3.3 Граничні умови для векторів магнітного поля

В. Нормальні складові. Нормальні складові вектору магнітної індукції завжди неперервні:

, . (3.15)

Вивід. Взявши за основу четверте рівняння Максвела в інтегральній формі і скориставшись методикою і відповідною геометрією граничних умов для нормальних компонент електричного поля (рис. 3.3) можна записати

, (3.16)

де – потік вектору через бічну поверхню циліндра.

При , і вважаючи розподіл нормальних компонент вектора рівномірним у межах площини, отримаємо:

. (3.17)

Розділивши обидві частини рівності (3.17) на , маємо

, або .

У випадку вектору напруженості магнітного поля граничні умови для нормальних компонент записуються, використовуючи матеріальне рівняння

. (3.18)

Це означає, що на межі розділу, нормальні компоненти напруженості магнітного поля мають розрив, величина якого визначається відношенням магнітних проникностей.

Г. Дотичні складові. Граничні умови для дотичних складових вектору виводяться аналогічно як це робилося для дотичних складових електричного вектору (рис. 3.4).

Дотична складова вектору неперервна тільки при відсутності на межі розділу середовищ поверхневих струмів, а в загальному випадку справедлива гранична умова

, або . (3.19)

Частіше застосовується еквівалентна гранична умова

. (3.20)

Висновок.Виходячи з першого рівняння Максвела в інтегральній формі, можна записати

, (3.21)

де – вклад бічних ділянок контуру BC і DA в циркуляцію вектора , який зникає при .

Одночасно зникає перший інтеграл в правій частині (3.21), через скінчене значення на поверхні розділу. Другий інтеграл праворуч не знищується. З урахуванням сказаного, можна записати

, (3.22)

де – орт до додаткової поверхні Р.

Розглянемо інтеграл в правій частині (3.22). Вектор в ньому являється вектором об'ємної густини струму провідності, який визначається співвідношенням

. (3.23)

При , струми будуть розподілені по поверхні у вигляді тонкого шару. Такі струми називаються поверхневими (рис. 3.6). Густина поверхневих струмів визначається співвідношенням

,

де – одиничний вектор, який вказує напрямок руху зарядів в даній точці.

–перетинаючий струмом відрізок лінії, перпендикулярний вектору .

Звідки

. (3.24)

З рисунку 3.4 видно, що найбільшу величину зміни дотична складова буде мати в напрямку перпендикулярному до вектору густини поверхневого струму, тобто при співпаданні одиничних векторів і .

Тоді з урахуванням цього зауваження (3.24) можна записати . (3.25)

Вважаючи розподілення густини поверхневого струму на відрізку рівномірним і використовуючи (3.23) і (3.24), перетворимо праву частину рівності (3.22) наступним чином:

. (3.26)Підставивши (3.26) в (3.22) і скоротивши на спільний множник , отримаємо

, або ,

де – проекція на напрямок .

Щоб отримати співвідношення (3.20) необхідно замінити і скористатися властивістю змішаного добутку векторів. В результаті маємо

,

Через те, що орт , який задає орієнтацію площини Р, являється невизначеним, то це співвідношення має кінцевий вигляд що повністю співпадає з (3.20)

Дотичні складові вектору магнітної індукції будуть розривні на межі розділу

. (3.27)