уп_Вабищевич_Физика ч

Пример 7. Сравнить полное число молекул в атмосферном столбе с основанием в 1 см2 с числом молекул в столбе высотой 1000 м с тем же ос- нованием. (Уровень 3).

Решение. Пусть число молекул в единице объема при h = 0 равно n0 ,

тогда распределение числа молекул по высоте будет определяться вы- ражением

−	m0 gh	−	μgh
n(h) = n e	kT	= n e	RT .
0		0

Полное число молекул в столбе объемом V = SH с основанием в S = 1 см2 и заданной высотой H найдем интегрированием функции n(h)

	H	H	μgh			RT		μgH
	N (H ) = ∫ n(h)Sdh = n0 ∫ e−		RT dh = n0				(1 - e−	RT ) ,
	0	0				m × g
	где m – молярная масса воздуха.
	Подставив числовые значения высоты, получим
	N (H ® ¥) = 2,1×1025 и		N	2	(H =103 ) = 0, 25 ×1025 .
	1

Сравнить величины можно отношением или разностью N .

Ответ: N1 = 8,4 или DN =1,85 ×1025 .

N2

Пример 8. На какой высоте находится центр масс вертикального столба воздуха в атмосфере Земли, если температура воздуха Т не зависит от h? Считать, что для воздуха имеет место распределение Больцмана.

(Уровень 6).

Решение. Пусть площадь сечения столба S. Выделим на некоторой высоте h слой воздуха толщины dh, его масса dm = r(h)Sdh, где r(h) – плотность воздуха на высоте h. Поскольку r(h) = m0n(h), где m0 – масса мо- лекулы, а n(h) – концентрация молекул на высоте h, решение дифференци-

− m0 gh

ального уравнения дает распределение Больцмана: n(h) = n0e kT .

Из курса механики известно, что центр масс системы частиц с дис- кретным распределением массы определяется известным соотношением

		n
		∑rimi
r	=	i=1		.	(1)
		n
c
		∑mi

i =1

201

Поскольку можно считать, что молекулы распределены в атмосфере непрерывно, то положение центра масс можно определить, перейдя в (1) от суммирования к интегрированию:

				∞
			=	∫ hdm
	H			0	.
		C		∞
				∫ dm
			0

Вычислим интегралы:

∞

∞

m0 gh

∫

dm = m n S

∫

e−

dh = −

m0n0SkT

e−

kT

0 0

m0 g

0

0

∞

∞

∞

−

m0 gh

kT

∫ hdm = ∫ hm0n(h)Sdh = m0n0S ∫ he

0

0

0

Откуда находим:

HC

=

kT

.

mg

Ответ: HC

=

kT

.

mg

m0 gh ∞			n0SkT
kT		=		;
			g
	0

dh = n0S (kT )2 . m0 g 2

Пример 9. Найти наиболее вероятную скорость молекул идеального газа. (Уровень 3).

Решение. Предполагая, что идеальный газ находится в термодинами- ческом равновесии, используем функцию распределения молекул по ско- ростям

m

3 2 −

mυ2

a 3 / 2

e−aυ

2

f (υ) = 4π

0

e 2kT υ2

= 4π

υ2 ,

(1)

2πkT

π

где a = m0 . Производная функции распределения (1) по скорости

2kT

f ′(υ) = 4π a 3 / 2 (−2aυ3 + 2υ)e−aυ2 .

π

Обозначая наиболее вероятную скорость через υв , находим ее из уравнения f ′(υв ) = 0 , т.е. 2υв (−аυв2 + 1) = 0 .

202

Отсюда следует:

u =	1	=	2kT	.
в	а		m0

Ответ: uв = 2kT . m0

Пример 10. Определить долю молекул водорода, модули скоростей которых при температуре 27 ºС лежат в интервале от u2 = 1898 м/с до u1 = 1903 м/с. (Уровень 5).

Решение. Интервал скоростей Du = u2 – u1 = 5 м/с достаточно мал по сравнению с самими скоростями. Поэтому f (u) в этом интервале скоро-

стей можно считать линейной, и для определения искомой доли молекул вместо интегрирования число молекул, обладающих скоростями в этом интервале, можно определить как площадь прямоугольника (под функцией

распределения по скоростям) с высотой υcp

для этого интервала и шири-

ной Δυ . Среднее значение fcp (u) получаем,

подставляя в f (u)

величину

u =

υ1 + υ2

.

cp

2

Тогда

m0

3 / 2 −

m

0

υ2

DN = N 4p

u2

Du,

e

2kT

(1)

cp

2pkT

и для доли молекул со скоростями в заданном интервале получим

DN

m0

3 2

− m0υcp

= 4p

e

2kT

u2

Du.

