружены на 50%, объем стержня уменьшится (см. формулу (1.69)):

V = 2L · F + L · 2F = 4F L = 1, 6P L .

[σ]

Вопрос о том, компенсирует ли полученный 20-процентный выигрыш в материале затраты, связанные с приданием стержню ступенчатой формы, остается открытым.

На самом деле подбор сечений – операция более сложная, чем только что описанная. Дело в том, что конструкция должна воспринимать разные воздействия, которые могут прикладываться в самых разных сочетаниях. В задачу проектировщика входит как определение самых опасных комбинаций внешних воздействий, так и назначение таких размеров элементов конструкции, чтобы последняя не разрушалась при любом из возможных загружений и не был допущен перерасход материала. Способы решений этой проблемы здесь не обсуждаются.

ГЛАВА 2. ОДНОРОДНЫЙ ИЗГИБ

2.1. О деформации изгиба. Эта деформация заслуживает особого внимания хотя бы потому, что она широко распространена. Изгибу подвержены как стержневые системы – балки, арки, рамы, так и плиты, оболочки, некоторые другие конструкции. Кроме того, именно при изгибе в конструкциях возникают наибольшие по величине напряжения и перемещения. Например, удлинение тонкого стального троса, к которому подвешен тяжелый груз, можно обнаружить только при помощи чувствительных приборов, тогда как тот же груз, размещенный в середине шарнирно опертой двутавровой балки, вызовет искривление двутавра, заметное невооруженным глазом. В отличие, скажем, от осевой деформации изгиб редко встречается в чистом виде. Даже в балках на эту деформацию накладываются другие виды деформаций, например, сдвиг. И все же именно для стержней состояние чистого изгиба удается реализовать наиболее просто. Для этого прежде всего исключают такие внешние воздействия, которые вызывают крутящие моменты и продольные силы. Оставшиеся усилия (My и Qz, а также Mz и Qy) попарно связаны между собой дифференциальными зависимостями (I.1.8). О такой деформации говорят как о пространственном изгибе с поперечными силами. Если же My = Qz = 0, а усилия Mz и Qy отличны от нуля, то имеет место плоский изгиб с поперечной силой. Плоская задача проще пространственной, и изучение изгиба целесообразно начать именно с нее.

Призматический брус испытывает деформацию плоского изгиба, если его ось и все внешние силы, включая реакции опор, находятся в одной плоскости, которая в то же время является и плоскостью симметрии бруса. Сказанное означает, что поперечное сечение данного бруса должно иметь хотя бы одну ось симметрии. Если на каком-либо участке стержня Mz = const при mz = 0, то, согласно формуле (I.1.8)6, на этом участке Qy = 0 и появляется возможность исследовать изгиб только при одном ненулевом усилии. Деформацию, связанную с единственным ненулевым усилием – изгибающим моментом Mz = const, называют чистым изгибом. При чистом изгибе все поперечные сечения бруса деформируются одинаково, что позволяет трактовать напряженно-деформированное состояние стержня как однородное. Правда, в отличие от растяжения или сжатия, когда во всех точках поперечного сечения напряжения одни и те же, при чистом изгибе напряженнодеформированное состояние различных точек сечения различно. Сказанное подтверждается следующими наблюдениями.

156

Часть II

На рис. 2.1a изображен призматический брус, загруженный по торцам направленными навстречу друг другу парами. Последние находятся в плоскости симметрии бруса, содержащей оси 0x, 0y прямоугольной системы координат. Ортогональная к ней плоскость, в которой расположены координатные оси 0x и 0z, содержит продольное сечение aabb стержня. Положение бруса после деформирования показано на рис. 2.1b. Характерно то, что продольные волокна стержня, расположенные выше сечения aabb, укорачиваются, тогда как волокна, находящиеся ниже указанного сечения, становятся длиннее. Волокна, принадлежащие слою aabb, не укорачиваются и не удлиняются, что дало основание назвать данный слой нейтральным. Прямая, пересекающая волокна нейтрального слоя под углом в 90o и параллельная оси 0z, называется нейтральной осью поперечного сечения бруса. Обычно нейтральную ось любого поперечного сечения, а не только начального, на-

зывают осью 0z. Все волокна, находящиеся в некотором слое бруса, параллельном нейтральному слою, укорачиваются или удлиняются одинаково, т. е. деформация εx не зависит не только от координаты x, но и от координаты z точки стержня. Если на боковую поверхность стержня нанести прямую линию kk, параллельную оси 0y (см. рис. 2.1), то эта линия останется прямой и после изгиба бруса, практически не изменив своей длины. Она лишь повернется относительно нейтральной оси соответствующего поперечного сечения так, чтобы остаться ортогональной к продольным волокнам боковой поверхности изогнутого стержня.

