уп_Вабищевич_Физика ч

Пример 9. Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты вязкости η углекислого газа и азота, если оба газа находятся при одинако- вых условиях. (Уровень 2).

Решение

h =

1

u l r ; r =

pμ

; l =

kT

; u =

8RT

;

pm

3

RT

2pd 2 p

1 pm1

1 pm2

h1 =

kT

8RT

h2 =

kT

8RT

;

;

3 RT

2pd 2 p

3 RT

2pd

2 p pm2

pm1

1

2

h

m

2

2

=

d

m

=

d

m

1

1

2

2

2

1

.

h

m

d

2

m

d

2

m

2

2

2

2

1

1

h

2

=

d

m

Ответ:

1

2

1

.

h

d

2

m

2

2

1

Пример 10. Цилиндрический термос с внешним радиусом r2 = 10 см и внутренним r1 = 9 см, высотой 20 см наполнен льдом ( t1 = 0°С). Темпе-

ратура льда 0 °С, наружная температура 20 °С ( t2 = 20oС). (Уровень 5).

Задание:

1. При каком максимальном давлении воздуха между стенками термо- са коэффициент теплопроводности начнет зависеть от давления? Темпера-

туру воздуха считать равной 10 °С, диаметр молекул воздуха 3×10–10 м,

m= 29 г/моль.

2.Найти коэффициент теплопроводности воздуха при давлении:

а) p = 760 мм рт. ст.;	б) p = 10–4	мм рт. ст.
1	2

3. Какое максимальное количество тепла проходит за 1 мин через бо- ковую поверхность термоса со средним радиусом 9,5 см за счет теплопро- водности:

а) p = 760 мм рт. ст.;	б) p =10–4	мм рт. ст.
1	2

Решение

1. При l ³ d коэффициент теплопроводности зависит от давления:

l =		kT		p =		kT		, откуда p = 7,37 ×10−3	мм рт. ст.
		2pd 2 p				2pd 2d		кр

231

2, а. Поскольку pкр p1 , то

1

c =

u l С r =

ik

T

и

c =13,1×10−6 Вт/(м К).

3pd 2

pmR

3

V

2,

б. Поскольку

pкр > p2 , то l > r2 - r1

и коэффициент теплопро-

водности не определяется.

r1 + r2

3, а. Поскольку Q = c

T SDt, где S = 2πrh,

r =

; Q = c

T 2prhDt

t2 −t1

Dx

2

Dx

и

T

, то после подстановок числовых значений получаем Q1 = 188 Дж.

Dx

d

3, б. Поскольку l > r2 - r1 ,

Q =

r u

c a(t

- t ) St ,

4m

V

2

1

где ρ –

плотность воздуха при условиях 3, б; r =

pμ

, а температуру T мож-

RT

t

+ t

2

но принять равной

1

+ 273 К.

2

Подставляя числовые значения в СИ, получим Q2 = 6,15 ×10−2 Дж.

Ответ: Q1 = 188 Дж; Q2 = 6,15 ×10−2 Дж.

2.5.Задачи для самостоятельного решения

1.Сосуд емкостью 2 л содержит азот при температуре 27 °С и давлении 0,5 атм. Найти число молекул в сосуде, число столкновений между всеми

молекулами за 1 с, среднюю длину свободного пробега молекул.

[ N =

pVNA

= 2,45 ×10

22

1

2 8RT

p

31

–1

молекул;

Z =

n

2pd

=

3,04×10

с

;

RT

2

pm

kT

l =

kT

= 1,92×10–7 м; уровень 4, 5].

