Глава

10

Однофакторный дисперсионный анализ

Процедура Однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) выполняет однофакторный дисперсионный анализ для количественной зависимой переменной по единственной факторной (независимой) переменной. Дисперсионный анализ используется для проверки гипотезы о равенстве нескольких средних значений, соответствующих различным группам или уровням факторной переменной. Этот метод является расширением двухвыборочного t-критерия.

В дополнение к выявлению наличия различий между средними значениями, Вы, возможно, захотите узнать, какие именно групповые средние значения различаются. Есть два типа критериев для сравнения средних значений: априорные контрасты и апостериорные критерии. Контрасты это критерии, которые применяются до проведения эксперимента, апостериорные же критерии применяются после проведения эксперимента. Вы можете также осуществлять проверку наличия трендов по уровням (категориям).

Пример. Пончики впитывают различное количество жира в процессе их приготовления. В эксперименте используются три типа жиров: арахисовое масло, кукурузное масло и свиное сало. Арахисовое и кукурузное масло являются ненасыщенными жирами, а топленое сало — насыщенным жиром. Выясняя, зависит ли количество расходуемого жира от типа используемого жира, можно выбрать априорный контраст, позволяющий выяснить, различаются ли количества впитывающегося жира для насыщенных и ненасыщенных жиров.

Статистики. Для каждой группы: число наблюдений, среднее значение, стандартное отклонение, стандартная ошибка среднего значения, минимум, максимум и 95%-й доверительный интервал для среднего значения. Критерий Ливиня однородности дисперсий, таблица дисперсионного анализа и робастные критерии равенства средних значений для каждой зависимой переменной, задаваемые пользователем априорные контрасты, а также апостериорные критерии размаха и множественные сравнения: Бонферрони, Шидака, критерий Тьюки достоверно значимой разности, GT2 Гохберга, Габриэля, Даннетта, F-критерий Райана-Эйнота-Габриэля-Уэлша (Р-Э-Г-У F), критерий размаха Райана-Эйнота-Габриэля-Уэлша (Р-Э-Г-У Q), Тамхейна T2, Даннетта T3, Геймса-Хоуэлла, Даннетта C, критерий множественных сравнений Дункана, Стьюдента-Ньюмена-Келса (С-Н-К), Тьюки b, Уоллера-Дункана, Шеффé и наименьшей значимой разности.

Данные. Факторные переменные должны быть целочисленными, а зависимая переменная

— количественной (измерена по крайней мере в интервальной шкале).

Предположения. Каждая группа является независимой случайной выборкой из нормального распределения. Дисперсионный анализ робастен (устойчив) к отклонениям от нормальности, однако данные должны быть симметричны. Группы должны выбираться

© Copyright IBM Corporation 1989, 2011.

57

58

Глава 10

из совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Для проверки последнего предположения используйте критерий Ливиня однородности дисперсий.

Чтобы выполнить Однофакторный дисперсионный анализ

E Выберите в меню:

Анализ > Сравнение средних > Однофакторный дисперсионный анализ...

Рисунок 10-1

Диалоговое окно Однофакторный дисперсионный анализ

E Выберите одну или несколько зависимых переменных.

E Выберите одну независимую факторную переменную.

Контрасты для однофакторного дисперсионного анализа

Рисунок 10-2

Диалоговое окно Однофакторный дисперсионный анализ: Контрасты

59

Однофакторный дисперсионный анализ

Вы можете разделить межгрупповые суммы квадратов на трендовые компоненты или задать априорные контрасты.

Полиномиальный. Разделяет межгрупповые суммы квадратов на трендовые компоненты. Вы можете выполнить проверку на наличие тренда зависимой переменной по упорядоченным уровням факторной переменной. Например, можно проверить наличие линейного тренда (возрастающего или убывающего) заработной платы по упорядоченным уровням переменной, характеризующей служебное положение или уровень образования.

Степень. Вы можете выбрать полином степени 1, 2, 3, 4 или 5.

Коэффициенты. Задаваемые пользователем априорные контрасты, которые будут проверяться при помощи t-критерия. Введите значение коэффициента для каждой группы (уровня, категории) факторной переменной и после ввода очередного значения щелкайте мышью по кнопке Добавить. Каждое новое значение будет добавлено в конец списка коэффициентов. Задать дополнительные наборы контрастов можно, щелкая по кнопке След.. Пользуйтесь кнопками След. и Предыд. для перехода от одного набора контрастов к другому.

Порядок ввода коэффициентов важен, так как он соответствует возрастающему порядку значений категорий факторной переменной. Первый коэффициент в списке соответствует наименьшему значению факторной переменной, а последний — наибольшему. Например, если факторная переменная имеет шесть категорий, коэффициенты –1, 0, 0, 0, 0.5, 0.5 сопоставляют первую группу с пятой и шестой группами. В большинстве случаев сумма коэффициентов должна быть равна нулю. Наборы с ненулевой суммой также могут быть использованы, однако в этом случае появится предупреждающее сообщение.

