- •В.В. Бородкин
- •Введение
- •1. Лекция №1
- •1.1. Предмет гидравлики
- •1.2. Краткие исторические сведения о развитии науки
- •1.3. Физическое строение жидкостей и газов
- •1.4. Основные физические свойства: сжимаемость, текучесть, вязкость, теплоемкость, теплопроводность
- •2. Лекция №2
- •2.1. Гипотеза сплошности
- •2.2. Два режима движения жидкостей и газов
- •2.3. Неньютоновские жидкости
- •2.4. Термические уравнения состояния
- •2.5. Растворимости газов в жидкостях, кипение, кавитация. Смеси
- •3. Лекция №3
- •3.1. Два метода описания движения жидкостей и газов
- •3.2. Понятие о линиях и трубках тока. Ускорение жидкой частицы
- •3.3. Расход элементарной струйки и расход через поверхность
- •3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
- •4. Лекция №4
- •4.1. Массовые и поверхностные силы
- •4.2. Поверхностные силы и напряжения
- •4.3. Напряжения поверхностных сил
- •4.4. Уравнения движения в напряжениях
- •5. Лекция №5
- •5.1. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы
- •5.2. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона
- •5.3. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости
- •6. Лекция №6
- •6.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости. Уравнения Эйлера
- •6.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных случаев движения. Баротропные и бароклинные течения
- •7. Лекция №7
- •7.1. Закон изменения количества движения
- •7.2. Закон изменения момента количества движения
- •7.3. Силовое воздействие потока на ограничивающие его стенки
- •8. Лекция №8
- •8.1. Уравнение баланса энергии
- •8.2. Турбулентное течение
- •9. Лекция №9
- •9.1. Подобие гидромеханических процессов
- •9.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема
- •9.3. Роль чисел подобия
- •10. Лекция №10
- •10.1. Одномерные потоки жидкостей и газов
- •10.2. Уравнение д. Бернулли для струйки и потока реальной (вязкой) жидкости
- •10.3. Гидравлические потери (общие сведения)
- •11. Лекция №11
- •11.1. Ламинарное течение в круглых трубах
- •11.2. Течение при больших перепадах давления
- •12. Лекция №12
- •12.1. Потери напора при турбулентном течении в гидравлически гладких круглых трубах
- •12.2. Потери напора при турбулентном течении в шероховатых трубах. График и.И. Никурадзе
- •13. Лекция №13
- •13.1. Местные гидравлические сопротивления
- •13.2. Внезапное расширение русла
- •13.3. Внезапное сужение русла
- •13.4. Местные сопротивления при ламинарном течении
- •14. Лекция №14
- •14.1. Истечение жидкости через отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре
- •14.2. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •15. Лекция №15
- •15.1. Истечение через отверстия и насадки при переменном напоре
- •15.2. Неустановившееся движение жидкости в трубах
- •15.3. Гидравлический удар
- •16. Лекция №16
- •16.1. Расчет простых трубопроводов
- •16.2. Основные задачи по расчету простых трубопроводов
- •16.3. Последовательное соединение простых трубопроводов
- •16.4. Параллельное соединение простых трубопроводов
- •16.5. Разветвлённое соединение простых трубопроводов
- •17. Лекция №17
- •17.1. Расчет сложных трубопроводов
- •17.2. Трубопроводы с насосной подачей жидкости
- •17.3. Основы расчета газопроводов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Гоувпо «Воронежский государственный технический университет»
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
6.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных случаев движения. Баротропные и бароклинные течения
Если во всей области движения , то существует потенциал скорости, т.е.
(6.11)
или
. (6.12)
Тогда уравнение Эйлера в форме Громека примет вид
. (6.13)
Следовательно, выражение в скобках может зависеть только от времени, а от координат не зависит. Интеграл этого уравнения будет
, (6.14)
где определяется из граничных условий. Этот интеграл уравнения Эйлера называется интегралом Коши для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости.
Когда массовые силы являются только силами тяжести, потенциал этих сил принимает вид U = gz, а интеграл Коши
. (6.15)
В уравнении (6.15) имеется два неизвестных ир, поэтому для решения задачи следует воспользоваться уравнением неразрывности
. (6.16)
Подставляя в это уравнение значения проекций скорости, получим
. (6.17)
Уравнение (6.17) является уравнением Лапласа, решая которое можно найти . Подставив значениев уравнение (6.15) и имея в виду, что
, (6.18)
определим давление р. Произвольная функция будет найдена по величинер(t) в некоторой точке.