2pd

2 p

2.Вакуумная система заполнена водородом при давлении 10–3 мм рт. ст. Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул водорода при

этом давлении, если t = 50 °С. [ l =		kT		= 0,143 м; уровень 1, 2].
			pd 2 p
		2

232

3. Определить плотность разреженного азота, если средняя длина свобод-

ного	пробега			молекул 10 см. Какова концентрация молекул?
[ n =	1			= 2,34×1019 м; r =	n0μ	= 1,09×10–6 кг/м3; уровень 3].
0		2pd 2 l			N A

4. Определить коэффициент вязкости для водорода, имеющего темпера-

туру 27 °С. [ h =			8mRT			= 8,4×10–6	кг	; уровень 3].
	3 2p3 d 2 N A						м× с

5. Вычислить коэффициент внутреннего трения (вязкости) и коэффи- циент самодиффузии кислорода, находящегося при давлении

0,2

МПа и

температуре

280 К. [ D =

2kT

RT

= 7,4×10–6

м/с2;

pm

3pd 2 p

2

mRT

–5

кг

h =

= 2×10

; уровень 3].

3p

d 2 N A

м× с

p

6.Наружная поверхность кирпичной стены площадью 25 м2 и толщиной 37 см имеет температуру 259 К, а внутренняя поверхность – 293 К. По- мещение отапливается электроплитой. Определить ее мощность, если температура в помещении поддерживается постоянной. Коэффициент

теплопроводности кирпича 0,4	Вт	.	[ P = -c	T1 − T2	S = 0,92 кВт;
	м× К			d
уровень 1, 2].

7.Вычислить коэффициент вязкости η (внутреннего трения) кислорода при нормальных условиях [18 мкПа×с; уровень 2].

8.Два горизонтальных диска радиусами R = 20 см расположены друг над другом так, что оси их совпадают. Расстояние d между плоскостями дисков равно 0,5 см. Верхний диск неподвижен, нижний вращается от- носительно геометрической оси с частотой n = 10 с–1 . Найти вращаю- щий момент М, действующий на верхний диск. Коэффициент вязкости

η воздуха,		в котором находятся диски, равен 17,2 мкПа×с.
[ M =	p2hnR4	= 0,58 мН×м; уровень 4].

d

233

УЧЕБНЫЙ БЛОК 3 ТЕРМОДИНАМИКА. АГРЕГАТНОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА

Термодинамика рассматривает общие свойства макросистем в рав- новесных состояниях и процессы перехода систем в другие состояния как при сохранении агрегатного состояния вещества, так и при его изменении. В дополнение к механической энергии тел термодинамика включает в рас- смотрение состояния систем (тел) тепловую энергию как функцию состоя- ния систем. Кроме этого, в термодинамике к используемому в механике способу изменения энергетического состояния систем, заключающемуся в совершении работы телами или над телами, добавляется другой способ – теплообмен между телами (системами). Взаимные превращения одного вида энергии в другой при изменении состояний систем в термодинамике рассматриваются на основе термодинамических процессов, отличающихся условиями их реализации.

В данном учебном блоке рассматриваются основы термодинамики вещества в газообразном состоянии.

При изучении данного блока студенты должны

иметь представление:

–об основных физических величинах: количестве теплоты, работе, удельной теплоемкости, удельной теплоте плавления и парообразования;

–о законе сохранения энергии применительно к тепловым процессам;

–о законе состояния идеального газа;

обладать навыками:

–применения элементов дифференциального и интегрального ис- числения;

–составления уравнений теплового баланса.

Учебная программа блока

		Содержание блока	Форма	Литература
			подготовки
	1.	Первое начало термодинамики. Работа газа. Внутрен-	лекция
	няя энергия. Количество теплоты. Теплоемкость
	2.	Применение первого начала термодинамики к изопро-
	цессам. Теплоемкости идеального газа. Адиабатный про-		лекция	[5]
	цесс. Политропный процесс
	3.	Обратимые и необратимые процессы. Круговой про-	лекция	[6], часть 2
	цесс (цикл). Цикл Карно
	4.	Энтропия. Второе начало термодинамики. Вычисление		[7]
	энтропии идеального газа.		лекция
	Статистическое толкование второго начала термодинамики			[8]
	5.	Отступления от законов идеальных газов. Реальные га-	лекция
	зы. Уравнение Ван-дер-Ваальса			[10]
	6.	Фазовые переходы I и II рода. Критическое состоя-	лекция
	ние.Уравнение Клапейрона – Клаузиуса
	7.	Поверхностное натяжение. Формула Лапласа. Капил-	самост.
	лярные явления

