уп_Вабищевич_Физика ч

Рис. 3.4

Из уравнения (17) следует, что амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения при частоте вынуждающей силы, близкой к частоте собственных колебаний ω0:

ω	р	= ω2	− 2β2	≤ ω .	(19)
		0		0

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при при- ближении циклической частоты вынуждающей силы к значению ωр назы- вается резонансом. Соответственно величина ωр называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости A(ω′) – резонансными кри-

выми. Явление резонанса используется в акустике для анализа звуков, их усиления и т.д. Под действием периодически изменяющихся нагрузок в машинах и различных сооружениях могут возникать явления резонанса, которые бывают опасны для эксплуатации машин, вплоть до разрушения отдельных узлов и механизмов.

Как и любой вид движения, колебательное движение может быть ре- зультатом нескольких колебательных движений, в которых участвует од- новременно материальная точка. В этом случае для определения характе- ристик результирующего колебательного движения в соответствии с прин- ципом суперпозиции в механике осуществляют сложение колебаний.

Сложение колебаний может осуществляться аналитическим или гра- фическим методами. Последний в ряде случаев может оказаться более продуктивным.

При использовании графического метода	Y
каждое колебание представляется радиус-
вектором (рис. 3.4), модуль которого равен ам-		r
плитуде колебаний. Радиус-вектор вращается в
системе координат XOY с циклической часто-		ϕ0
		Х
той колебаний. Движение материальной точки	O	x
начинается из положения, определяемого на-

чальной фазой ϕ0 . При этом отклонение мате- риальной точки, например по оси OX , от точки равновесия O в любой момент времени опреде- ляется проекцией радиус-вектора на ось OX

системы координат, относительно которой определяется начальная фаза (ось Х на рис. 3.4).

Сложение двух одновременных колебаний материальной точки мож- но осуществлять, если колебания происходят в одной плоскости. Если ко- лебания осуществляются в разных плоскостях, то сложение производится попарно последовательно с учетом изменения положения координатной плоскости (Х, Y).

81

При сложении колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, x1 = A1 cos(ωt + ϕ1) и x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 ) , удобно воспользовать-

ся методом векторных диаграмм (рис. 3.5). В этом случае говорят о коге- рентных колебаниях, т.е. колебаниях одинаковой частоты, разность фаз между которыми постоянна во времени. Результирующая амплитуда при сложении двух колебаний рассчитывается по теореме косинусов

A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1).

Откуда следует

A = A12 + A22 + 2 A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) .

Начальная фаза ϕ результирующего колебания определяется соот- ношением

tgϕ =	A1 sin ϕ1		+ A2 sin ϕ2		.
	A cos ϕ + A cos ϕ			2
1		1	2
Уравнение результирующего гармонического колебания
x = Asin (ωt + ϕ).
При сложении колебаний различной частоты векторы A1						и A2 имеют

различные скорости вращения, а результирующий вектор A изменяется по величине с течением времени и его скорость вращения непостоянна. Таким образом, в этом случае наблюдается не гармонический, а более сложный ко- лебательный процесс.

Когда осуществляется сложение двух гармонических колебаний од- ного направления, мало отличающихся по частоте, x1 = Acos(ω1t) и x2 = Acos(ω2t) , где ω1 ≈ ω2 , результирующее колебание происходит с ам-

плитудой, изменяющейся периодически от некоторого максимального зна- чения до нуля. Колебания такого вида называются биениями (рис. 3.6).

	Y		X
	A2	A	2 A
			0
	ϕ2			t
		ϕ
			−2 A
		A1
				T
	ϕ1		X	Tб
		Рис. 3.5		Рис. 3.6
			82

Уравнение биений получается в результате применения тригономет- рической формулы суммы косинусов

	ω	− ω			ω	+ ω
x = 2 Acos	2	1 t cos			2	1	t .
		2				2

Период и циклическая частота биений определяются соотношениями

T =	2π		=		2π	; ω = Δω =		ω − ω		.
б	Δω				ω2 − ω1	б		2 1

При сложении двух перпендикулярных колебаний точка одновре- менно колеблется вдоль осей координат ОХ и ОY по законам

x = Acos(ωt) и y = B cos(ωt + ϕ) .