Осмысление всех этих фактов привело к формулировке двух важных утверждений, характеризующих деформацию чистого изгиба. Первое из них получило название гипотезы плоских сечений, а второе – гипотезы о том, что волокна стержня не давят друг на друга. Вот эти утверждения:

1.Поперечное сечение бруса при чистом изгибе остается плоским и ортогональным к его (бруса) продольным волокнам.

2.Нормальные напряжения на площадках, параллельных оси бруса, пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями в поперечных

сечениях, т. е. |σx| |σz|, |σx| |σy|.

Глава 2

157

Эти две гипотезы, так же, как и гипотеза плоских сечений, принятая при изучении осевой деформации стержня, связаны с именами Э. Мариотта и Я. Бернулли. Мариотт еще в конце 17 века обратил внимание на тот факт, что волокна бруса, расположенные выше и ниже срединного слоя, испытывают разные по знаку деформации, а Бернулли в начале 18 века высказал предположение о повороте поперечного сечения без его искривления.

2.2. Техническая теория чистого изгиба призматических брусьев.

Так называется теория напряженно-деформированного состояния изгибаемого стержня, основанная на сформулированных в предыдущем пункте гипотезах. Поскольку удлинение произвольного волокна бруса пропорционально расстоянию от этого волокна до нейтрального слоя, а напряжения σx прямо пропорциональны названному удлинению, то

σx = ky,

(2.1)

где k – коэффициент пропорциональности. Слои бруса, параллельные нейтральному слою, не искажаются, т. е. не испытывают сдвига. То же самое можно сказать и о поперечных сечениях. Значит,

γxy = γyz = γzx = 0.

(2.2)

Но тогда не будет и касательных напряжений τxy, τyz и τzx. Если же учесть и гипотезу 2, получится, что

τxy = τyz = τzx = σy = σz = 0.

(2.3)

Таким образом, гипотезы чистого изгиба позволили указать все компоненты тензора напряжений и надо лишь проверить, удовлетворяют ли величины (2.1)–(2.3) полной системе уравнений теории упругости и граничным условиям задачи. При ненулевых объемных силах чистый изгиб невозможен. Если же X = Y = Z = 0, то уравнения равновесия (I.2.6) удовлетворяются напряжениями (2.1), (2.3) тождественно. И в самом деле, единственные отличные от нуля напряжения σx входят лишь в первое из этих уравнений, причем под знаком производной по координате x. Но величина (2.1) от аргумента x не зависит, так что ∂σx/∂x= 0. Три последних уравнения закона Гука (I.6.6) содержат лишь нулевые члены, а первые три – принимают вид:

εx = ky/E, εy = −νky/E, εz = −νky/E.

(2.4)

Остается рассмотреть уравнения совместности перемещений и деформаций, т. е. уравнения Коши (I.5.7). При помощи формул (2.2) и (2.4) их можно

158

Часть II

записать так:

∂u

ky

∂v

νky

∂w

νky

=

,

= −

,

= −

,

∂x

E

∂y

E

∂z

E

(2.5)

∂u

∂v

∂v

∂w

∂w

∂u

∂y + ∂x = 0,

∂z + ∂y = 0,

∂x + ∂z = 0.

Интегрирование трех первых из этих уравнений дает:

kyx

νky2

νkyz

u =

+ f1(y, z), v = −

+ f2(x, z), w = −

+ f3(x, y), (2.6)

E

2E

E

где f1(y, z), f2(x, z), f3(x, y) – функции, которые должны удовлетворять граничным условиям задачи и не противоречить оставшимся соотношениям Коши. Брус симметричен относительно плоскости 0xy, поэтому при z = 0 и любых значениях координат y и x перемещения w точек бруса невозможны. Но для этого необходимо, чтобы f3(x, y) = 0. Если же условие f3 = 0 соблюдается, то подстановка перемещений u и w в последнюю из формул (2.5) приводит к равенству ∂f1/∂z = 0, означающему, что функция f1 зависит только от координаты y: f1(y, z) = ϕ1(y). Предпоследнее же из равенств (2.5) примет вид

∂f2(x, z)/∂z − νkz/E = 0.

Отсюда следует, что функция f2 имеет строение

f

(x, z) = 0, 5νkz2

/E + ϕ

(x).

2

2

Таким образом,

u =

kyx

+ ϕ

(y),

v =

νk(z2 − y2)

+ ϕ

(x), w =

−

νkyz

.

