уп_Вабищевич_Физика ч

221

2.2. Методические указания к лекционным занятиям

Вопросы лекции	Форма		Литература		Вопросы для самоконтроля
	изучения
Явления переноса				1. Что называют явлением переноса? Приведите примеры.
				2.	Может ли выполниться критерий вакуума, если резиновый шар, на-
Критерий вакуума	лекция +	[5],	пп. 5.6 – 5.8		полненный воздухом, достать с большой глубины водоема?
Столкновения	самост			3.	Что выражает коэффициент вязкости? Как он зависит от температу-
		[6],	пп. 33 – 35		ры, давления?
Теплопроводность		[7],	п. 8.9	4.	Что выражает коэффициент теплопроводности? Как он зависит от
					температуры, давления?
Внутреннее трение		[8],	пп. 17.1 – 17.2	5.	Что выражает коэффициент диффузии? Как он зависит от темпера-
Диффузия					туры, давления?
		[10], п. 48		6.	Что выражают эмпирические законы Фика и Фурье?
				7.	Чем определяется эффективность теплопередачи между двумя на-
					гретыми плоскостями?
				8.	Что выражает коэффициент аккомодации, где он применяется?
				9.	По какой причине начинает вращаться внутренний цилиндр, отде-
					ленный от внешнего вращающегося цилиндра слоем газа?

221

222

2.3. Методические указания к практическим занятиям

Тема	Задачи			Рекомендации				Задачи из
занятия					пользованием			сборника
Определение	Определение				с			[2],
		Целесообразно рассмотреть следующие типы задач:				робега
основных	длины пробега	–	определение средних значений длины свободного п λ , вре-					№№ 5.112, 5.113, 5.115,
параметров	и числа столк-			толкновений		z		5.117
явлений пе-	новений	мени свободного пробега		τ , числа с			с использова-	[11],
реноса		нием справочных данных о диаметрах частиц газа;						№№ 2.34, 2.35
		–	определение параметров состояния газа с		и λ , τ ,			[12],
			z ;					№№ 10.47 – 10.59
								[1],
		–	определение λ , τ ,	z по заданным зависимостям коэффициен-				№ 7.9
		тов теплопроводности и внутреннего трения (вязкости) от давления.
	Определение		Определение коэффициентов переноса –		диффузии,		теплопроводно-	[2],
	коэффициентов	сти, внутреннего трения (вязкости) необходимо начинать с определения						№№ 5.132, 5.135, 5.138,
	переноса	критерия вакуума. Давление, температура и другие параметры состоя-						5.140, 5.154
		ния газа определяются с использованием уравнения состояния идеально-						[11],
		го газа и соотношений, связывающих микро- и макропараметры газа.						№№ 2.36 – 2.42
		Зависимости коэффициентов переноса от макропараметров состояния						[12],
		газа иногда удобно анализировать с использованием отношений типа						№№ 10.66 – 10.79
		η2 η1 , D2 D1 и т.п.
	Определение		Потоки частиц и энергий связаны с коэффициентами переноса эмпи-					[2],
	потоков частиц	рическими законами Фика, Фурье и Ньютона. Определив эти коэффи-						№№ 5.155, 5.157, 5.160
	и энергии в	циенты, можно получить значения этих потоков. При этом необходимо						[11],
	различных	помнить, что явления переноса связаны со средними величинами (дли-						№№ 2.40, 2.44
	условиях	на свободного пробега, скорость). Поскольку реальные процессы про-						[12],
		исходят в ограниченных объемах, то для решения задачи необходимо						№№ 10.80 – 10.86
		определить критерий вакуума, для того чтобы выбрать правильное вы-
		ражение для коэффициентов переноса и входящих в него величин

222

2.4. Примеры решения задач

Пример 1. Определите: 1) среднюю длину свободного пробега моле- кул; 2) число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами ки-

слорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27 °С и дав- лении 100 кПа. (Уровень 3).

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычис- ляется по формуле

l =		1			,	(1)
		2pd		2n
				0
где d = 2,9×10–10 м – эффективный диаметр молекулы кислорода; n0 –						число

молекул в единице объема, которое можно определить согласно уравне-

нию p = n0kT .
Число молекул равно
n =					p		,			(2)
0					kT
где k =1,38 ×10−23 Дж/К – постоянная Больцмана.
Подставляя (2) в (1), имеем
l =					kT
									.	(3)
				2pd 2 p
Число соударений Z , которые происходят попарно между всеми мо-
лекулами в объеме за 1 с,
Z =	1				z N ,					(4)
2
где N – число молекул кислорода в сосуде объемом 2×10–3 м3; <z> –										сред-
нее число соударений одной молекулы за 1 с.
Число молекул в сосуде
N = n0V .										(5)
Среднее число соударений молекулы за 1 с
z =					u			,		(6)
					l

где u – средняя арифметическая скорость молекулы.

223

Она равна

u =

8RT

,

(7)

pm

где m = 32×10–3 кг/моль –

молярная масса кислорода.

Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим

8RT

2pd 2 p

2pd 2 p2V

1

pm

Z =

p

V =

RT

.

kT

k 2T 2

2

kT

pm

Выразим все величины в системе СИ и произведем вычисления:

2 ×3,14 × 2,92 ×10−20 ×1010 × 2 ×10−3

Z =

8,31×300

= 9 ×10

28

;

1,38

2

×10

−46

×9 ×10

4

3,41×32 ×10

−3

l =

1,38 ×10−23 ×300

= 3,56 ×10

−8

.

2

−20

5

2 ×3,14 × 2,9

×10

×10

Ответ: l = 3,56 ×10−8 м ; Z = 9×1028.

Пример 2. Определите: 1) коэффициент самодиффузии; 2) коэффици- ент внутреннего трения в азоте, находящемся при температуре 300 К, дав-

лении 105 Па в объеме 10–6	м3. (Уровень 3).
Решение. Для нахождения l				воспользуемся формулой
	l =					kT
										,	(1)
					2pd 2 p
где k =1,38 ×10−23 Дж/К –	постоянная Больцмана; d = 3,1×10–10 м – эффек-
тивный диаметр молекулы азота, и получаем											l 10−7 м.
Полагая расстояние	между стенками										объема L »10−2 м, получаем
l L . Поэтому коэффициент самодиффузии
	D =	1			u l ,						(2)
	3
где u – средняя арифметическая скорость молекул, равная
	u =					8RT		,			(3)
						pm

где m = 28×10–3 кг/моль – молярная масса азота; l – средняя длина сво-

бодного пробега молекул.

224

Подставляя (1) и (3) в (2), имеем

D =

1

8RT

kT

=

2kT

RT

.

pm

3

2pd 2 p 3pd 2 p pm

Коэффициент внутреннего трения

h= 1 ul r , 3

где r – плотность газа при температуре 300 К и давлении 105 Па.

Для нахождения r воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота: при нормальных условиях

(Т0 = 273 К; р0 = 1,01×105 Па)
p V =				m		RT		и	pV =	m	RT .
				m
0	0					0				m
Учитывая, что r0	=		m			и	r =	m	, имеем
		V0						V

r = r0 pT0 . p0T

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через

коэффициент диффузии

h = Dr = Dρ0 pT0 . p0T

Выразим величины в системе СИ и проведем вычисления:

2 ×1,38 ×10−23 ×300

D =

8,31×300

= 4,7 ×10

−5

;

2

×10

−20

×10

5

3,14 × 28

×10

−3

3

×3,14 ×3,1

h = 4,7 ×10−5 ×1,25 ×

105 × 273

= 5,23 ×10−5 .

1,01×105 ×300

Ответ: D = 4,7 ×10

−5

2

/см;

h = 5, 23 ×10

−5

кг

.

м

м× с

Пример 3. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси Z. Радиус R большого ци- линдра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером d = 2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с постоянной частотой n1 = 20 с–1 . Внеш- ний цилиндр покоится. Определить, через какой промежуток времени с

225

момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту враще- ния n2 = 1 c–1 . При расчетах изменением относительной скорости цилинд- ров пренебречь. Масса m внешнего цилиндра равна 100 г. Вязкость возду-

ха h = 17,2 мкПа×с = 1,72×10–5			Па×с. (Уровень 5).
	Y			Решение.		При	вращении
				внутреннего цилиндра слой воздуха
				увлекается им и начинает участво-
				вать во	вращательном		движении.
n2	υy			Вблизи поверхности этого цилинд-
	1			ра слой	воздуха	приобретает		со
n1	υ	y2	≈ 0	временем	практически		такую	же
			X	линейную скорость, как и скорость
Z
	d			точек на поверхности цилиндра, т.е.
R
				υy1 = 2πn1(R − d ) . Так как R d , то
				приближенно можно считать
					υy1 ≈ 2πn1R .			(1)

Вследствие внутреннего трения момент импульса передается сосед- ним слоям газа и в конечном счете – внешнему цилиндру. За интервал времени Dt внешний цилиндр (вначале покоящийся) приобретает момент импульса L = pR , где p – изменение импульса молекул в результате столкновений с внешним цилиндром. Отсюда

Dp =			L		.						(2)
			R
С другой стороны, согласно второму закону Ньютона									p = F		t ,
Dp = h		dυy				SDt ,					(3)
		dx
где h – коэффициент внутреннего трения в газе (вязкости);									d υy	–	гради-
									dx
ент скорости; S – площадь поверхности цилиндра высотой h .
Приравняв правые части выражений (2) и (3) и выразив из получен-
ного равенства искомый интервал Dt, получим
Dt =				L				.			(4)
	hR			d uy			S

dx

226

Найдем входящие в эту формулу величины L, d υy , S. Момент импуль- dx

са внешнего цилиндра L = J ω2 , где J – момент инерции тонкостенного цилиндра (J = mR2); m – его масса; ω2 – угловая скорость внешнего цилин-

дра (ω2 = 2πn2). С учетом этого запишем

L = mR2 2πn2 = 2πmR2n2 .