Уравнение траектории результирующего движения точки в плоско- сти XOY можно найти, исключив из выражений для x и у параметр t. После преобразований получаем уравнение траектории

x2 + y2 + 2xy cos ϕ = sin2 ϕ ,

A2 B2 AB

представляющее собой уравнение эллипса. Поэтому результирующее дви- жение точки называют эллиптически поляризованными колебаниями.

Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд скла- дываемых колебаний и разности фаз:

1. Если ϕ = (2m + 1)π/2, где m – целое число, то оси эллипса совпа- дают с осями ОХ и ОY, а размеры полуосей равны А и В:

x2 + y2 = 1. A2 B2

Кроме того, если А = В, то траектория точки – окружность. Такое ре- зультирующее движение точки называют циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

2. В тех случаях, когда ϕ = mπ, где m – целое число, эллипс вырожда- ется в отрезок прямой,

у = ± ( ВА) х.

Знак «плюс» соответствует четным значениям m, т.е. сложению син- фазных колебаний, знак «минус» – нечетным m, т.е. сложению колебаний, происходящих в противофазе. В этих случаях точка совершает линейно поляризованные колебания.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

83

84

3.2. Методические указания к лекционным занятиям

	Вопросы лекции				Форма	Литература	Вопросы для самоконтроля
					изучения
Колебательное		движение		матери-			1. Какой основной признак колебательного движения? Назовите усло-
альной точки					самост. +	[5], п. 33	вия возникновения колебаний.
Гармонические колебания (механиче-							2. Запишите уравнение гармонических колебаний.
ские) и их характеристики. Дифферен-					лекция	[6], пп. 42, 43	3. Как получить уравнения скорости и ускорения колеблющейся точки
циальное	уравнение		гармонических			[7], п. 17.1	в произвольный момент времени?
колебаний. Квазиупругая сила.					лекция	[8], п. 7.1	4. Как изменится период колебания математического маятника, если его
Период колебаний пружинного и мате-						[10],	точку подвеса двигать: а) вертикально вверх с ускорением а; б) верти-
матического маятников.						пп. 140 – 142	кально вниз с ускорением а; в) горизонтально с ускорением а?
Закон сохранения энергии для колеба-					лекция	[6], п. 44	5. Как с помощью математического маятника можно измерить ускорение
тельной системы.						[8], п. 7.3	силы тяжести?
Диаграммный		способ	представления		лекция	[10], п. 141	6. Что такое векторная диаграмма? Постройте векторную диаграмму колеба-
колебаний							ний: x1 = 20cos(ωt + π 2) ; x2 = 20 cos (ωt +2π 3) ; x3 = 20 cos (ωt −π 4);
							x4 = 20 cos (ωt − π 2) .
							7. Получите зависимость от времени для кинетической, потенциальной
							и полной энергий гармонического колебания. Изобразите графически их
							зависимости от времени
Виды колебаний. Сложение колеба-							1. Как влияет коэффициент затухания на период затухающих колебаний
ний. Резонанс							системы?
Затухающие механические колебания;					лекция	[6], п. 46	2. Каков физический смысл времени релаксации?
Время релаксации, добротность. Апе-						[10], п. 147	3. Каков физический смысл добротности колебательной системы?
риодический процесс.							4.Что такое механический резонанс? Какое значение имеют в технике резо-
Вынужденные механические				колебания.			нансные явления? Приведите примеры.
Амплитуда и фаза вынужденных колеба-					лекция	[5], п. 4, 35	5. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и
ний. Резонанс. Соотношение между фаза-							поясните величины, входящие в него.
ми вынуждающей силы и смещения.							6. Как по виду фигуры Лиссажу определить отношение частот склады-
Параметрические колебания*.							ваемых колебаний?
Сложение гармонических колебаний од-					лекция	[6], п. 45	7.Что такое линейно и эллиптически поляризованные колебания? Как их
ного направления Биения. Период бие-					лекция	[7],	получить?
ний, время когерентности*.						пп. 17,2 – 17.3
Сложение	взаимно перпендикулярных				лекция	[10], п. 144
колебаний. Фигуры Лиссажу

* Материал изучается ознакомительно.

