- •Міністерство освіти і науки україни
- •Перелік скорочень
- •1 Електромагнітне поле і параметри середовища
- •1.2 Заряди і струми – джерела електромагнітного поля
- •1.3 Вектори електромагнітного поля
- •1.4 Класифікація середовищ
- •2 Основні рівняння електромагнетизму
- •2.1 Зведення рівнянь Максвела
- •Таблиця 2.1
- •2.2 Перше рівняння Максвела (узагальнення закону Ампера)
- •2.3 Друге рівняння Максвела (узагальнений закон електромагнітної індукції)
- •2.4 Третє рівняння Максвела (узагальнена теорема Гауса)
- •2.5 Четверте рівняння Максвела: соленоїдальність поля магнітної індукції
- •2.6 Рівняння неперервності
- •2.7 Закон збереження зарядів
- •2.8 Закон Ома в диференційній формі
- •2.9 Резюме до повної системи рівнянь Максвела
- •2.10 Рівняння Максвела і сторонні струми
- •2.11 Гармонічні коливання і комплексні амплітуди
- •2.12 Середні значення
- •2.13 Рівняння Максвела в комплексній формі
- •2.14 Класифікація електромагнітних явищ
- •3 Поля на межі розділу середовищ (граничні умови для векторів електромагнітного поля ,,,)
- •3.1 Поля на межі розділу середовищ
- •3.2 Граничні умови для векторів електричного поля
- •3.3 Граничні умови для векторів магнітного поля
- •Одночасно зникає перший інтеграл в правій частині (3.21), через скінчене значення на поверхні розділу. Другий інтеграл праворуч не знищується. З урахуванням сказаного, можна записати
- •3.4 Повна система граничних умов. Граничні умови на поверхні ідеального провідника
- •4 Локалізація і рух енергії електромагнітного поля
- •4.1 Закон Джоуля-Лєнця і перетворення енергії
- •4.2 Баланс потужностей електромагнітного поля
- •4.3 Енергія електромагнітного поля
- •4.4 Рівняння балансу для середньої за період потужності. Комплексна потужність
- •4.5 Швидкість розповсюдження електромагнітної енергії
- •4.6 Теорема єдиності для внутрішніх і зовнішніх задач електродинаміки
- •4.7 Лема Лоренця
- •4.8 Теорема взаємності
- •4.9 Переставна двоїстість рівнянь Максвела
- •4.10 Принцип суперпозиції
- •Перелік посилань
3.2 Граничні умови для векторів електричного поля
А. Нормальні складові. Вектор електричної індукції підлягає наступній граничній умові:
, або . (3.3)
Вираз (3.3) показує, що при переході з одного середовища в інше, нормальна компонента вектора має стрибок, який дорівнює поверхневій густині заряду , розподіленого вздовж межі розділу. Якщо, то нормальна компонента вектора залишається неперервною при переході з одного середовища в інше:
при , (3.4)
де іпроекції векторів і на нормаль .
Вивід. Доведення будується на застосуванні третього рівняння Максвела в інтегральній формі. На поверхні розділу двох середовищ з параметрами івиділимо достатньо малий елемент(рис. 3.3), щоб його можна було вважати плоским. Побудуємо на елементіпрямий циліндр висотоютак, щоб його основи були в різних середовищах. Через малі розміри циліндра поле на його основах можна вважати однорідним: . Зовнішня нормаль до верхньої основи напрямлена по , а до нижньої – протилежно. Поверхню циліндра можна представити у вигляді, деі– площі верхньої і нижньої основи, а– бокова поверхня. Тоді рівняння Максвела можна переписати
(3.5)
де
Спрямуємо висоту циліндра до нуля так, щоб його основи залишалися в різних середовищах. При цьому в границіізбігаються з. Через те, що елементв (3.5) збігається за напрямком з зовнішньою нормаллю до поверхні, то в результаті граничного переходу, отримаємо:
, (3.6)
де і – значення вектора на межі розділу в першому і другому середовищі відповідно.
В (3.6) при зник потік через, а також стає рівним нулю об’єм, то зникає і та частина заряду, яка могла б бути розподілена в ньому, тобто залишається тільки заряд, який зосереджений на межі розділу. Якщо розділити обидві частини рівності (3.6) на, отримаємо
,
або
.
Бачимо, що ця рівність повністю співпадає з (3.3).
Якщо в (3.3) виразити ічерезіза допомогою рівності, отримаємо граничну умову для нормальних компонент вектора :
(3.7)
Якщо , то
(3.8)
Б. Дотичні тангенціальні складові. Для дотичних складових вектора гранична умова має вигляд
, або . (3.9)
Рівність (3.9) показує, що дотичні складові вектора при переході через межу розділу двох середовищ неперервна. Напрямок орту може змінюватися (рис. 3.1), тому більш зручно зробити запис через орт , через те, що його напрямок вибирається однозначно, тоді
. (3.10)
Вивід. Геометрія задачі: перетнемо межову поверхню S площиною Р, яка проходить через нормаль до S (рис. 3.4).
На лінії перетину поверхні розділу і площини Р виділимо достатньо малий відрізок так, щоб точка, яка розглядається знаходилась в середині цього відрізка. Розміриповинні бути такими, щоб його можна було вважати прямолінійним.
На відрізку побудуємо прямокутний контур ABCD висоти, щоб він знаходився в обох середовищах.
Проведемо додатковий орт перпендикулярний до площини Р і одиничну дотичну до відрізка. Всі три орта ,,зв'язані співвідношенням
, (3.11)
і складають праву трійку векторів.
Вивід базується на застосуванні другого рівняння Максвела в інтегральній формі, причому в якості контуру в ньому, вибираємо контур ABCD. Через його малі розміри, поле на сторонах АВ і СD можна вважати однорідним: . Напрямок обходу контуру беремо як вказане на рис. 3.4. Тому можна записати
, (3.12)
де – площа, яка охоплюється контуром.
В границі при сторони AB і CD збігаються на межі S з; при цьому:і права частина (3.12) зникають. Відкидаючи спільний множник, формально приходимо до (3.9)
.
Ця рівність справедлива для будь-якого напрямку на S.
Щоб отримати граничні умови в формі (3.10) замінимо в (3.10) через, а потім врахувавши властивість змішаного добутку векторів, отримаємо:
.
Через те, що орт , який задає орієнтацію площини Р являється невизначеним, отримаємо
,
що співпадає з (3.10).
Дотична складова вектору , навпаки, має розрив, величина, якого складає відношення діелектричних проникностей середовищ
. (3.13)
Виведені граничні умови показують, що вектори і на межі розділу заломлюються. Проілюструємо це на прикладі (рис. 3.5). Позначимо кути між нормаллю до поверхні розділу і векторами і відповідно через і. Через те, що, а, то використовуючи граничні умови (3.9) і (3.8), отримуємо, що при відсутності поверхневих зарядів на межі розділу справедливе наступне співвідношення:
(3.14)
В ізотропних середовищах вектори і напрямлені однаково. Тому (3.14) справедливо для вектору .