(2)

N

2pkT

Подставляя числовые значения в (2), получаем

N = 2, 45 ×10−3 = 0,245 % .

N

Ответ: N = 0, 245 % .

N

Пример 11. Какая часть молекул водорода, находящегося при темпе- ратуре Т, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной ско- рости не более чем на 5 м/с? Задачу решить для двух значений Т: 1) 400 К; 2) 900 К. (Уровень 5).

203

Решение. Поскольку в задаче идет речь о наиболее вероятной скоро- сти, надо считать υcp = υв (см. пример 11), а интервал скоростей Δυ = 10 м/с.

Найдем сначала наиболее вероятную скорость при Т1 = 400 К и Т2 = 900 К соответственно.

u =		2 ×8,31× 400		м/с =1,82 ×103 м/с; u		=		2 ×8,31×900		м/с = 2,73 ×103 м/с.
					в1
в1		0,002				0,002

Теперь вычислим искомые величины, используя уравнение (2), при- веденное в примере 11:

N1 = 0,0046 ;

N

N2 = 0,003 .

N

Таким образом, при увеличении температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается, а число молекул, скорости которых ле- жат в одном и том же интервале около наиболее вероятной скорости, уменьшается. На графике функции распределения молекул по скоростям (см. рис. 1.2) с увеличением температуры максимум кривой сдвигается вправо, а величина максимума уменьшается.

Ответ:	N1 = 0,0046 ;	N2 = 0,003 .
	N	N

Пример 12. Какая часть молекул газа имеет скорости, превышающие наиболее вероятную скорость? (Уровень 5).

Решение. В условии задачи рассматриваются молекулы, скорости которых заключены в интервале от наиболее вероятной скорости υв до

υв + ∞, т.е. в бесконечно большом интервале скоростей Δυ . Введем функ-

цию распределения Максвелла частиц газа по скоростям величину u = υυв . В результате получим для доли молекул со скоростями в некото-

ром интервале

dN	=	4			u2e−u2 du ,	(1)
			p
N

где u = u/ υв .

Найдем число молекул, относительные скорости которых лежат в за- данном интервале от u1 до u2, интегрируя правую часть (1) в этих пределах:

	4			u2	2 du .
dN =				N ∫ u2e−u		(2)
		p
				u1

204

Учитывая, что u = u/uВ, для данной задачи получаем u1 = 1; u2 = ∞. Следовательно, искомая часть молекул выразится интегралом

DN =	4			∞	2 du .
				∫u2e−u
N		p	1

Воспользуемся очевидным фактом, что скорости всех молекул лежат в интервале от 0 до ∞. Поэтому, если обозначить через DN´ число молекул, скорости которых меньше наиболее вероятной, т.е. лежат в интервале от 0

до 1, то можно записать:	N +	N′ =1. Таким образом, вместо того чтобы
N		N
искать N , можно найти	N ′ по формуле
N	N
	DN ¢			4		1		2 du ,
		=					∫u2e−u		(3)
	N				p
						0
а затем вычислить N =1 -	N ′ .
N	N

Так как интеграл (3) все же в конечном виде не берется, восполь- зуемся методом приближенного интегрирования. Для этого разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

u2e−u2 = u2 - u4 + u6 - u8 + u10 - ×××.

					1				2		6		24
Следовательно, DN ¢ »	4				1		-	1	+	1	-	1	+	1	- ××× .
N		p			3		5		14		54		264

Ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, найдем с

погрешностью, не превышающей 0,01: N ′ = 0, 43 .

N

Отсюда получим ответ: N =1 - 0, 43 = 0,57 .

N

Ответ: N = 0,57 .

N

Пример 13. Найти наиболее вероятную энергию молекул идеального газа. (Уровень 5).

Решение. Определим максимум функции распределения молекул иде- ального газа по энергиям:

f (e) = 2p (kT )−3 / 2 e−ε /(kT )e1/ 2 .

205

Производная этой функции по ε

′

2

−3 / 2

−ε /(kT )

ε1/ 2

1

f (ε) =

(kT )

e

−

+

.

1/ 2

π

kT

2ε

Искомую энергию найдем из уравнения

′

, т.е.

f (e) = 0

− ε1/ 2

+

1

= 0 .