84

3.3. Методические указания к практическим занятиям

	Тема	занятия	Задачи			Рекомендации		Задачи из
								сборников
			Гармонические		ко-	Если в задаче задано уравнение гармонических колебаний, то величины, характеризующие		[2],
	формыДве	колебанийуравнения	лебания. Уравнение			колебания (амплитуда, частота, фаза, начальная фаза, период), могут быть найдены путем со-		№№12.1–12.10
			колебаний			поставления заданного уравнения с общим уравнением гармонических колебаний.		[12],
						При нахождении зависимости кинематических величин от времени используют соотношение		№№6.1–6.12
						а = υ′ = x′′ . Из курса математики повторите: графики синуса и косинуса, производные и пер-		[2], №№ 12.15 –
						вообразные тригонометрических функций решение тригонометрических уравнений		12.20
			Составляющие энер-			,	.	[11],
						Определите зависимость энергии от времени Получите формулу для полной энергии Установите
			гии колебаний,		их	.	.	№№4.1–4.14
						ее связь с кинематическими и динамическими величинами
			взаимопревращения			.		[2], №№ 12.15 –
						Используя законы сохранения и превращения энергии в задачах о маятниках и зная зависимость
			в процессе	колеба-		x (t ) , определите υ(t ) , а также потенциальную и кинетическую энергию		12.20
85			ний					[11], №№4.1 – 4.14
			Сложение колебаний			Определение амплитуды и начальной фазы результирующего колебания.		[2],
	затухающиеиВынужденные	.колебанийСложениеколебания	одного направления			При нахождении результата сложения колебаний одной частоты и одного направления используй-		№№ 12.25 –
						те векторную диаграмму колебаний.		12.35
						Определение параметров и уравнения биений.		[12],
			Сложение	взаимно		При нахождении периода и частоты биений, а также частот складываемых колебаний исполь-		№№ 6.24 – 6.20
			перпендикулярных			зуйте сопоставление с уравнением биений в общем виде.
			колебаний			Определение фигур Лиссажу.
						При определении уравнения траектории у(х) нужно исключить из системы уравнений x(t) и y(t)		[2],
						время t.		№№12.37–12.40
			Затухающие			Определение параметров затухающих колебаний и зависимостей кинематических величин от		[12],
			колебания			времени. При определении характеристик затухания (коэффициент затухания, время релакса-		№№6.56–6.63
						ции, декремент затухания) нужно помнить о том, что амплитуда колебаний убывает по экспо-
						ненциальному закону. Энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды.		[2],
			Вынужденные коле-			Определение амплитуды вынужденных колебаний, резонансных частот. Увеличение амплиту-		№№12.54–12.56
			бания. Явление резо-			ды смещения, скорости и ускорения при вынужденных колебаниях происходит при приближе-		[12],
			нанса. Параметриче-			нии частоты внешней силы к резонансной частоте, которая различна для амплитуд смещения,		№№6.56–6.75
			ский резонанс			скорости и ускорения

85

3.4. Примеры решения задач

Пример 1. За какое время маятник отклонится от положения рав-

новесия на половину амплитуды, если период колебаний 1,2 с? Начальная фаза равна нулю. (Уровень 1).

Решение. Колебания маятника могут быть описаны уравнением гармо- нического движения

x = Asin		2π	t + ϕ		,
				0
	T

где A – амплитуда колебаний; T –

период; ϕ0 –

начальная фаза колебаний

(ϕ0 = 0). По условию задачи x = A/2. Поэтому

А

= Asin

2π

t , т.е. sin

2π

t =

2

T

2π

t = π . Отсюда t =

T

= 1/2 или

T

=

1, 2

= 0,1 c .

T

6

12

12

Ответ: t =

T

=

1, 2

= 0,1 c .

