1.3.2 .Вероятностный подход к описанию

погрешностей

Полным описанием случайной величины, а следовательно и погрешности, является ее закон распределения, которым определяется характер появления различных результатов отдельных измерений. В практике измерений встречаются различные законы распределения, некоторые из которых рассмотрены ниже.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Этот закон является одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей. Объясняется это тем, что во многих случаях погрешность измерения образуется под действием большой совокупности различных, независимых друг от друга причин. На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей результатом действия этих причин будет погрешность, распределенная по нормальному закону при условии, что ни одна из этих причин не является существенно преобладающей.

Нормальный закон распределения погрешностей описывается формулой

 x = (1.1)

где  x - плотность вероятности погрешности x; [x] - среднее квадратическое отклонение погрешности; х_с - систематическая составляющая погрешности.

Вид нормального закона, описываемого выражением (1.1) представлен на рис. 1.4 для двух значений [х]. Так как x=x-х_с, то закон распределения случайной составляющей огрешности  x имеет тот же вид (рис.1.5) и описывается выражением, аналогичным, (1-2), т.е

 x=; (1.2)

где [x] - среднее квадратичное отклонение случайной составляющей погрешности; [x]= [x].

Таким образом, закон распределения погрешности х отличается от закона распределения случайной составляющей погрешности х только сдвигом по оси абсцисс на величину систематической составляющей погрешности х _с.

Из теории вероятностей известно, что площадь под кривой плотности вероятности характеризует вероятность появления погрешности. Из рис.1.5 видно, что вероятность Р появления погрешности в диапазоне  х₁ при ₁[x] больше, чем при ₂[x] (площади, характеризующие эти вероятности, заштрихованы). Полная площадь под кривой распределения всегда равна 1, т.е. полной вероятности. Учитывая это, можно утверждать, что погрешности, абсолютные значения которых превышают [x₁], появляются с вероятностью, равной 1 - Р, которая при ₁[x] меньше, чем при ₂[x]. Следовательно, чем меньше [x], тем реже встречаются большие погрешности, тем точнее выполнены измерения. Таким образом, среднее квадратичное отклонение [x] можно использовать для характеристики точности измерений:

Равномерный закон распределения. Если погрешность измерений с одинаковой вероятностью может принимать любые значения, не выходящие за некоторые границы, то такая погрешность описывается равномерным законом распределения. При этом плотность вероятности погрешности (x) постоянна внутри этих границ и равна нулю вне этих границ. Равномерный закон распределения представлен на рис.1.6. Аналитически он может быть записан так:

x=при -х₁  х  +х₁ (1.3)

 x=0 при х  - х₁ и х  - х₁ (1.4)

С таким законом распределения хорошо согласуется погрешность от трения в опорах электромеханических приборов, не исключенные остатки систематической погрешностей, погрешность дискретности в цифровых приборах и др.

Трапециевидный закон распределения. Это распределение графически изображено на рис.1.7. Погрешность имеет такой закон распределения, если она образуется из двух независимых составляющих, каждая из которых имеет равномерный закон распределения, но ширина интервала равномерным законом различна. Например, при последовательным соединении двух измерительных преобразователей, один из которых имеет погрешность, равномерно распределенную в интервале x₁, а другой - равномерно распределенную в интервале x₂, суммарная погрешность преобразования будет описываться трапециевидным законом распределения.

Треугольный закон распределения (закон Симпсона). Это распределение (см.рис.1.8) является частным случаем трапециевидного, когда составляющие имеют одинаковые равномерные законы распределения.

Двухмодальные законы распределения. В практике измерений встречаются двухмодальные законы распределения, т.е. законы распределения, имеющие два максимума плотности вероятности. В качестве примера на рис.1.9 изображен двухмодальный закон распределения, который может быть в приборах, имеющих погрешность от люфта кинематических механизмов или от гистерезиса при перемагничивании деталей прибора.

Если законы распределения погрешностей неизвестны, то они могут быть установлены на основании статистической обработки опытных данных рис.1.10. Однако экспериментальное определение законов распределения весьма трудоемко, поэтому к нему прибегают лишь при весьма ответственных измерениях.

Иногда закон распределения погрешности принимают, исходя из физического представления о причинах появления погрешностей и анализа составляющих погрешностей измерения. Так, например, если погрешность измерения образуется из пяти и более составляющих, среди которых нет существенно преобладающих, то закон распределения результирующей погрешности обычно принимают нормальным. В противном случае, анализируя составляющие погрешности, принимают для них вид законов распределения и методами теории вероятностей находят закон распределения для результирующей (суммарной) погрешности измерения.

Из сказанного следует, что точный вид закона распределения погрешностей обычно неизвестен. Реальные законы распределения даже в простейших случаях отличаются от теоретических стандартных законов распределения, рассмотренных выше, где они называются стандартными аппроксимациями функций плотности вероятности. Поэтому характеристики погрешности не удается найти точно. Однако практика показывает, что погрешность 10-20% при определении самой погрешности зачастую вполне удовлетворительна.