уп_Вабищевич_Физика ч

Зная положение точек в начальный и после- дующий (близкий) момент времени, можно ука- зать направление движения точки по траекто- рии. На рисунке это направление движения ука- зано стрелкой (от точки А к точке В). После то- го, как в момент t2 = 2 с колеблющаяся точка достигнет точки С, она будет двигаться в обрат- ном направлении к точке В.

Ответ: y = 2(1 + х) .

Y , см
	2	A
	1
B	0
−1	−1	1	X , см
	−2	C

Пример 8. Тело массой m = 0,1 кг совершает вынужденные прямоли- нейные колебания. Амплитудное значение силы F0 = 1,5 Н. Коэффициент

затухания β = 0,5 с–1 . Определить максимальное значение амплитуды скоро-

сти υmax . (Уровень 2).

Решение. Скорость тела при установившихся колебаниях

υ = x′ = ( Acos(ωt + ϕ0 ))′ = − Aωsin(ωt + ϕ0 ) .

Максимальное значение скорости

υmax = Aω,

где амплитуда смещения

	А =		F0		.
		m	(ω02 − ω2 )2 + 4β2ω2

Выражение для скорости принимает вид

υmax =		F0ω
				.
	m	(ω02 − ω2 )2 + 4β2ω2

Резонансная частота для скорости равна собственной частоте. Под-

ставляя ω = ω в последнее выражение, получаем υ		=	F0	. Вычисляем
0	max		2βm
максимальную скорость: υmax = 15 м/с.
Ответ: υmax = 15 м/с.

Пример 9. Измерениями установлено, что логарифмический декре- мент затухания камертона, колеблющегося с частотой 100 с–1 , равен 0,002. Через какой промежуток времени амплитуда колебаний возбужденного

камертона уменьшится в 100 раз? Как изменится при этом энергия колеба-

ний? (Уровень 3).

91

Решение. Амплитуда затухающих колебаний изменяется со време-

	нем t по закону
			A = A e−βt			,		(1)
		δ		0
	где b =		– коэффициент затухания;	δ –		логарифмический декремент за-
		T
	тухания и T – период колебаний, T =			1	.
				n
	Поэтому формулу (1) можно записать еще и так:
			A = A e−δνT , откуда t =				1	ln	A0	.
							dn
	0								A

Энергия колебаний W пропорциональна квадрату произведения ам- плитуды и циклической частоты колебаний

W= 1 mw2 A2 . 2

Вданной задаче m = const и ω = 2πν = const . Поэтому

W

A

2

=

.

W0

A0

Вычисления:

t =

1

ln100 = 23 c .

0,002

×100

W

1

2

=

=10−4 .

W0

100

Ответ: t = 23 c ,

W

=10−4 .

W0

Пример 10. Груз массой m = 0,5 кг, подвешенный к пружине жест- костью k = 32 Н/м, совершает затухающие колебания. Определить лога- рифмический декремент затухания, коэффициент затухания, период ко- лебаний, если после 100 колебаний амплитуда уменьшилась в n = 16 раз.

(Уровень 4).

Решение. Амплитуда со временем уменьшается по закону
А = A e−βτ .	(1)
0

По условию задачи за время τ = NT амплитуда уменьшится в n = 16 раз,

n =	A0	= eβτ = eβNT .	(2)
	A
Логарифмируя данное выражение, получаем ln n = βNT .			(3)

92

Поскольку логарифмический декремент затухания

том (3) получаем

Период колебаний

где ω02 = k , а m

T =

Коэффициент затухания

β = ln n NT

δ = ln n .

N

T =

2π

,

ω2

− β2

0

β =

δ

=

ln n

.

T

NT

m

ln n

2

4π2 +

.

k

N

=

ln n

.

m

(4π2 N 2 + (ln n)2 )

k

δ = βT , то с уче-

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Проведя вычисления по формулам (4), (7) и (8), получаем: δ = 0,027;

β = 0,035 с–1 , Т = 0,789 с.

Ответ: δ = 0,027; β = 0,035 с–1 , Т = 0,789 с.

Пример 11. Гиря массой 0,5 кг, подвешенная к пружине жестко- стью k = 32,0 Н/м, совершает затухающие колебания. Определить период колебаний в двух случаях: 1) за время, в течение которого произошло n1 = 88 колебаний, когда амплитуда уменьшилась в N1 = 2 раза; 2) за время

двух колебаний (n2 = 2), когда амплитуда уменьшилась в N2 = 20 раз.

(Уровень 4, 5).