12

12

Пример 2. Маятниковые часы, идущие точно на уровне моря, подня- ты на высоту h = 1 км. Сколько потребуется времени для того, чтобы по

часам на этой высоте прошли одни сутки? Радиус земли R = 6400 км.

(Уровень 2).

Решение. Маятник часов на уровне моря за время t0 (1 сутки) совер-

шит N =	t0	колебаний, где T = 2π	l	– период колебания маятника;
0			g0
	T0

l – его длина, g0 – ускорение силы тяжести на уровне моря.

Чтобы на высоте h совершить то же число колебаний N, т.е. показать одни сутки, маятнику потребуется времени

t = NT,

где T = 2π

l

–

период колебания маятника часов на высоте h; g – ускоре-

g

ние силы тяжести на этой высоте.

Тогда искомое время

t = NT =

T

t

0

= t

0

g0

;

T0

g

g

= γ

M

;

g = γ

M

,

0

R2

( R + h)2

где γ – гравитационная постоянная; M – масса Земли; R – радиус земного шара.

86

Следовательно, t =	R + h	t = 86413,5 с = 24 ч 13,5 с.
	R	0

Ответ: t = 24 ч 13,5 с.

Пример 3. Материальная точка массой 10 г колеблется по закону

=pt + p

x0,05sin м. Найти: 1) максимальную силу, действующую на

5 4

точку; 2) закон изменения со временем кинетической энергии колеблю- щейся точки. (Уровень 2).

Решение. Максимальное значение возвращающей силы F0 = kA , где

коэффициент жесткости k = mw2 , A = 0,05 м – амплитуда колебаний. Так как

w = π , то

5

2

p 2

F0 = mw

A = 0,01

0,05 = 0,2 мН.

5

Кинетическая энергия

K =

mu2

. Скорость точки определяется через

2

производную от координаты по времени:

u = x¢ =

p

pt

+

p

pt

+

p

0,05

cos

= 0,01pcos

.

5

5

4

5

4

Поэтому закон изменения энергии со временем имеет вид

mu2

0,01

pt

p 2

2

−5

2 pt

p

K =

=

0,01pcos

+

= 5p

10

cos

+

.

2

5

4

5

2

4

Максимальное значение кинетической энергии Kmax = 5 ×10−6 Дж.

Ответ: Kmax = 5 ×10−6 Дж.

Пример 4. Материальная точка массой m = 5 г совершает гармони- ческие колебания с частотой ν = 0,5 Гц. Амплитуда колебаний A = 3 см. Определить: 1) скорость υ точки в момент времени, когда смещение x = 1,5 см; 2) максимальную силу Fmax , действующую на точку; 3) полную

энергию W колеблющейся точки. (Уровень 3).

Решение.

1. Уравнение гармонического колебания имеет вид:
x = Acos(w t + j0 ) ,	(1)

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

u =	dx	= -Awsin (wt + j	) .	(2)
	dt	0

87

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из фор- мул (1) и (2) время t . Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разде-

лим первое на A2 , второе на A2ω2 и сложим:

	x2	+	υ2	= 1, или	x2	+	υ2	= 1.
	A2		A2ω2		A2		4π2ν2 A2

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем υ = ±2πν A2 − x2 . Выполнив вычисления по этой формуле, получим:

υ = ±8,2 см/с .

Знак «плюс» соответствует случаю, когда направление скорости сов- падает с положительным направлением оси X , а знак «минус» – когда на- правление скорости совпадает с отрицательным направлением оси X .

Смещение при гармоническом колебании может быть определено также уравнением

x = Asin (ωt + ϕ0 ) .

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ. 2. Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона

F = ma ,

(3)

где a – ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

a =	d υ	= − Aω2 cos(ωt + ϕ	) или a = −4π2ν2 Acos(ωt + ϕ) .
	dt	0

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

F = −4π2ν2mAcos (ωt + ϕ0 ).

Отсюда максимальное значение силы Fmax = 4π2ν2mA . Подставив в это уравнение значения величин π,ν, m и A , найдем

Fmax = 1, 49 мН.