(2.6a)

E

2E

1

2

E

Наконец, перемещения u и v должны удовлетворять четвертому из уравнений (2.5), т. е. условию

kx/E + ∂ϕ2/∂x = −∂ϕ1/∂y.

Переменные x и y независимы, а потому обе части полученного соотноше-

ния должны равняться одной и той же константе:
			−∂ϕ1/∂y = C,			kx/E + ∂ϕ2/∂x = C.
Следовательно,
и			ϕ1(y) = −Cy + C1, ϕ2(x) = Cx − 0, 5kx2/E + C2
kyx				k			νkyz
u =			−Cy+C1, v =		(νz2	−νy2−x2)+Cx+C2, w = −		. (2.6b)
	E			2E			E

Глава 2

159

Значения констант C, C1, C2 находят из граничных условий задачи. О том, как это делается, говорится ниже, а пока имеет смысл определить коэффициент k, от которого зависят не только перемещения (2.6b), но и напряжения σx. Последние одинаково распределяются по высоте любого поперечного сечения стержня, в том числе и по высоте торцевого сечения (рис. 2.2a). Но как раз на торцах линейная зависимость напряжений σx от ординаты y может не соответствовать способу приложения пар M. Только в случае, когда нагрузка распределяется по закону функции σx(y), можно в каждой точке торца требовать равенства друг другу напряжений и заданного воздействия (см. рис. 2.2b). При любых иных способах приложения нагрузки, в том числе и тех, что показаны на рис. 2.2c, d, неизбежно появление зон местных напряжений, в пределах которых равенства (2.1) и (2.4) соблюдаться не будут. Стало быть, речь должна идти о смягчении граничных условий, т. е. о приравнивании друг к другу интегральных характеристик напряжений и нагрузок (см. п. I.3.8).

С напряжениями σx связаны продольная сила N и изгибающие моменты My и Mz. Первые два из этих усилий при плоском чистом изгибе отсутствуют, а момент Mz постоянен, так что (рис. 2.3)

Z	σx dF = 0,	Z	σxz dF = 0, Mz = Z	σxy dF
F		F	F
или (см. формулу (2.1))
Z	y dF = 0,	Z	yz dF = 0, Mz = k Z	y2dF.
F	R	F	F
		R

Интегралы y dF и yz dF представляют собой статический момент и центробежный момент инерции поперечного сечения относительно централь-

160

Часть II

ных осей поперечного сечения, одна из которых (ось 0z) является и нейтральной осью. Если эти геометрические характеристики плоской фигуры равны нулю, то соответствующие оси называют главными центральными осями инерции данной фигуры. Следовательно, при чистом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения и является одной из его главных осей инерции. Интеграл R y2dF равен моменту инерции Iz сечения относительно оси 0z, так что k = Mz/Iz и формула (2.1) принимает вид

σx = Mz y. Iz

Задача о напряжениях чистого изгиба решена.

2.3. Перемещения. Подстановка коэффициента k = Mz/Iz (2.6b) приводит к соотношениям

(2.7)

в формулы

u=	Mz	xy−Cy+C1,	v =	Mz	(νz2−νy2−x2)+Cx+C2,	w = −	νMz	yz, (2.8)
	EIz			2EIz			EIz

которые позволяют найти не только линейные перемещения точек бруса, но и углы поворота α любых его поперечных сечений и углы наклона ϕ касательных к любым продольным волокнам:

α ≈ tgα = ∂u/∂y = Mzx/(EIz) − C, ϕ ≈ tgϕ = ∂v/∂x = −Mzx/(EIz) + C.

Равенство α=−ϕ или

∂u/∂y = −∂v/∂x

получилось вовсе не случайно. Оно есть не что иное, как записанная иначе четвертая из формул (2.5). Это равенство согласуется с гипотезами чистого изгиба: поперечное сечение поворачивается как единое целое, оставаясь ортогональным ко всем продольным волокнам бруса. Следовательно, о повороте сечений бруса можно судить по производной ∂v/∂x, что будет неоднократно использоваться в дальнейшем.

Важно оценить вклад различных слагаемых в значения перемещений (2.8). Пусть начальный торец стержня закреплен от каких бы то ни было смещений, т. е. при x = y = z = 0 равны нулю величины u, v, w и ∂v/∂x.

Тогда C =C1 =C2 =0 и зависимости
u =	Mz	xy,	v =	Mz	(νz2 − νy2 − x2),	w = −	νMz	yz,	(2.8a)
	EIz			2EIz			EIz

вытекающие из равенств (2.8) при нулевых значениях постоянных интегрирования, позволяют найти перемещения точек (x, y, z) бруса относительно