уп_Вабищевич_Физика ч

Очевидно, что момент инерции платформы после того, как человек перейдет в ее центр, не изменится, поскольку при этом не изменится ни ее масса, ни радиус.

Момент инерции человека, стоящего на краю платформы, относи-

тельно оси О1О2 определим по формуле момента инерции материальной

точки: Jчел1 = mR2 .

Когда человек перейдет в центр, то расстояние от него до центра платформы, т.е. радиус окружности, по которой он движется при враще-

нии платформы, станет равен нулю, поэтому и момент инерции человека в центре платформы станет равен нулю: Jчел2 = m × 0 = 0 , поэтому и момент импульса человека в центре платформы L2 можно считать равным нулю

(подчеркиваем, что так будет только потому, что мы человека считаем ма-

териальной точкой, которая вращается вокруг оси, проходящей через нее).

Тогда закон сохранения момента импульса принимает вид

L01 + L02 = L1 + L2 = L1 .

Подставим выражение для моментов инерции Jпл и Jчел в (2) и (3) и приравняем их правые части:

m R2		+ m R2			m R2		(0,5m + m )ω = 0,5m ω .
	1		w =		1	w ;
	2	2		1	2	2	1 2	1	1 2
Поскольку в условии задачи даны частоты ν1								и ν2 , то, воспользовав-

шись соотношениями ω1 = 2πν1 и ω2 = 2πν2 , запишем:

(0,5m1 + m2 )2πν1 = 0,5m12πν2 .

Отсюда найдем искомую частоту вращения n2:

n		=	ν (0,5m + m )			n		= n		+	2m
			1	1 2	;				1		2	.
											m1
	2			0,5m1			2	1

Подставим значения известных величин и произведем вычисления:

n2	=	1		+	2 × 60			−1	= 0,37 c	−1
			1				c				.
		6
					100

Ответ: n2 = 0,37 с–1 .

141

2.5.Задачи для самостоятельного решения

1.Определить момент инерции I материальной точки массой m = 0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на r = 20 см. [ I = 0,012 кг×м2;

уровень 1].

O′

D

2.

Два однородных тонких стержня –

AB дли-

A

B

ной l1 = 40 см и массой m1

= 900 г и CD

длиной l2

= 40 см и массой

m2 =

400 г

l2

O

l1

скреплены под прямым углом (см. рисунок).

C

Определить момент

инерции

J

системы

стержней

относительно

оси

OO′ ,

проходящей

через

конец

стержня

AB

параллельно

стержню

CD .

[ J =

m1

+ m

l 2

= 0,112 кг×м2; уровень 2, 3].

2

1

3

d

3. В однородном диске массой

m =

1

кг и

O1

l

радиусом

r =

30

см

вырезано

круглое

отверстие

диаметром d =

20

см,

центр

O

r

которого находится на расстоянии l = 15 см от

оси диска (см. рисунок). Найти момент

инерции J

полученного

тела относительно

оси, проходящей перпендикулярно к плоскости диска через его центр.

[ J =	1	mR2	-	md 2	(d 2 + 8l2 ) = 4,19×10–2 кг×м2; уровень 3, 4].
	2			32R2

4. Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сторонами a = 10 см и b = 20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью σ = 1,2 кг/м2.

[ J = 1 sa3b = 2×10–5 кг×м2; уровень 4]. 12

5.Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с2 вокруг оси, проходящей

перпендикулярно к стержню через его середину. Определить вращаю-

щий момент M . [ M = 1 ml 2e = 0,025 H × м; уровень 1]. 12

142

6. Через блок, имеющий форму диска,

перекинут шнур. К концам шнура

привязали грузики массой m1 = 100 г и m2 = 110 г. С каким ускорением

a будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г? Трение

при вращении блока ничтожно мало. [ a =

2(m2 - m1)

g = = 0,24 м/с2 ;

m + 2m1 + 2m2

уровень 2].

7.

Вал массой m = 100 кг и радиусом R = 5 см вращался с частотой

ν = 8 с–1 . К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную ко-

лодку с силой F = 40 Н, в результате чего вал остановился через 10 с.

Определить коэффициент трения μ . [ μ =

πmRν

= 0,31; уровень 3].

Ft

8.

Тела с массами m1 = 0,4 кг, m2 = 0,4 кг, m3

= 2 кг

соединены невесомыми нерастяжимыми нитями,

m0

m0

перекинутыми через блоки массами m0 = 0,5 кг

(см. рисунок). Найти ускорения, с которыми дви-

жутся тела, и силы натяжения нитей. Блоки счи-

m3

тать однородными дисками. Трением на осях бло- m1

m2

ков пренебречь. [3,56 м/с2; 5,35 Н; 5,35 Н; 6,24 Н;

6,24 Н; уровень 4].