3. Полная энергия колебаний точки есть сумма кинетической и по- тенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетиче- ская энергия достигает максимального значения. В этот момент потенци- альная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия W колеблющейся

точки равна максимальной кинетической энергии K :

max

W = K =	mυ2
	max	.	(4)
max	2
Максимальную скорость определим из формулы			(2), приняв

cos (ωt + ϕ) = 1; υmax = 2πνA . Подставив выражение скорости в формулу

88

(4), найдем W = 2p2mn2 A2 . Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления, получим

W = 22,1×10−6 Дж = 22,1 мкДж . Ответ: υ = ±8,2 см/с , Fmax = 1, 49 мН, W = 22,1 мкДж .

Пример 5. Частица одновременно участвует в двух колебаниях од- ного направления: x1 = 4cos(4t ) и x2 = 3cos(4t + p2) . Определите ампли-

туду, циклическую частоту и начальную фазу результирующего колебания.

(Уровень 2).

Решение. Результирующее колебание будет происходить с частотой складываемых колебаний ω = 4 рад/с. Амплитуда результирующего коле- бания определяется соотношением

A2 = A12 + A22 + 2 A1A2 cos(j2 - j1) ,

где А1 = 4 см, А2 = 3 см, ϕ2 − ϕ1 = π2 . Подставляя значения, получаем А = 5 см. Начальную фазу определим по формуле

tgj =	A1 sin ϕ1	+ A2 sin ϕ2	или tgj =	A2	=	3	.
0	A1 cos j1	+ A2 cos j2	0	A1	4

Результирующее колебание имеет начальную фазу

j0 = arctg 3 = 36,9°. 4

Ответ: j0 = arctg 3 = 36,9°. 4

Пример 6. Результирующее колебание точки, участвующей в двух колебаниях одного направления, описывается уравнением x = Acos(2,1t )cos(80t ). Найти период биений и циклические частоты скла- дываемых колебаний. (Уровень 2).

Решение. Сравнивая искомое уравнение с общим уравнением биений

w - w

w

2

+ w

x = 2 Acos

2

1

t cos

1

t

,

2

2

можно записать систему уравнений:

ω2 − ω1

= 2,1

и

ω2 + ω1

= 80 . Решая

2

2

ее относительно частот, получаем ω1 = 82,1 рад/с, ω2

= 77,9 рад/с. Период

биений

2π

2π

2π

T =

=

=

=1,5 с.

б

Dw

w2 - w1

82,1 - 77,9

Ответ: Тб = 1,5 c.

89

Пример 7. Материальная точка участвует одновременно в двух вза- имно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых

	x = A1 cos ωt ;		(1)
	y = A cos ω t ,		(2)
	2	2
где A = 1 см, A = 2 см, ω = πc−1 .
1	2

Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблю- дением масштаба и указать направление движения точки. (Уровень 3, 4).

	Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим вре-
мя t	из заданных уравнений (1) и (2). Для этого воспользуемся формулой
	α
		=		1	(1 + cos α) . В данном случае α = ωt , поэтому
cos
	2			2

y = A cos	ω t = A			1 + cos ωt		.
2	2	2	2

Так как согласно формуле (1) cos ωt = x , то уравнение траектории

A1

1 +		x
y = A		A1	=		.
				2(1 + х)		(3)
2		2

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью OX . Из уравнений (1) и (2) следует, что смеще- ние точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от –1 до +1 см по оси OX и от –2 до +2 см по оси OY . Для построения траектории

найдем по уравнению (3) значения y , соответствующие условию								x		≤ 1 см,
и составим таблицу:
x , см	–1	–0,75	–0,5	0	+0,5		+1
y , см	0	± 0,707	± 1	± 1,41	± 1,73		± 2

Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плос- кость XOY найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим тра- екторию точки, совершающей колебания в соответствии с уравнениями движения (1) и (2) (см. рисунок). Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как изменяется ее положение с тече- нием времени. В начальный момент t = 0 координаты точки x (0) = 1 см и

y (0) = 2 см. В последующий момент времени, например, при t1	= 1 с ко-
ординаты точки изменятся и станут равными x (1) = 1 см,	y (1) = 0.

90