234

Цели обучения

	Студент должен знать	Студент должен уметь
–	определения теплоты, внутренней энергии и рабо-	– вычислять изменение внут-
ты газа;		ренней энергии, работу газа и
– связь параметров состояния в различных процес-		количество теплоты в различ-
сах;		ных процессах;
–	первый закон термодинамики. Смысл величин,	– определять кпд различных
входящих в него;		круговых процессов;
– понятие теплоемкости для различных процессов;		– вычислять изменение энтро-
–	политропический процесс;	пии;
–	цикл Карно, термодинамические циклы;	– находить связь критических
–	кпд тепловых машин;	параметров вещества и попра-
– определение второго начала термодинамики;		вок в уравнении Ван-дер-
– способы вычисления энтропии идеального газа;		Ваальса;
–	статистическое толкование второго начала тер-	– определять температуру фа-
модинамики;		зового перехода;
– уравнение Ван-дер-Ваальса. Смысл поправок для		– определять работу сил по-
давления и объема;		верхностного натяжения и из-
–	фазовое состояние вещества. Фазовые переходы	быточное давление
I и II рода. Критическое состояние;
–	уравнение Клапейрона – Клаузиуса;
– причины возникновения поверхностного натяже-
ния, формулу Лапласа

3.1. Краткое содержание теоретического материала

Физические свойства макросистем, состоящих из большого количе- ства частиц, изучаются взаимно дополняющими методами: статистическим и термодинамическим. Термодинамический метод основан на анализе условий и количественных соотношений при различных превращениях энергии, происходящих в системе. Внутренняя энергия термодинамиче- ской системы включает в себя кинетическую энергию движения частиц (поступательного, вращательного и колебательного движения), а также по- тенциальную энергию их взаимодействия. В модели идеального газа пре- небрегают силами межмолекулярного взаимодействия, поэтому внутрен- няя энергия может быть принята как сумма кинетических энергий хаотиче- ского движения всех молекул

U = N	i	kT =	m	N		i	kT =	i		m	RT ,
					A 2
2			μ					2 μ

где i – число степеней свободы молекулы.

235

Изменение внутренней энергии газа связано с изменением темпера-

туры:

dU = i m RdT . 2 μ

Обмен энергий между системой и внешними телами может осуществ- ляться двумя качественно различными способами: путем совершения работы и путем теплообмена.

Элементарная работа, совершаемая газом при изменении его объема,

δA = pdV .

Полная работа при изменении объема газа вычисляется с помощью интегрирования:

V2

A = ∫ pdV ,

V1

где V1 и V2 – соответственно начальный и конечный объемы газа. Количество теплоты, переданное системе, определяется по формуле

Q = cm T ,

где c – удельная теплоемкость газа в данном процессе.

Связь между молярной C и удельной c теплоемкостями газа

C = cμ ,

где μ – молярная масса газа.

Первое начало термодинамики утверждает, что количество теп-

лоты Q, сообщаемое системе, затрачивается на приращение внутренней энергии системы U и совершение системой работы А над внешними те- лами:

Q = U + A.

Первое начало термодинамики в дифференциальной форме

δQ = dU + δA .

Отличия в записи бесконечно малых величин (δA, δQ, dU ) отражают тот факт, что внутренняя энергия является функцией состояния системы (dU ), а работа и теплота – функции процесса ( δA и δQ ). В отличие от внут-

ренней энергии системы, которая является однозначной функцией парамет- ров состояния этой системы, понятия теплоты и работы имеют смысл только в связи с процессом изменения состояния системы. Они являются энергетическими характеристиками процесса изменения состояния системы.