2ε1/ 2

kT

Откуда следует: εB = 1 kT . Отметим, что eB ¹ e(uв ) (см. пример 10). 2

Ответ: εB = 1 kT . 2

1.5.Задачи для самостоятельного решения

1.В сосуде вместимостью 0,5 л при температуре 290 К находится некото- рый газ. Насколько понизится давление газа в сосуде, если из него из-за

утечки выйдет N = 1019 молекул? [ p = NkT = 133 Па ; уровень 1].

V

2. Найти молярную массу смеси, содержащей 25 г кислорода и 75 г азота.

[ μ = (m1 + m2 )μ1μ2 = 28,9 кг/моль; уровень 2].
см	m1μ2 + m2μ1

3.В цилиндр длиной l = 1,6 м, заполненный воздухом при нормальном

атмосферном давлении p0 , начали медленно вдвигать поршень площа-

дью S = 200 см2. Определить силу F , которая будет действовать на

поршень, если его остановить на расстоянии l1 = 10 см от дна цилиндра. [ F = ( l h ) pS = 32,3 кН; уровень 3].

4.В баллоне содержится газ при температуре t1 = 100 °С. До какой темпе-

ратуры t2 нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в два

раза? [t2 = p2 (t1 + T0 ) − T0 = 473 °С (T0 = 273 °C) ; уровень 3, 4]. p1

206

5. Баллон вместимостью V = 20 л содержит углекислый газ массой m = 500 г под давлением p = 1,3 МПа. Определить температуру T газа.

[T = pμV = 275 К; уровень 2].

R

6.В баллоне вместимостью V = 25 л находится водород при температуре T = 290 К. После того, как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на p = 0,4 МПа. Определить массу m израсходо-

ванного водорода. [ m =

μV

p = 8,3 г; уровень 2].

μT

7.

В сосуде вместимостью V = 15 л находится смесь азота и водорода при

температуре t = 23 °С и давлении p

= 200 кПа. Определить массы смеси

и ее

компонентов,

если

массовая

доля ω1 азота в

смеси равна 0,7.

[ m =

pV

=6,78 г; m1 = ω1m = 4,81 г; m2 =

(1 - w1 )m = 2,06 г;

w

+

(1-w1)

m

1 m

RT

1

2

уровень 3].

8.

В баллоне вместимостью V = 2 л находится кислород массой m = 1,17 г.

Концентрация n

молекул в сосуде равна 1,1×1025 м–3 . Определить по

этим данным постоянную Авогадро N A . [ N A = nV

kμ

=6,02×1023 моль–1 ;

m

уровень 2].

9.Колба вместимостью V = 4 л содержит некоторый газ массой m = 0,6 г под давлением p = 200 кПа. Определить среднюю квадратичную ско- рость uкв молекул газа. [2 км/с; уровень3].

10.Найти число молекул азота в 1 м3, если давление равно 3,69 атм, а

средняя квадратичная скорость молекул равна 2400 м/с. [ n0 =	3 pN A	=
	2
	m uкв

= 4,2×1024 м–3 ; уровень 3].

11.Насколько уменьшится атмосферное давление p = 100 кПа при подъе-

ме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h = 100 м? Считать, что температура T воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой. [1,18 кПа; уровень 2].

207

12.Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью ω . Используя функ- цию распределения Больцмана, установить распределение концентра- ции n частиц массой m0 , находящихся в роторе центрифуги, как функ-

m0	ω2r2
цию расстояния r от оси вращения. [ n = n e	(2kT ) ( n – концен-
0	0

трация частиц на оси ротора); уровень 5].

13.Определить относительное число ω молекул идеального газа, скорости которых заключены в пределах от нуля до одной сотой наиболее веро-

ятной скорости υ [	N = 7,52×10–7 ; уровень 4].
в	N
14. Водород находится	при нормальных условиях и	занимает объем
V = 1 см3. Определить число N молекул в этом объеме, обладающих
скоростями, меньшими некоторого значения υmax =		1 м/с. [6,0×109;
уровень 4].

15.Определить долю молекул идеального газа, энергии которых отли-

чаются от средней энергии e поступательного движения молекул при той же температуре не более чем на 1 % [9,3×10–3 ; уровень 5].

16.Найти выражение для кинетической энергии молекул идеального газа, импульсы которых имеют наиболее вероятное значение. [ ε = kT ;

уровень 4].

17.Азот находится под давлением 1 атм при температуре 300 К. Найти относительное число молекул азота, модули скоростей которых лежат

в

интервале

скоростей

от u

до u + Du, где Δυ = 1 м/с.

