M01486_Вышка_2_семестр

11

22.

= x i − y

+ yz2

, S : x = −1, x =1, y = 0, y =1, z = 0, z =1

a

j

k

23.

= 2x i − y

+(x + z)

, S : x −3y + z = 3, x = 0, y = 0, z = 0

a

j

k

24.

= (x − z) i +5z2

+(x + y)

, S : (x −1)2 + y2 +(z + 2)2 = 4

a

j

k

25.a = xz i − z j +(x + y)k , S : (x −2)2 + y2 = 2, z =1, z = 4

26.a = xyz i − xyk , S : x = −2, x =1, y = −1, y = 0, z =1, z = 3

27.a = 2x i − y j + zk , S : x −3y +3z = 6, x = 0, y = 0, z = 0

28.a = 2 yz i −3y j +(x + z)k , S : (x −2)2 +(y −5)2 + z 2 = 9

29.a = 2x2 i − xy j +(x + y)k , S : y2 +(z +1)2 = 4, x = −1, x = 3

30. a = y2 z j + xk , S : x = −2, x = 0, y = 0, y =1, z = 0, z = 2

5. Застосувавши формулу Стокса, знайти циркуляцію векторного

поля F по замкненому контуру трикутника, який утворюється в

наслідок перетинів координатних площин з площиною P (нормаль до трикутника спрямована від початку координат).

	1.								= (3x; x + y; x − z),	P : −2x + 2 y + z =1
			F
2.							= (3x −2; y − x − z; 4z),			P : 2x + 2 y − z = −1
		F
3.							= (2x +1; x + z; y + z),			P : 2x − y + 2z = 2
		F
4.							= (x + z; z − x; 2 + 2 y + z),			P : −2x + y + 2z = −2
		F
5.						= (x + 2z; y + 2z; x −2 y),				P : 2x + y −2z = 3
		F
6.						= (x + z; 2 y; x + y − z),				P : x −2 y + 2z = −3
		F
7.							= (3x − y; 2x + z; 2z − x) ,			P : − x + 2 y + 2z = 4
		F
8.						= (2 y + z; x − y; −2z),				P : x + 2 y −2z = −4
		F
9.						= (x + y;3y +1; y − z) ,				P : x + 2 y −2z =1
		F
10.									= (x + y − z; −2 y +1; x + 2z),	P : −2x + 2 y + z = −1
				F

				12
11.			= (y − z; 2x + y; z +1),	P : 2x + 2 y − z = 2
	F
12.			= (x; y −2z; 2x − y + 2z),	P : 2x − y + 2z = −2
	F
13.			= (x + 2z; y −3z; z) ,	P : −2x + y + 2z = 3
	F
14.			= (4x; x − y − z; 3y + z),	P : 2x + y −2z = −3
	F
15.		= (2z − x; x + 2 y; 3z),		P : x −2 y + 2z = 4
	F
16.			= (4z; x − y − z; 3y + z),	P : − x + 2 y + 2z = −4
	F
17.			= (x + y; y + z; 2x + 2z),	P : x + 2 y −2z =1
	F
18.		= (x + y + z; 2z; y −6z),		P : x + 2 y −2z = −1
	F
19.		= (2x − z; y − x; x + 2z),		P : −2x + 2 y + z = 2
	F
20.			= (2 y − z; x + y; x) ,	P : 2x + 2 y − z = −2
	F
21.		= (2z − x; x −2 y; 3x + z),		P : 2x − y + 2z = 3
	F
22.			= (x + z; x +3y; y),	P : −2x + y + 2z = −3
	F
23.			= (x + z; 2z; 2x − y),	P : 2x + y −2z = 4
	F
24.			= (3x +3y; x + z; 2 y) ,	P : x −2 y + 2z = −4
	F
25.			= (y + z; 2x − z; y +3z),	P : − x + 2 y + 2z =1
	F
26.			= (y + z; x +6 y; y),	P : x + 2 y −2z = −1
	F
27.			= (2 y − z; x +3y; y),	P : x + 2 y −2z = 2
	F
28.			= (y + z; x; y −2z),	P : −2x + 2 y + z = −2
	F
29.			= (x + z;3z; 2x − y),	P : 2x + 2 y − z = 3
	F
30.		= (2z; x + y; y −3z) ,		P : 2x − y + 2z = −3
	F

6. Довести, що поле a є потенціальним та знайти його потенціал.

