2.5 Четверте рівняння Максвела: соленоїдальність поля магнітної індукції

Це рівняння в інтегральній формі співпадає з законом Гауса для магнітного поля, яке формулюється так: потік вектора через будь-яку замкнену поверхнюдорівнює нулю (рис. 2.5):

. (2.31)

Це означає, що не існує ліній вектора , які тільки входять або тільки виходять з поверхні: вони завжди пронизують її, або замкнені (рис. 2.5, а, б).

Рівняння (2.31) – це четверте рівняння Максвела в інтегральній формі.

Диференційна форма. Застосувавши результат теореми Остроградського-Гауса до (2.31), отримуємо

. (2.32)

Рівняння (2.32) показує, що в природі не існує магнітних зарядів і що лінії вектора (силові лінії магнітного поля) являються неперервними. Векторні поля без джерел, тобто з нульовою дивергенцією, називаютьсясоленоїдальними.

2.6 Рівняння неперервності

Рівняння неперервності можна отримати з першого рівняння Максвела. Застосувавши операцію дивергенції до кожної з двох частин рівняння (2.13), отримуємо

.

Через те, що , то ліва частина цього рівняння дорівнює нулю. Змінивши порядок диференціювання по координатам і за часом в правій частині рівняння і урахував, що, отримуєморівняння неперервності

. (2.33)

Існує друга форма запису цього рівняння. В правій частині першого рівняння Максвела (2.13) стоїть сума густин струму провідності і струму зміщення, тобто густина повного струму:

.

З урахуванням цього зауваження можна записати, що

. (2.34)

Рівність нулю дивергенції якого-небудь вектора означає неперервність ліній цього вектора. Таким чином, лінії густини повного струму неперервні, а лінії густини струмів провідності і зміщення можуть мати початок і кінець.

2.7 Закон збереження зарядів

Інтегральна форма. Закон неперервності тісно пов’язаний з законом збереження зарядів: ні при яких умовах електричні заряди не можуть спонтанно зароджуватися, або зникати. Проінтегруємо по об’єму рівняння неперервності (2.34)

. (2.35)

Застосовуючи теорему Остроградського-Гауса до лівої частини рівності (2.35), а в правій частині змінюючи порядок інтегрування і диференціювання приходимо до рівняння

. (2.36)

Рівняння (2.36) представляє собою закон збереження зарядів в інтегральній формі.

Враховуючи, що в (2.36)

а ,

то (2.36) приймає диференційну форму

. (2.37)

Із рівняння (2.37) слідує, що для будь-якій зміни величини заряду , розподіленого в деякій області, відповідає струм, що втікає (якщо струмвід’ємний, тобто зарядзменшується), або що витікає (якщо струмпозитивний, тобто заряд зменшується) з неї.

2.8 Закон Ома в диференційній формі

Закон виражає залежність густини струму провідності в який-небудь точці провідного середовища від напруженості електричного поляв цій точці. Перехід від звичайного закону Ома до диференційної форми можна зробити таким чином. В провіднику виділяється достатньо малий циліндр довжиноюі поперечним перерізом. Векторперпендикулярний торцям циліндру. Лінії струму паралельні осі циліндра. Розміри циліндра вибирають такими, щоб густина струму провідності, була незміною, тобто незалежною від координати (рис. 2.6).

Згідно з законом Ома струм уздовж осі циліндра дорівнює

. (2.38)

Опір визначається із геометрії циліндра і через питому провідністьречовини провідника, по формулі, відомої з фізики

, (2.39)

де – поперечний переріз циліндра;

– довжина твірної циліндра.

Напругу між торцями циліндра представимо у вигляді

. (2.40)

Підставляючи (2.40) і (2.39) в (2.38), отримуємо

.

Розділивши обидві частини цього рівняння на , приходимо до співвідношення

,

яке можна представити у векторній формі

. (2.41)

Рівняння (2.41) прийнято називати законом Ома в диференційній формі. В ізотропних середовищах  – скаляр, а в анізотропних – тензор.