Решение. Сопротивление среды уменьшает число свободных колеба- ний. Циклическая частота затухающих колебаний определяется по формуле

ω =						ω2		− β2 ,
				0
откуда период	2π							2π
T =				=						.	(1)
	ω
								ω02 − β2
Собственную циклическую частоту ω0 выразим сразу, зная массу m
гири и жесткость пружины k:
ω =		k				= 8,0 рад/с.
0		m

93

Коэффициент затухания β нельзя найти непосредственно из условия задачи. Согласно формуле δ = βТ он равен

β =	δ	.	(2)
	Т

Чтобы найти декремент затухания δ , обратимся к уравнению зату-

хающих колебаний

x = A0e−β t sin(ω t + ϕ0 ) .

Уменьшающуюся со временем амплитуду с учетом (1) выразим так:

	−	δt	(3)
A = A e−β t = A e		T .
0	0
Пользуясь введенными в условии обозначениями, можно записать:

А0/А = N; t/Т = n. Тогда из (3) следует:								eδn = N , откуда, логарифмируя,
имеем
δ =			ln N				.
			n
Подставив числовые значения N и n для двух случаев, получим
δ1 = 0,0079 ;					δ2 = 1,5 .
Теперь перепишем формулу (1) с учетом (2):
T =			2π								.
		ω2		−		δ2
		0				T		2

Получилось квадратное уравнение относительно периода Т. Решив его, найдем (отбрасывая отрицательный корень)

T =	4π2	+ δ2
			.	(4)
	ω0
Вычисляя период, заметим, что в первом случае δ2				<< 4π2 . Поэтому,
		1

сохраняя достаточно высокую точность вычислений, можно в формуле (4)

пренебречь членом δ2 , и тогда

T =	2π	=	2π	= 0,78 c .
	ω0
1		8,0

Во втором случае нельзя отбросить величину δ2 , тогда, производя вычисления по (4), получим

T2 = 0,81 c.

94

Пример 12. Колебательная система совершает затухающие колеба- ния с частотой ν = 900 Гц. Определите собственную частоту колебатель- ной системы, если резонансная частота ν рез = 898 Гц. (Уровень 3).

Решение. Циклическая частота затухающих колебаний

ω = ω2	− β2	,	(1)
0

где ω0 – собственная циклическая частота колебательной системы; β – ко- эффициент затухания. Резонансная частота

ω	рез		= ω2 − 2β2 .		(2)
				0
Из уравнений (1) и (2) находим:
	ω2		= ω2	+ β2 ;	(3)
		0
ω2		= ω2		+ 2δ2 .	(4)
	0		рез
Умножив уравнение (3) на 2 и вычитая из полученного уравнения
(4), получаем
ω2		= 2ω2		− ω2 .	(5)
	0			рез

Учитывая, что ω = 2πν , из уравнения (5) найдем собственную часто- ту колебательной системы

ν0 = 2ν2 − ν2рез .

Вычисляя, получим ν0 = 902 Гц.

Ответ: ν0 = 902 Гц.

3.5.Задачи для самостоятельного решения

1.Запишите уравнение гармонического колебательного движения мате- риальной точки, совершающей колебания с амплитудой A = 5 см, при-

чем за время t = 2 мин совершается 300 колебаний. Начальная фаза ко-

лебаний = 30°. [ x = 0,05cos 5πt + π , м; уровень 2].

ϕ

6

2.Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой A = 2 см и частотой ν = 2 Гц. Запишите уравнение движения точки,

если ее	движение							начинается из	положения x0 = 1 см.
[ x = 0,02cos						π		, м; уровень 2].
		4πt +				3
3. Материальная			точка совершает гармонические колебания по закону
x = 0,02cos		πt	+	π		,	м. Определите скорость и ускорение точки в мо-
				3
мент времени t			= 2 с. [ υ= 5,44 см/с, a =						9,86 см/с2; уровень 3].

95

4.Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом T = 1 с. Запишите уравнение колебаний точки, если в начальный мо- мент времени она проходит положение равновесия с положительной

скоростью υ0	= 6,28 см/с. [ x = 0,01cos		2πt +	3π		, м; уровень 3].
				2

5.Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колеба- ния с амплитудой A = 10 см. Определите частоту колебаний ν , если

максимальная сила Fmax , действующая на точку, равна 10 мН. [ ν = 0,503 Гц; уровень 4].

6.Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колеба- ния, описываемые уравнением x = 0,1cos3πt , м. Определите полную

энергию W колеблющейся точки. [44,4 мДж; уровень 2].

7.Пружинный маятник совершает гармонические колебания, описывае-

мые уравнением x = 0,3cos π t , м. В тот момент, когда возвращающая

6

сила F в первый раз достигла значения –10 мН, потенциальная энергия П маятника оказалась равной 7,5 мДж. Определите этот момент вре-

мени t . [ t = 2 с; уровень 4].

8.Груз, неподвижно висящий на спиральной пружине, растянул ее на 6,2 см. Затем груз оттянули вниз и отпустили, в результате чего он на- чал колебаться вдоль вертикальной линии. Определите период колеба- ний груза. [T = 0,5 с; уровень 3].