1. a = (2xy; x2 + 2 yz; y2 ), 2. a = (y2 z3; 2xyz3;3xy2 z 2 ),

13

					1
3.	a	=					;
						2
			1		+ x + y + z

1				2z
		;					,
	2				2
1 + x + y + z			1 + x + y + z

4.

= (e y ;(x + z)e y ; e y ),

5.

= (yexy ; xexy ;3z 2 ),

a

a

1

1

x

y

x

6.

a

=

;

−

;−

,

7. a =

; z2 ; 2 yz ,

2

2

y z

y

z

1 + x2

2x

8. a = (yx y−1; x y ln x + 2z; 2 y),

9. a =

; z; y

,

+ x2

1

1

10.

a =

; z2 ; 2 yz ,

11. a = (2 y3; 6xy2 + 2 yz; y2 ),

+ x

2

1

12.

= (10xyz2 ;5x2 z 2 ;10x2 yz),

a

1

1

14. a = (yex ; e x

+ ze y ; e y ),

13.

a =

;

; 2z

,

+ x

+ y 1 + x + y

1

1

x + y

15.

a = (yzexyz + 2x; xzexyz ; xyexyz ), 16. a =

1

;

;−

,

z

z2

z

17.

a =

2xz;

y

; x2

,

18.

= (4x; z y ln z; yz y −1 ),

a

2

1 + y

2 y

1

19.

a

=

yz;

+ xz; xy

,

20.

a

= 2xz;

; x

2 ,

2

2

1

+ y

1 + y

21.

= (y2 (z + 1); 2xy(z + 1); xy2 ),

22.

= (yz4 ; xz4 ; 4xyz3 ),

a

a

1

24. a = (e y + e z

; xe y ; xez ),

23.

a =

; z2 ; 2 yz ,

+ x

1

y

x

xy

25. a = (yexy

+ z; xexy ; x),

26. a =

;

;−

,

z

z

z2

					z
27.	a = y; x;					2		,
				1 + z
					1
29.	a = yz; xz;						+ xy		,
					1 + z 2

14

28. a = (zx z

2 30. a = y

−1; 2 y; x z ln x),

		2z
	; 2xy;		.
		1 + z 2

2 . ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

2.1Диференціальні рівняння 1-го порядку

2.1.1Аудиторне заняття

1.Довести, що надані функції задовольняють відповідним диференціальним рівнянням.

1)y = x(ln x2 +C); xy′− y = 2x

2) y

2

− x

2

′

2

+ y

2

)− 2xy = 0

− 2 y = 0; y (x

(x +1)4

2

2

3

3) y =

+ (x +1)

;

y′−

y = (x +1)

2

x +1

2.Розв′язати диференціальні рівняння першого порядку (ДР-1)

звідокремлюваними змінними

1)

(xy2 + x)dx + (y − x2 y)dy = 0 ;

Відповідь: 1 + y2 = C(1 − x2 )

′

2

1

2)

y

= y

cos x ;

Відповідь:

y = C −sin x

3)

xy′ =

y

, y(e) =1;

Відповідь:

y = ln x

ln x

4)

′

π

=1 ;

Відповідь:

y = 2 sin x −1

y tgx − y

=1, y

2

5)

(1 + x2 )y′+ y 1 + x2 = xy ;