Если движение стационарно, т.е. , то уравнение (6.15) примет вид
. (6.19)
Этот интеграл уравнений Эйлера называется интегралом Бернулли для потенциального стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости. Постоянная будет одной и той же для всей области потенциального потока.
Из уравнения Бернулли видно, что во всей области безвихревого потока энергия жидкости в единице массы остается постоянной. Первое слагаемое выражения (6.19) является кинетической энергией, второе - потенциальной и третье - работой сил давления.
Умножив все слагаемые уравнения (6.19) на величину плотности, получим интеграл Бернулли в виде суммы слагаемых, имеющих размерность давления
, (6.20)
где р - пьезометрический напор;
- скоростной или динамический напор;
- геометрический напор;
- полный напор.
В соответствии с уравнением (6.20) сумма динамического, пьезометрического и геометрического напоров во всей области потенциального потока остается величиной постоянной.
Разделив обе части уравнения (6.19) на g, получим уравнение Бернулли в виде
. (6.21)
Каждый член, входящий в уравнение (6.21), имеет размерность длины. Величину называют динамической высотой,- пьезометрической иz - геометрической высотой.
Согласно уравнению (6.21) сумма динамической, геометрической и пьезометрической высот во всей области потенциального потока остается величиной постоянной.
При отсутствии массовых сил интеграл Бернулли запишется в виде
(6.22)
или
. (6.23)
Если в уравнении (6.19) скорость V будем считать равной нулю, то получим интеграл уравнения Эйлера для гидростатики
. (6.24)
Для того чтобы проинтегрировать уравнения Эйлера (6.2) вдоль линии тока, проделаем некоторые преобразования. Умножим уравнения (6.2) соответственно на dx, dy, dz
. (6.25)
Затем, сложив почленно и разделив на , получим
. (6.26)
Отдельные слагаемые левой части уравнения, имея в виду стационарность потока, представим в виде
(6.27)
Уравнение (6.26) будет справедливо лишь на линии тока, если между элементами дуги и скоростью будут соблюдаться соотношения
(6.27)
или
. (6.28)
Используя последние равенства, получим
;
(6.29)
так как выражение в скобках представляет собой полный дифференциал. Окончательно левая часть уравнения (6.26) может быть представлена следующим образом
. (6.30)
Тогда, полагая наличие потенциала массовых сил, уравнение (6.26) запишем в виде
(6.31)
или
. (6.32)
При постоянной плотности, что соответствует несжимаемой жидкости, получим
. (6.33)
Интегралом этого уравнения будет
(6.34)
или, имея в виду выражение потенциала сил тяжести, запишем
. (6.35)
Выражение (6.35) называется интегралом или уравнением Бернулли для линии тока.
Уравнение (6.35) тождественно с уравнением Бернулли для потенциального потока. Различие состоит в том, что при потенциальном потоке постоянная С сохраняет свое значение для всей области потока, а при вихревом потоке каждая линия тока имеет свое значение постоянной С. В случае вихревого движения постоянная С сохраняет свое значение и вдоль вихревой линии.
Когда плотность жидкости не постоянна, вид интеграла Бернулли определяется зависимостью плотности жидкости от параметров потока. Наиболее простым с точки зрения математики является движение, при котором плотность есть функция только от давления. Жидкости, плотность которых есть функция давления, называются баротропными. Для баротропных жидкостей плотность равна
. (6.36)
Тогда уравнение (6.32) для стационарного потока при наличии потенциала массовых сил будет
. (6.37)
Если ввести интеграл в виде
, (6.38)
то получим
(6.39)
или
. (6.40)
Последнее выражение есть интеграл Бернулли для баротропного движения.
Интеграл Бернулли для одномерного баротропного движения при отсутствии массовых сил имеет вид
, (6.41)
где Р - так называемая функция давления, значение которой определяется из выражения (6.36) при заданной связи между плотностью и давлением.
Для изотермического процесса функция давления равна
, (6.42)
следовательно, интеграл Бернулли будет иметь вид
. (6.43)
Жидкости, плотность которых есть функция не только давления, но и температуры, называют бароклинными. При течении бароклинных жидкостей их плотность определяется в виде
. (6.44)
Интеграл Бернулли является одним из основных уравнений гидравлики (механики жидкости и газа) и широко применяется в различных своих формах.