9.

Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси,

проходящей через его центр. Уравнение вращения шара

имеет вид

ϕ = A + Bt2 + Ct3 , где B = 4 рад/с2, C = –1 рад/с3. Найти закон изменения

момента сил, действующих на шар. Определить момент сил M в мо-

мент времени t = 2 с. [ M =

4

mR2 (B + 3Ct ) = -0,64 H ×м; уровень 3].

5

10.

Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг

вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой ν = 10 мин–1 .

В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную

скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на

край платформы? [ υ = 2πνR

m1

= 0,942

м/с; уровень 2].

m1 + 2m2

143

11. Маховик вращается по закону, выраженному уравнением j = A + Bt + Ct2 , где A = 2 рад, B = 16 рад/с, C = –2 рад/с2. Момент инерции J маховика равен 50 кг×м2. Найти законы, по которым изме- няются вращающий момент M и мощность P . Чему равна мощность в момент времени t = 3 с? [ M = const = 200 H × м; P = D + Et , где D = 3,2 кВт; E = –0,8 кВт/с; P = 0,8 кВт; уровень 5].

12. Сплошной цилиндр скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 22°. Найти длину наклон- ной плоскости l , если его скорость в конце этой плоскости равна 7 м/с,

а коэффициент трения равен 0,2. [ l =

0,75u2

= = 19,8 м; уро-

g (sin a - mcos a)

вень 3].

13.

Человек стоит на скамье Жуковского и ловит мяч массой m = 0,4 кг,

летящий в горизонтальном направлении со скоростью υ = 20 м/с. Тра-

ектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси

вращения скамьи. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться

скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный мо-

мент

инерции

J

человека и

скамьи

равен 6 кг×м2?

[ w =

mυr

=1,02 рад/с; уровень 4].

J

+ mr2

14.

Однородный шар скатывается без скольжения с плоскости, наклонен-

ной под углом 15° к горизонту. За какое время он пройдет путь 2 м и

какой

будет

его

скорость в конце

пути? [ u =

gl sin a

= 2,7 м/с;

0,7

t= 2ul =1,5 c ; уровень 4].

15.Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг верти- кальной оси. На краю платформы стоит человек массой m1 = 60 кг. На

какой угол ϕ повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку? Масса m2 плат-

формы равна 240 кг. Момент инерции J человека рассчитывать как для материальной точки. [ j = -4pm1 (2m1 + m2 )−1 = -(2 3 )p; уровень 5].

144

УЧЕБНЫЙ БЛОК 3 КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Этот учебный блок посвящен вопросам, связанным с колебаниями.

Учение о колебаниях в физике выделяют особо, что связано с общностью закономерностей колебательных процессов различной природы и методов их исследования.

Колебания свойственны всем явлениям природы. Пульсируют звез-

ды, вращаются планеты Солнечной системы, в земной атмосфере и ионо-

сфере циркулируют потоки заряженных и нейтральных частиц, ветры воз-

буждают колебания на поверхности водоемов. Внутри любого живого ор-

ганизма непрерывно происходят ритмично повторяющиеся процессы, на-

пример, биение сердца.

При изучении данного блока студенты должны

иметь представление:

–о способах описания колебательного движения;

–о параметрах колебательного движения;

обладать навыками:

–дифференциальных и интегральных вычислений;

–расчета периодов колебаний различных маятников.

Учебная программа блока

	Содержание программы	Форма	Рекомендуемая
		подготовки	литература
	Физический маятник. Крутильный маятник	лекция	[5], [6], [7],
			[8], [9], [10]
	Колебания связанных систем	лекция

Цели обучения

	Студент должен знать	Студент должен уметь
– дифференциальное уравнение колебаний физического и		– определять	период и
крутильного маятников;		приведенную	длину фи-
–	периоды колебаний физического и крутильного маятников;	зического маятника (про-
–	особенности колебаний связанных систем	стые формы)

145

3.1. Краткое содержание теоретического материала

Колебательное движение (процессы) – движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки вре- мени.

Среди повторяющихся процессов важную роль играет периоди- ческое движение.

Движение называют периодическим, если значения физических величин (например, смещения или скорости), изменяющихся в про- цессе движения, повторяются через равные промежутки времени. Ко- лебательную систему вне зависимости от ее физической природы на-

зывают осциллятором.