236

Применим первое начало термодинамики к изопроцессам. Запишем закон в развернутом виде:

cmdT = dU + pdV .

Так, при изохорном процессе dV = 0, т.е. работа А = 0 и вся теплота идет

на изменение внутренней энергии газа: cmdT = dU , где dU =

i

m

RdT .

2 μ

Тогда теплоемкость газа при изохорном процессе

c = c

=

dU

=

i

R

.

V

mdT

2 μ

Во всех других процессах объем газа изменяется. При изобарном

процессе работа газа

A = p (V − V )

или

A =

m

R

(T − T ) .

2

1

μ

2

1

Изменение внутренней энергии

U =

i

m

R

T

или

U =

i

p

V .

2 μ

2

Количество теплоты

Q = U + p V =

i

m

R T +

m

R T =

i + 2

m

R T .

2 μ

μ

2 μ

Удельная теплоемкость газа при изобарном процессе

c = cp

=

Q

=

i + 2

R

.

m T

2 μ

Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном

давлении

i + 2

C =

i

R; C

=

R .

p

V

2

2

Уравнение Майера связывает молярные теплоемкости газа при изо- хорном и изобарном процессах:

C p = CV + R .

При изотермическом процессе температура газа постоянна, поэтому количество теплоты идет на совершение работы: δQ = δA , где δA = pdV .

237

Работа вычисляется интегрированием:

V2

V2

m RT

m

V

m

p

A = ∫

pdV = ∫

dV =

RT ln

2

или

A =

RT ln

1

.

μ V

μ

V

μ

V

V

p

1

2

1

1

Адиабатный процесс реализуется в условиях теплоизоляции систе- мы, но адиабатным можно считать также процесс, протекающий столь бы- стро, что за время его осуществления не успевает произойти существен- ный теплообмен с внешней средой. Из первого начала термодинамики сле- дует, что в адиабатном процессе работа совершается за счет изменения внутренней энергии: δA = −dU , т.е. если газ расширяется, то его темпера- тура понижается, а при резком сжатии – возрастает.

Получим соотношение между параметрами состояния газа в адиабат- ном процессе. Записывая выражения для работы и изменения внутренней

энергии δA = pdV , dU =

m

C dT , где C

=

i

R – теплоемкость газа при изо-

μ

V

V

2

хорном процессе, имеем

pdV = −

m

C dT .

μ

V

Так как p =

mRT

, получаем

m

RT

dV = −

m

C dT ,

dT

= −

R

dV

.

μV

μ V

μ

V

T

CV

V

R

=

C p

− CV

= γ −1,

где γ =

C p

=

i + 2

Согласно уравнению Майера

–

CV

CV

CV

i

безразмерная величина, называемая постоянной адиабаты или коэффици- ентом Пуассона. Поэтому, учитывая, что теплоемкости идеального газа не зависят от температуры, получаем дифференциальное уравнение

dT = −(γ −1) dV . T V

Интегрируя, получаем

lnT = −(γ −1)lnV + const , lnT + (γ −1)lnV = const , ln (TV γ −1 ) = const .

Таким образом, связь температуры и объема газа при адиабатном процессе имеет вид

TV γ −1 = const .	(1)
Поскольку при любом процессе для идеального газа	pV	= const , то
	T
давление и объем связаны соотношением
pV γ = const .	(2)

238

	Соотношения (1) и (2) являются двумя				p
формами записи уравнения Пуассона.						адиабата
	На p – V -диаграмме (рис. 3.1) адиа-
батный процесс изображен кривой 2, кото-						pV γ = const
						γ > 1
рая	идет круче,	чем изотерма, поскольку					изотерма
при адиабатном расширении газа соверша-
							pV = const
ется работа и происходит его охлаждение,							1
тогда как при изотермическом расширении							2	V
температура остается постоянной. (Сравни-						V1	V2
те	pV = const	(адиабатный	процесс)	и		Рис. 3.1
	T
pV = const (изотермический процесс).				Работа при		адиабатном процессе
противоположна по знаку изменению внутренней энергии (заштрихованная
область на рис. 3.1):