9.Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с периодом T1 = 1 с. После того как подвесили еще один груз, период ко-

лебаний увеличился в два раза. Пренебрегая массой пружины, определи- те, насколько удлинилась пружина при добавочном грузе. [ x = 7,46 см;

уровень 4].

10. Складываются два гармонических колебания, описываемые уравнениями

x	= 0,1cos		2πt +	π	(м) и	x	= 0,1cos		2πt +	π	(м). Сложив эти колеба-
1						2
				6						6

ния с помощью метода векторных диаграмм, запишите уравнение резуль-

тирующего колебания. [ A = 0,193 м, ϕ=	π	x = 0,193cos		2πt +	π	;
	,
	4				4
уровень 2].

96

11.Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармо- нических колебаний одного направления, мало отличающихся по час- тоте, описывается уравнением вида x = Acost cos50t . Определите цик- лические частоты складываемых колебаний, циклическую частоту бие-

ний, период биений. [ ω1 = 51 рад/с, ω2 = 49 рад/с, ωб = 2 рад/с,

Тб = 2,14 с; уровень 2].

12.Материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлени-

ях и описываемых уравнениями x = cos πt и y = cos πt . Найдите урав- 2

нение траектории точки. [ 2 y2 − x = 1; уровень 2].

13. Запишите уравнение затухающих колебаний материальной точки, если

смещение точки при t = T составляет 4,5 см, период затухающих коле- 4

баний T = 4 с, логарифмический декремент затухания δ = 0,4, началь-

ная фаза равна нулю. [ x = 6,7e−0,1t cos π t , см; уровень 3]. 2

14.Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с часто- той 50 Гц, равен 0,02. Определите время, за которое амплитуда колеба- ний тела уменьшится в 20 раз; число полных колебаний тела за время, в течение которого произошло подобное уменьшение амплитуды. [t = 3 с;

N = 150; уровень 3].

15.Определите добротность Q колебательной системы, если за время, в

течение которого система совершает N = 90 полных колебаний, их ам- плитуда уменьшилась в 3 раза.[ Q = 257; уровень 3].

16.Тело массой m = 50 г совершает затухающие колебания, начальная ам- плитуда A0 которых равна 10 см, начальная фаза ϕ0 = 0, коэффициент затухания β = 1,6 с–1 . В результате действия на это тело внешней перио-

дической силы установились вынужденные колебания, описываемые уравнением x = 6cos(10πt − 0,75π) , см. Найдите: уравнение собствен-

ных затухающих колебаний; уравнение внешней периодической силы. [ x = 0,1e−1,6t cos10,5πt , м; F = 0,712cos10πt , Н; уровень 4].

17.Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой

ν= 900 Гц. Определите собственную частоту колебательной системы, если ее резонансная частота ν рез = 898 Гц. [ ν0 = 902 Гц; уровень 3].

97

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 2. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ. МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

В этом учебном модуле рассматриваются особенности и закономер-

ности движения материальных тел с использованием простейшей модели тел как совокупности взаимодействующих частиц тела, представляемого системой взаимосвязанных материальных точек. Объединение за счет вза-

имных связей частиц (материальных точек) тела в единое целое (тело)

приводит к появлению новых, не присущих одной материальной точке особенностей движения и новых закономерностей.

При описании движения систем в механике они разделяются на три принципиально различных типа. Системы с сильными (жесткими) и ори-

ентированными связями частиц образуют твердые тела, которые способны в определенной степени сохранять форму и объем. Системы с сильными,

но свободно ориентирующимися связями частиц образуют жидкие тела,

которые способны сохранять объем, но принимают форму предоставляе-

мого им объема или обусловленную движением. В ряде случаев методика рассмотрения системы материальных точек как единого тела применяется и к системам со слабыми и неориентированными связями частиц, обра-

зующих газообразные структуры (тела), которые занимают весь предос-

тавляемый им объем любой формы. Сильная связь частиц реализуется в случае, когда потенциальная энергия их взаимодействия значительно пре-

вышает их кинетическую энергию. Слабая – когда кинетическая энергия частиц значительно превышает потенциальную энергию их взаимодейст-

вия в системе.

В этом модуле рассматриваются закономерности движения твердого тела и жидкости.

Вводимые новые физические понятия обусловлены проявлением новых свойств систем микрочастиц. Однако в большинстве случаев опи-

сание этих новых свойств и закономерностей основывается на понятиях и закономерностях механики материальной точки, рассмотренных ранее.

Поэтому краткое содержание теоретического материала модуля содержит таблицу аналогий закономерностей поступательного и вращательного движений.

98

Модуль содержит четыре учебных блока:

1.Статика.

2.Динамика вращательного движения твердого тела.

3.Колебания твердого тела.

4.Механика жидкости.