DN

12 −

4

d υ

8 2

m

–3

[

=

0

e π

= 1,9×10

= 0,19 %; уровень 5].

N

p pkT

208

УЧЕБНЫЙ БЛОК 2. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Несмотря на хаотичное движение частиц газа при постоянстве его температуры, давления и объема, состояние газа можно считать среднеста- тистически равновесным, т.е. средние значения концентрации, скорости, распределения по скоростям можно считать неизменными. Отсюда следует вывод, что тепловое движение частиц газа способствует сглаживанию возни- кающих в газе неоднородностей. Это сглаживание (выравнивание) неодно- родностей происходит в результате процессов, которые получили название

процессов (явлений) переноса. К ним относятся теплопроводность, внут-

реннее трение и диффузия. В данном блоке эти процессы рассматриваются на основе МКТ.

При изучении этого блока студенты должны

иметь представление:

–о распределении Максвелла для частиц идеального газа;

–об основных положениях МКТ;

–о степенях свободы движения микрочастиц;

–об экспериментальных проявлениях процессов диффузии, тепло-

проводности и вязкости;

обладать навыками:

–интегрирования и работы с табличными интегралами;

–расчета основных параметров состояния идеального газа.

Учебная программа блока

	Содержание блока						Форма	Рекомендуемая
							подготовки	литература
Критерий вакуума. Столкновения частиц газа							лекция	[5]
								[6], часть 2
Теплопроводность газа							лекция
								[7]
Внутреннее трение в газе							лекция
								[8]
Диффузия в газе							лекция	[10]
				Цели обучения
	Студент должен знать					Студент должен уметь
–	критерий вакуума;				– определять число столкновений частиц в газе;
–	коэффициенты переноса –			коэф-	– определять длину среднего пробега частиц в
фициент диффузии,			коэффициент		газе;
теплопроводности		и	коэффициент		– определять		коэффициенты переноса в раз-
вязкости;					личных ситуациях;
–	эмпирические	законы		Фика,	– определять потоки частиц и энергии, а также
Ньютона и Фурье для явлений пе-					силы, обусловленные явлениями переноса
реноса

209

2.1. Краткое содержание теоретического материала

Находясь в тепловом движении, частицы газа сталкиваются друг с другом. Под столкновением частиц подразумевается процесс взаимодейст- вия между ними, в результате которого частицы изменяют скорость своего движения. Основываясь на допущениях относительно свойств идеального газа, будем считать, что система двух сталкивающихся частиц замкнута, т.е. на них не оказывают никакого действия другие частицы в процессе столкновения. Это упрощает анализ процесса столкновений частиц газа. Трудность вызывает также определение размеров частиц газа, знание ко- торых также необходимо для анализа рассматриваемого процесса. Опреде- лим эти размеры из следующих соображений. Известно, что частицы газа состоят из атомов, которые в свою очередь состоят из ядер (+) и электрон- ных оболочек (–), причем размеры ядер много меньше области, характер- ной для электронных оболочек. Наличие в частицах газа положительных и отрицательных зарядов обеспечивает возможность силового взаимодейст- вия частиц, т.е. система из двух сталкивающихся частиц характеризуется как кинетической энергией (тепловое движение) так и потенциальной (си- ловое взаимодействие). Здесь мы не будем рассматривать силовое взаимо- действие двух частиц, а воспользуемся известными результатами: частицы газа испытывают притяжение друг к другу на расстояниях больше некоторо- го значения и отталкивание на меньших расстояниях. Учитывая это, а также то, что силы отталкивания по величине значительно превосходят силы при- тяжения, энергетическую диаграмму сталкивающихся частиц можно пред- ставить как на рис. 2.1, а.

Суммирование энергий притяжения и отталкивания (см. рис. 2.1, б, кривая 1) приводит к образованию минимума функции потенциальной энергии системы частиц. Положение минимума определится расстоянием между центрами частиц rmin, если одна из частиц располагается в начале системы координат (см. рис. 2.1, б).

Согласно диаграммам (см. рис. 2.1, б) до расстояния r > rmin частица испытывает притяжение, а при r < rmin – отталкивание. Если использовать понятие относительной скорости частиц, то частицу I , помещенную в на- чало координат, можно считать неподвижной, а кинетическую энергию системы двух частиц приписать другой частице II , обозначив ее K2 при r = ∞ . Увеличение кинетической энергии частицы на K2 можно интерпрети-

210