		Физическим маятником называется тело, за-
		крепленное на неподвижной горизонтальной оси, не
O′		проходящей через центр масс, и совершающее коле-
	d	бания под действием силы тяжести. При отклонении
	ϕ	маятника из положения равновесия на угол ϕ			воз-
	O
		никает вращающий момент, стремящийся вернуть
		маятник в положение равновесия (рис. 3.1).
		Этот момент равен
	mg	M = −mgd sin ϕ ,			(1)
	Рис. 3.1	где m – масса маятника, d – расстояние от точки
подвеса (O′) до центра масс маятника (O) .
	Согласно основному закону вращательного движения
		d 2ϕ		,	(2)
		M = J ε = J	2
		dt

где J – момент инерции тела относительно оси вращения. Приравнивая (1) и (2), получаем

Jd 2ϕ = −mgd sin ϕ . dt 2

Вслучае малых отклонений от положения равновесия можно считать sin ϕ ≈ ϕ , тогда получаем дифференциальное уравнение гармонических ко-

лебаний

d 2ϕ + mgd ϕ

dt2 J

0 .

146

	Следовательно, движение физического маятника носит гармониче-
	ский характер с собственной частотой ω =							mgd .
						0		J
	Период колебаний можно определить по формуле
					T0 = 2π	J	.
						mgd
	Из сопоставлений периода колебаний математического маятника и
	физического маятника получается, что математический маятник длиной
	L* = J	будет иметь такой же период колебаний,							как и данный физиче-
	md
	ский. Величину L* называют приведенной длиной физического маятника.
	Тело, подвешенное на упругой нити или другом
	упругом элементе, совершающее колебания в гори-									M êð
	зонтальной плоскости, представляет собой крутиль-
	ный маятник (рис. 3.2). При колебаниях упругий эле-
	мент испытывает		деформацию сдвига				(кручения).			ϕ
	Момент упругой силы относительно оси вращения
	пропорционален		углу	ϕ	закручивания			нити:
	Мкр = −Кϕ , где К – коэффициент пропорционально-
	сти (коэффициент кручения подвеса), зависящий от
	размеров и упругих свойств материала подвеса.									Рис. 3.2
	Уравнение вращательного движения имеет вид

=d 2ϕ

МJ , где J – момент инерции тела относительно оси вращения. dt 2

Таким образом, J d 2ϕ = −Kϕ . Это уравнение также является диффе- dt2

ренциальным уравнением гармонических колебаний. Следовательно, если тело на нити повернуть на некоторый угол, то оно будет совершать вокруг

вертикальной оси колебания с собственной частотой ω =					K	или с пе-
		0			J
риодом T = 2π		J		. Если значение коэффициента кручения К известно
0		K

(например, для стальной проволоки), то, измерив период собственных ко- лебаний Т0 , можно определить момент инерции тела. В этом состоит суть

147

метода крутильных колебаний, который часто используется для нахожде- ния моментов инерции тел. Приборы с использованием крутильного маятника применяют для определения модуля упругости при сдвиге, коэффициента внутреннего трения твердых материалов при сдвиге, коэффициента вязко- сти жидкости.

До сих пор мы рассматривали простейшие колебательные системы, в которых колебания совершает одно тело (материальная точка). В системах с несколькими упруго связанными телами колебательный процесс качест- венно изменяется.

							В системе с несколькими упруго свя-
3	k	1		k 2	k	3	занными телами возможны колебания с
							разными частотами.	Их совокупность
X							образует частотный	спектр системы
							(нормальные колебания).
	F	F	1	F	2 F
							Поясним сказанное примером одно-
	упр	упр	2	упр	упр	2
	1			3
X							мерной цепочки двух частиц, изображен-
			x1		x2		ных на рис. 3.3. Пружины одинаковые с
							коэффициентом упругости k. Силами тре-
			Рис. 3.3
							ния будем пренебрегать. При малых от-
клонениях от положения равновесия силы, действующие на частицы, бу-
дут пропорциональны изменению длин пружин. При этом считаем, что
опоры 3 являются третьим телом с бесконечно большой массой, т.е. непод-
вижным телом.
	На тело 1 действует сила

F1x = Fупр1 + Fупр2 = −kx1 − k (x1 − x2 ) = −k (x2 − 2x1) ,

на тело 2 действует сила

F2 x = Fупр3 − Fупр2 = −kx2 + k (x1 − x2 ) = k (x1 − 2x2 ) ,

где х1 и х2 – смещения тел из положения равновесия.