В первом блоке рассматриваются движения, когда существенна про-

тяженность тел.

При этом считают тела абсолютно твердыми. Рассматриваются по-

ступательное и вращательное движения тела вокруг закрепленной оси.

Вводятся следующие понятия: плечо силы, момент силы, угловое ускоре-

ние тела при его вращении вокруг закрепленной оси, момент инерции тела,

уравнение движения вращающегося тела, понятия результирующей силы,

центра масс (центра инерции), пары сил, условия и виды равновесия со-

стояния тела и системы тел.

Во втором блоке рассматривается плоское движение твердого тела – вращение вокруг неподвижной оси и сложное плоское движение, которое представляют как сумму поступательного движения и вращения вокруг воображаемой оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскостям, в которых располагаются траектории всех точек тела. Пока-

зано, что для системы твердых тел законы сохранения импульса и момен-

та импульса – это два независимых закона. Рассматривается вращение симметричного волчка в отсутствие действия внешних сил (свободное вращение).

В третьем блоке рассматриваются механические одномерные коле-

бания, для описания которых достаточно одной координаты. Это может быть либо линейная, либо угловая координата. Вводится понятие физиче-

ского и математического маятника. Рассматриваются крутильные колеба-

ния и колебания в системе связанных тел.

В четвертом блоке рассматриваются жидкости как сплошные среды.

Используются понятия давления, а также законы Паскаля, Архимеда, Сто-

кса, уравнения Бернулли и непрерывности потока. Вводятся понятия ли-

нии и трубки тока, вязкости, числа Рейнольдса. Описаны способы опреде-

ления вязкости (методом Пуазейля) и коэффициент вязкости.

99

Учебно-методическая структура модуля

Учебный модуль 2 Механика материальных тел. Модель системы материальных точек

Учебный блок 1

Учебный блок 2

Учебный блок 3

Учебный блок 4

Статика

Динамика вращательного

Колебания

Механика

движения твердого тела

твердого тела

жидкости

– результирую-

–

характеристики

вра-

– особенности

–

свойства

жидко-

щая сил, дейст-

щательного

движения

физического ма-

сти,

модель

идеаль-

вующих на твер-

тел, абсолютность вра-

ятника;

ной жидкости;

дое тело;

щательного движения;

– крутильные ко-

–

течение

жидко-

– момент силы,

– законы Ньютона для

лебания;

сти,

поток,

линии

результирующий

вращательного движения;

– колебания свя-

тока;

момент сил;

–

законы сохранения для

занных систем

условие

непрерыв-

– равновесное

вращательного движения;

ности;

состояние

тела,

– степени свободы вра-

–

законы

сохране-

условия

равно-

щательного движения;

ния в текущей жид-

весия;

–

момент инерции тел;

кости, трение в жид-

– виды равнове-

–

вращение

относитель-

кости;

сия

но

оси,

относительно

–

основные

законы

точки

гидродинамики

Методическая программа модуля

Тема занятия

Цель занятия

Вид

Часы

занятия

1. Условия равновесия тел, виды равнове-

формирование

лекция

1

сия

новых знаний

2. Определение видов и условий равновес-

формирование и система-

практич.

2

ного состояния тел (статика)

тизация новых навыков

занятие

3. Кинематические и динамические пара-

формирование

метры вращательного движения, момент

новых знаний

лекция

2

инерции тел

4. Определение характеристик вращатель-

формирование и система-

практич.

ного движения тела, центра масс тел и мо-

тизация новых навыков

2

занятие

ментов инерции тел

5. Законы Ньютона и законы сохранения мо-

формирование новых зна-

мента импульса и энергии для вращатель-

ний

лекция

1

ного движения. Работа

6. Вращение тел относительно свободной оси,

формирование

заданной точки. Степени свободы твердого

новых знаний

лекция

2

тела

7. Законы сохранения импульса и энергии,

углубление и системати-

практич.

параметры вращения и качения тел. Приме-

зация навыков

2

занятие

нение теоремы Штейнера

8. Уравнения колебаний

физического

и

формирование

лекция

2

крутильного маятников

новых знаний

9. Определение параметров колебаний физи-

формирование и системати-

практич.

2

ческого и крутильного маятников. Примене-

зация новых навыков

занятие

ние теоремы Штейнера

10. Течение жидкости. Трение в жидкости.

формирование

лекция

2

Основные законы гидродинамики

новых знаний

11. Определение параметров течения жид-

формирование и системати-

практич.

2

кости, движения тел в жидких средах

зация новых навыков

занятие

12. Механика твердого тела и жидких сред

систематизация знаний и

лабора-

(по графику из списка лабораторных работ)

формирование навыков

тор. за-

8

экспериментальной работы

нятия

13. Механика твердого тела и жидких сред

занятие– проверка

итоговое

2

результатовобучения

занятие

100