- •В.В. Бородкин
- •Введение
- •1. Лекция №1
- •1.1. Предмет гидравлики
- •1.2. Краткие исторические сведения о развитии науки
- •1.3. Физическое строение жидкостей и газов
- •1.4. Основные физические свойства: сжимаемость, текучесть, вязкость, теплоемкость, теплопроводность
- •2. Лекция №2
- •2.1. Гипотеза сплошности
- •2.2. Два режима движения жидкостей и газов
- •2.3. Неньютоновские жидкости
- •2.4. Термические уравнения состояния
- •2.5. Растворимости газов в жидкостях, кипение, кавитация. Смеси
- •3. Лекция №3
- •3.1. Два метода описания движения жидкостей и газов
- •3.2. Понятие о линиях и трубках тока. Ускорение жидкой частицы
- •3.3. Расход элементарной струйки и расход через поверхность
- •3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
- •4. Лекция №4
- •4.1. Массовые и поверхностные силы
- •4.2. Поверхностные силы и напряжения
- •4.3. Напряжения поверхностных сил
- •4.4. Уравнения движения в напряжениях
- •5. Лекция №5
- •5.1. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы
- •5.2. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона
- •5.3. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости
- •6. Лекция №6
- •6.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости. Уравнения Эйлера
- •6.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных случаев движения. Баротропные и бароклинные течения
- •7. Лекция №7
- •7.1. Закон изменения количества движения
- •7.2. Закон изменения момента количества движения
- •7.3. Силовое воздействие потока на ограничивающие его стенки
- •8. Лекция №8
- •8.1. Уравнение баланса энергии
- •8.2. Турбулентное течение
- •9. Лекция №9
- •9.1. Подобие гидромеханических процессов
- •9.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема
- •9.3. Роль чисел подобия
- •10. Лекция №10
- •10.1. Одномерные потоки жидкостей и газов
- •10.2. Уравнение д. Бернулли для струйки и потока реальной (вязкой) жидкости
- •10.3. Гидравлические потери (общие сведения)
- •11. Лекция №11
- •11.1. Ламинарное течение в круглых трубах
- •11.2. Течение при больших перепадах давления
- •12. Лекция №12
- •12.1. Потери напора при турбулентном течении в гидравлически гладких круглых трубах
- •12.2. Потери напора при турбулентном течении в шероховатых трубах. График и.И. Никурадзе
- •13. Лекция №13
- •13.1. Местные гидравлические сопротивления
- •13.2. Внезапное расширение русла
- •13.3. Внезапное сужение русла
- •13.4. Местные сопротивления при ламинарном течении
- •14. Лекция №14
- •14.1. Истечение жидкости через отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре
- •14.2. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •15. Лекция №15
- •15.1. Истечение через отверстия и насадки при переменном напоре
- •15.2. Неустановившееся движение жидкости в трубах
- •15.3. Гидравлический удар
- •16. Лекция №16
- •16.1. Расчет простых трубопроводов
- •16.2. Основные задачи по расчету простых трубопроводов
- •16.3. Последовательное соединение простых трубопроводов
- •16.4. Параллельное соединение простых трубопроводов
- •16.5. Разветвлённое соединение простых трубопроводов
- •17. Лекция №17
- •17.1. Расчет сложных трубопроводов
- •17.2. Трубопроводы с насосной подачей жидкости
- •17.3. Основы расчета газопроводов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Гоувпо «Воронежский государственный технический университет»
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.3. Расход элементарной струйки и расход через поверхность
Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока (струйки) в единицу времени. Под живым сечением, или просто сечением потока, понимают в общем случае поверхность в пределах потока, проведенную нормально к линиям тока.
Это количество можно измерить в единицах объема, в весовых единицах или в единицах массы, в связи с чем различают объемный Q, весовой и массовый расходы. Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площади сечений, можно считать истинную скорость V одинаковой во всех точках каждого сечения. Следовательно, для этой струйки объемный (), весовой () и массовый () расходы будут равны
(3.14)
где dS - площадь сечения струйки.
Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о сплошности (неразрывности) течения и на указанном выше свойстве трубки тока, заключающемся в ее «непроницаемости», для установившегося течения несжимаемой жидкости можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки один и тот же
(вдоль струйки). (3.15)
Это уравнение называется уравнением объемного расхода для элементарной струйки.
В векторном анализе потоком любого вектора а называется интеграл по некоторой поверхности от проекции вектораа на нормаль n в каждой точке поверхности, т.е.
. (3.16)
Соответственно с этим поток вектора скорости определяется величиной, равной
. (3.17)
Поток вектора скорости физически представляет собой объемный расход некоторой жидкости (среды) через поверхность .
Если поверхность замкнутая, то при отсутствии внутри поверхности источников и стоков поток вектора скорости через замкнутую поверхность будет равен нулю
. (3.18)
Для потока конечных размеров скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход надо определять как сумму элементарных расходов струек, т.е.
. (3.19)
Обычно в рассмотрение вводят среднюю по сечению скорость , откуда получаем
(вдоль потока). (3.20)
Для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, будем иметь
(вдоль потока). (3.21)
Уравнение расхода является следствием общего закона сохранения вещества для частных условий, в частности для условий сплошности (неразрывности) течения.
При наличии источника поток вектора скорости будет составлять
, (3.22)
а при наличии стока
. (3.23)
3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
В механике обычно рассматриваются законы сохранения четырех величин: массы, количества движения, момента количества движения и энергии. Все законы сохранения относятся к так называемым изолированным системам. Будем в дальнейшем называть систему изолированной или замкнутой в том случае, если через контрольную поверхность - окружающую систему - нет переноса массы, количества движения и энергии. На изолированную систему не действуют внешние силы.
Закон сохранения массы для изолированной системы выражается в том, что масса m такой системы остается постоянной во все время движения, т.е. количество вещества остается постоянным или
. (3.24)
Общий закон сохранения массы применительно к сплошным средам получает свое выражение в уравнении неразрывности или сплошности движения. Для получения этого уравнения при отсутствии источников или стоков массы применим закон сохранения массы к некоторому элементарному объему , движущемуся вместе со средой, имеющей плотность . Так как
(3.25)
то , (3.26)
или . (3.27)
Относительное изменение объема в данной точке за единицу времени равно дивергенции вектора скорости в данной точке, т.е.
. (3.28)
Тогда уравнение неразрывности движения примет вид
. (3.29)
Если плотность зависит и от времени и от координат, т.е. , то
(3.30)
Подставив это выражение в (3.29), получим другой вид уравнения неразрывности (в проекциях на прямоугольные оси)
(3.31)
или
. (3.32)
Последние слагаемые составляют дивергенцию , поэтому уравнение (3.32) в дифференциальной форме имеет вид
. (3.33)
Для стационарного движения, при котором , уравнение неразрывности примет вид
. (3.34)
При наиболее простом случае движения, когда плотность жидкости постоянна и не зависит от координат и времени, т.е. , уравнение неразрывности будет иметь вид
. (3.35)
Уравнение неразрывности (сплошности) также может быть представлено в интегральной форме в виде
, (3.36)
где S - поверхность, ограничивающая объем .