60

Глава 10

Апостериорные критерии для однофакторного дисперсионного анализа

Рисунок 10-3

Диалоговое окно «Однофакторный дисперсионный анализ: апостериорные множественные сравнения»

Установив, что различия средних значений существуют, с помощью апостериорных критериев размаха и парных множественных сравнений Вы можете выяснить, какие именно средние различаются. Критерии размаха выявляют однородные подмножества средних, не различающихся между собой. Парные множественные сравнения проверяют разности между каждой парой средних значений и выдают матрицу, в которой звездочками обозначены групповые средние, значимо различающиеся на уровне альфа, равном 0,05.

При равенстве дисперсий

Критерии Тьюки достоверно значимой разности, GT2 Гохберга, Габриэля и Шеффé являются одновременно критериями размаха и множественных сравнений. Кроме того, доступны следующие критерии размаха: Тьюки b, С-Н-К (Стьюдента-Ньюмена-Келса), Дункана, Р-Э-Г-У F (F-критерий Райана-Эйнота-Габриэля-Уэлша), Р-Э-Г-У Q (критерий размаха Райана-Эйнота-Габриэля-Уэлша) и Уоллера-Дункана. Доступными критериями множественных сравнений являются: Бонферрони, Тьюки достоверно значимой разности, Шидака, Габриэля, Гохберга, Даннетта, Шеффé и НЗР (наименьшей значимой разности).

НЗР. Использует t-критерии для проведения всех парных сравнений групповых средних. Поправка для уровня ошибки на множественность сравнений не делается.

Бонферрони. При проведении парных сравнений групповых средних используются t-критерии, но для управления общим уровнем ошибки по уровню ошибки каждой проверки вероятность ошибочного решения делится на общее число проверок.

Доверительные интервалы и уровень значимости корректируются так, чтобы учесть проводимые множественные сравнения.

61

Однофакторный дисперсионный анализ

Шидак. Критерий множественных попарных сравнений, основанный на t-статистике. Критерий Шидака изменяет величину уровня значимости в соответствии с числом множественных сравнений и обеспечивает более узкие границы, чем критерий Бонферрони.

Шеффе. Производит одновременные сравнения совместных пар для всех возможных комбинаций пар средних. Использует выборочное F-распределение. Может применяться для проверки всех возможных линейных комбинаций групповых средних,

ане только для парных сравнений.

F Р-Э-Г-У. Шаговая процедура множественных сравнений

Райана-Эйнота-Габриэля-Уэлша, основанная на F-критерии.

Q Р-Э-Г-У. Шаговая процедура множественных сравнений

Райана-Эйнота-Габриэля-Уэлша, основанная на стьюдентизированном размахе.

С-Н-К. В соответствии с критерием Стьюдента-Ньюмена-Келса выполняются все попарные сравнения средних, используя распределение стьюдентизированного размаха. Если объемы выборок одинаковы, с помощью шаговой процедуры сравнивает также пары средних в однородных подмножествах. Средние упорядочиваются по убыванию, и вначале проверяются наибольшие разности.

Тьюки. Использует статистику стьюдентизированного размаха для проведения всех парных сравнений между группами. Подгоняет уровень ошибки эксперимента к уровню ошибки совокупности всех парных сравнений.

b Тьюки. Для проведения парных сравнений между группами используется распределение стьюдентизированного размаха. Критической статистикой служит среднее из критических статистик двух критериев: достоверно значимой разности Тьюки и Стьюдента-Ньюмена-Келса.

Дункан. Выполняются парные сравнения с использованием шагового порядка сравнений, как и в критерии Стьюдента-Ньюмена-Келса, но устанавливается защитный уровень доли ошибок для набора проверок, а не для доли ошибок отдельных проверок. Основан на статистике стьюдентизированного размаха.

GT2 Гохберга. Критерий множественных сравнений и размахов, использующий стьюдентизированный максимум модуля. Аналогичен критерию достоверно значимой разности Тьюки.

Габриэль. Критерий парных сравнений, использующий стьюдентизированный максимум модуля, обычно более мощный, чем критерий Гохберга GT2, когда размеры ячеек не равны. Критерий Габриэля может стать либеральным, когда размеры ячеек сильно различаются.

Уоллер-Дункан. Процедура множественных сравнений, основанная на t-статистике; использует байесовский подход.

Даннетт. t-критерий множественных парных сравнений, который сравнивает средние по группам (уровням фактора) с одним контрольным средним. Последняя категория по умолчанию рассматривается как контрольная. Как вариант можно выбрать первую категорию. 2-х сторонний проверяет, что среднее на любом из уровней (за исключением контрольной категории) фактора не равно среднему для контрольной категории.

<Эталона проверяет, не окажется ли среднее на каком-либо из уровней фактора меньше, чем в контрольной категории. > Эталон проверяет, не окажется ли среднее на каком-либо из уровней фактора больше, чем в контрольной категории.