Градиент скорости dυy dx

d υy , S, получим dx

=y υy1 . Подставив в (4) выражения L,

xdΔυ

t = mdn2 .

ηυy1λ

Подставив υy1 из (1), найдем

	t =	mdn2	.	(5)
		2πηRhn1

Подставив в (5) значения входящих в формулу величин и произведя вычисления, получим

t = 18,5 с.

Ответ: t = 18,5 с.

Пример 4. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре

17 °С, другая – при температуре 27 °С. Определите количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к дру- гой. Кислород находится под атмосферным давлением (105 Па). (Уровень 4).

Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм. Решение. Количество теплоты, перенесенное газом в результате тепло-

проводности от одной пластины к другой,

Q =	χ	T St	,
		x

где χ – коэффициент теплопроводности.

227

T= t2 − t1 ;

χ= 1 ρ λ υ CV , 3

где СV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,

	C =	i		R	,
		2 μ
	V

где i – число степеней свободы (для кислорода i = 5); ρ = m/V – плотность. Используем уравнение Менделеева – Клапейрона

pV = mμ RT ,

откуда

ρ = pμ .

RT

Средняя длина свободного пробега молекул газа

λ =			1			,
				πd 2n
			2
где n – концентрация газа.
Уравнение состояния идеального газа
p = nkT ,
откуда
n =			p		.
			kT
Средняя арифметическая скорость молекулы υ =								8RT	.
								πμ

Так как в условии задачи λ составляет приблизительно 10–7 м (см.

пример 1), выполняется условие λ L (расстояние между пластинами).

Поэтому

χ =

1

i

Rpμ

kT

8RT

=

i

k

RT

.

3

2

μRT

πd 2 p

πμ

3

πd 2

πμ

2

228

Подставим это выражение в формулу количества теплоты:

Q =

i k

RT

(t

- t )

2

1

St ;

3 pd

2

pm

Dx

−23

Q =

5

1,38 ×10

8,31× 273

27 -17

×15 ×10−3 ×300 = 76, 4 (Дж) .

−10

)

2

−3

−3

3

3,14 × (3,6 ×10

3,14 ×32 ×10

5 ×10

Ответ: Q = 76, 4

Дж .

Пример 5. Найти зависимость коэффициента диффузии от темпера- туры при постоянном давлении. (Уровень 2).

Решение

D =	1	u l =	1		8RT				kT	.
3		3			pm 2pd 2 p

Поэтому зависимость имеет вид D = AT 32 при постоянном давлении р.

Ответ: D = AT 32 .

Пример 6. Найти зависимость коэффициента теплопроводности газа от температуры. (Уровень 3).

Решение

Поскольку

c= 1 ulСV r , 3

акаждая из величин определяется как

r =

pμ

; u =

8RT

;

C =

i

R ;

l =

kT

,

RT

pm

V

2m

2pd 2 p

то, подставив их в первое равенство, имеем

RT pm u

c =

1

8RT

R ,

3

pm

2pd 2 p RT 2m

преобразуя, получим

k

c =

1

m

T

,

pR pd 2

pmR

3

т.е. зависимость имеет вид c = AT .

Ответ: c = AT .

229

Пример 7. Найти зависимость коэффициента внутреннего трения в га- зе от температуры. (Уровень 3).

Решение. Поскольку h =

1

u

l r,

то согласно уравнению Менде-

3

леева – Клапейрона

pV =

m

RT ;

pμ

= r.

m

RT

Длина пробега может быть представлена в виде

l =

1

=

kT

, где учтено, что p = nkT ,

p d 2 n

pd 2 p

2

2

тогда, поскольку

h =

1

pm

u =

8RT

, получаем

8RT

kT

.

pm

pm

3 RT

2pd 2 p

Окончательно запишем

m

h =

1

k

8R

= A

;

T

3 R

pm

2d 2p

h = A

,

T

m

=

2k

.

8m

m

где A =

1

k

=

2k

=

;

A =

1

k

8R

m

pR

3

2 d 2

3 d 2

pR

3 R pm

2pd

2

3p pR

p

p

Ответ: h =

2k

mT

.

3p

pR

Пример 8. Найти коэффициент теплопроводности водорода, если известно, что коэффициент вязкости (внутреннего трения) для него при этих условиях равен 8,6×10–6 кг/мс. (Уровень 2).

Решение

h =

1

u l r; c =

1

u l С r;

C =

i

R

; u l r = 3h; c =

3η

C =

i

hR ;

3

3

V

V

2

μ

3

V

2

c = 1 86 ×10−6 × 5 ×8,31×103 = 90 ×10−6 = 9 ×10−8 = 0,09 Вт/мК. 2 2

Ответ: c = 0,09 Вт/м× К.

230