A = − mμ CV (T2 − T1 ) ,

и с учетом связи параметров (1) при адиабатном процессе может быть запи- сана в виде

RT m

V

γ −1

p V

V

γ−1

A =

1

1 −

1

=

1 1

1

−

1

,

γ −1 μ

V

V

γ −1

2

2

где T1, T2, и Vl, V2 –

соответственно начальные и конечные температуры и

объемы газа.

Политропическими называются процессы, при которых теплоем-

кость тела остается постоянной. Для идеального газа уравнение полит- ропы имеет вид

pV n = const ,

где n – показатель политропы,

n = C − C p . C − CV

Рассмотренные ранее процессы относятся к категории политропиче- ских. Изобарному процессу соответствует n = 0, изотермическому – n = 1, адиабатному – n = γ, изохорному – n = ∞ .

Для описания термодинамических процессов первого начала термо- динамики недостаточно, поскольку оно не позволяет определить направле- ние протекания процесса. В самом деле, процесс самопроизвольной пере- дачи теплоты от холодного тела к горячему не противоречит первому нача- лу термодинамики. Однако опыты показывают, что самопроизвольно такой процесс не протекает. Иначе говоря, теплота не может самопроизвольно

239

(без совершения работы) переходить от тела менее нагретого к телу бо-

лее нагретому. Это второе начало термодинамики в формулировке Клау-

зиуса. В формулировке Томсона постулат второго начала термодинамики состоит в следующем: невозможен круговой процесс, единственным ре- зультатом которого было бы совершение работы за счет изменения внутренней энергии системы. Расширим представление о термодинамиче- ских процессах. Введем понятие обратимого процесса. Термодинамиче- ский процесс называется обратимым, если после него можно возвратить систему в начальное состояние таким образом, чтобы в других системах, взаимодействующих с первой, не осталось каких-либо изменений. Необхо- димое условие обратимого процесса – его равновесность. Реальные про- цессы являются неравновесными, и поэтому являются необратимыми.

Круговым процессом называется термодинамический процесс, в ито- ге которого система возвращается в исходное состояние. Круговые процес- сы изображаются в диаграммах p – V , p – T и др. в виде замкнутых конту- ров, образуемых графиками (в частности – рис. 3.2).

p				Круговые процессы лежат в основе дей-
				ствия всех тепловых машин – устройств, ко-
	Q1
				торые превращают внутреннюю энергию в
	a			механическую. Основные части тепловой
1	A			машины – нагреватель, рабочее тело и холо-
				дильник. Рабочее тело (обычно газ) получает
		2
				количество теплоты Q1 от нагревателя, со-
	б
	Q2			вершает работу A за цикл, отдает холодильни-
			V	ку количество теплоты Q2. На pV -диаграмме
				(см. рис. 3.2) работа равна площади фигуры
	Рис. 3.2
				1a2б1, ограниченной графиками процессов
				1a2 и 2б1. Изменение внутренней энергии в

круговом процессе равно нулю. Работа, совершаемая за цикл, А = Q1 − Q2 .

Эффективность тепловой машины определяется термическим коэффици-

ентом полезного действия (кпд) для кругового процесса (цикла)

η = A = Q1 − Q2 = 1 − Q2 .

Q1 Q1 Q1

Среди всех круговых процессов большое значение имеет процесс, составленный из четырех процессов: двух изотерм и двух адиабат – цикл Карно (рис. 3.3). Определим кпд такого цикла. Запишем выражения для ко- личеств теплоты и работ, совершаемых рабочим телом на разных участках процесса.

240