Переменные х1 и х2 описывают смещение тел 1 и 2 системы, жение механической системы описывается системой уравнений

				d	2 x			= k (x2 − 2x1)
	m					1
				dt2
									.
				d	2 x
								= k (x	− 2x )
		m				2
						2
				dt			1		2

а дви-

(1)

148

У этой системы есть решение в виде двух гармонических функций

x1 = A1 cos(ωt + ϕ0 ) ; x2 = A2 cos(ωt + ϕ0 ) ,

(2)

где A1 и A2 – амплитуды колебаний.

Подставляя в систему (1) решение (2), получим систему алгебраиче-

ских уравнений

		2	= kA2	− 2kA1
−mω A1
−mω2 A = kA − 2kA
		2	1	2
Преобразуя последнюю систему, получаем
			2	− kA2 = 0
(2k		− mω ) A1
				(3)
−kA		+ (2k − mω2 ) A = 0
	1			2

Система (3) имеет нетривиальное решение, если равен нулю опреде-

литель коэффициентов системы, т.е. при условии

2k − mω2	−k	= 0 ;	(2k − mω2 )	2	− k	2	= 0 .	(4)
−k	2k − mω2

Отсюда находим, что в системе из трех связанных тел, одно из которых считаем неподвижным (двух связанных осцилляторов), колебания могут происходить с двумя частотами:

ω =	k	и ω =	3k	.
1	m	2	m

Таким образом, с увеличением числа частиц увеличивается число свя-

зей между ними и число возможных частот колебаний системы. Частотный спектр становится богаче. В теории колебаний доказывается, что в системе с

N связанными телами, совершающими колебательные движения, имеются N

частот нормальных колебаний. Все другие колебания в системе могут быть представлены как сумма (наложение) нормальных колебаний. Примером могут быть колебания атомов в молекулах и твердых телах. Представление сложного состояния системы как результат суперпозиции составляющих состояний широко применяется и в квантовой физике.

149

3.2. Методические указания к лекционным занятиям

Вопросы лекции

Форма

Литература

Вопросы для самоконтроля

изучения

Физический маятник

1.

Что называется физическим маятником?

Крутильный маятник

[8], п. 7.1

2.

Что такое приведенная длина физического маятника?

Колебательное движение. Гармо-

лекция +

[7], пп. 17.1, 17.3

3.

По какой формуле можно рассчитать период колебаний фи-

нические

колебания. Свободные

самост.

[7], пп. 140 – 143]

зического маятника?

колебания. Математический и фи-

[5], пп. 4.2 – 4.4

4.

Что называется крутильным маятником и как определить его

зический

маятники. Крутильный

[6], пп. 3.1 – 3.3

период?

маятник. Маятник Максвелла

5.

От чего зависит коэффициент кручения нити?

Приведите примеры крутильных колебаний

Колебания систем связанных тел

6.

От чего зависит количество частот возможных колебаний в

Примеры связанных систем, в ко-

лекция +

[8], пп. 7.2 – 7.3

системе связанных тел?

торых возможны колебательные

самост.

[10], пп. 144 – 148

7.

При каких условиях количество нормальных частот колебаний

процессы;

нормальные

частоты

[7], п. 17.2

системы связанных тел может быть меньше количества тел?

колебаний таких систем

[5], пп. 4.4 – 4.6

8.

К чему приводит суперпозиция колебаний тел, составляю-

[6], пп. 3.4 – 3.5

щих систему связанных тел?

150

9.

Что такое биения? Чему равна частота биений? Период?

Какой может быть траектория точки, участвующей одновре-

менно в двух взаимно перпендикулярных гармонических коле-

баниях с одинаковыми периодами? Когда получается окруж-

ность? Прямая?

3.3. Методические указания к практическим занятиям

Тема

Задачи

Рекомендации

Задачи

занятия

из сборников

маятник. маятник

Определение

пара-

При нахождении периода

колебаний необходимо определить момент

[1], № 4.4

метров колебаний и

инерции тела относительно оси качания маятника с помощью теоремы

[11], №№ 4.27 – 4.33

зависимостей кине-

Штейнера.

[2], №№ 3.45 – 3.47

матических величин

Когда сложные тела совершают колебания вдоль одной оси координат, их

[12], №№6.41 – 6.51

Физический Крутильный

от времени

можно представлять материальной точкой

Определение момента

Для нахождения кинематических величин используйте общую теорию гар-

[11], №№4.7 – 4.21

инерции тел методом

монических колебаний, выражения для потенциальной энергии упругой де-

[2], №№12.15 – 12.21

крутильных

колеба-

формации и кинетической энергии вращающегося тела.

ний

В некоторых случаях параметры вращательных колебаний подвешенных на

нитях тел можно определить с использованием теории крутильных колебаний

150