Відповідь:

yC =

1 + x2

x +

1 + x2

15

6) y

′

+sin

x + y

= sin

x

− y

, y(0) =π

Відповідь: y = 4arctg e

−2sin x 2

2

2

3. Розв′язати однорідні ДР-1

1)

(x2 − y2 )dy − 2 yxdx = 0 ;

Відповідь: x2 + y2 = Cy

2)

(y4 − 2x3 y)dx + (x4 − 2xy3 )dy = 0; Відповідь: x3 + y3 = Cxy

3)

2x2 y′− 4xy − y2 = 0; y(1) =1

Відповідь: 2x2 + xy −3y = 0

′

y

4x

4)

xy

− y

+ xtg x

= 0;

Відповідь: y = ln x +C

5)

(y2 −3x2 )dy + 2xydx = 0, y(0) =1

Відповідь: y2 − x2

= y3

y

y

2

2

′

Відповідь: yarctg x = x ln(C y

+ x )

6)

(xy

− y)arctg x = x;

4. . Розв′язати лінійні ДР-1.

1)

y′+ y = x + 2 ;

Відповідь: y = Ce−x + x +1

2)

(x + y)y′ =1, y(−1) = 0

Відповідь: y = −(x +1)

′

2x

Відповідь: y =

x2 +C

3)

y

− ytgx = cos x

cos x

4)

y′cos x + y sin x =1, y(0) =1

Відповідь: y = cos x + sin x

5)

(1 − x2 )y′− y = (1 − x)(1 + x)2 ;

1 − x2 +C)

Відповідь: y =

1

1 + x

(arcsin x + x

2

1 − x

6)

y′ = 3x2 y + x5 + x2 , y(0) =1

Відповідь: y = 5 ex3 −

1 (x3 + 2)

3

3

5. Розв′язати ДР-1 Бернуллі.

16

1)

x

2

(x −1)y

′

− y

2

− x(x − 2)y = 0;

Відповідь: y =

x2

1 +C(x −1)

2)

yy′+ y2 + 4x(x +1) = 0 ;

Відповідь: y2 + 4x2

= Ce−2 x

3)

xy′− 4 y = x2

y , y(1) =1;

Відповідь: y = x4 (ln

x +1)2

′

2

1

4)

y

− ytgx + y

cos x = 0

Відповідь: y = (x +C)cos x

5)

xy′+ y − y 2 ln x, y(1) =1;

Відповідь: y(ln x +1) =1

y′

y

2

6)

+

+ y

= 0

x +1

Відповідь: y =

1

(x +1)(C + ln

x +1

)

6. Розв′язати ДР-1 в повних диференціалах.

1)

2xydx + x2dy = 0;

Відповідь: x2 y = C

2)

x3dx + (ydx + xdy − ydy) = 0;

Відповідь:

x

+ xy −

y2

= C

4

2

3)

(y3 − 2xy)dx + (3xy2 − x2 )dy = 0;

Відповідь: y3 x − x2 y = C

4)

x(x + 2 y)dx + (x2 − y2 )dy = 0

Відповідь: x3 + 3x2 y − y3 = C

5) (2xy + 2 y2 −9x2 )dx + (x2 + 4xy)dy = 0;

Відповідь: x2 y + 2xy2 −3x3 = C

6) (x2 − 4xy − 2 y2 )dx + (y2 − 4xy − 2x2 )dy = 0;

17

Відповідь: (x + y)(x2 −7xy + y2 )= C

7. Розв′язати задачі.

1) Знайти криву, яка проходить через точку М( 1; 3) і для якої відрізок дотичної між точкою дотику та віссю Ох ділиться навпіл у точці

перетину з віссю Оу. Відповідь: y2 = 9x .

2) Знайти криву, яка проходить через точку М (0; 3) , за умови, що кутовий коефіцієнт дотичної у довільній її точці дорівнює ординаті цієї точки, що зменшена на дві одиниці. Відповідь: y = ex + 2

3) Знайти криву, яка проходить через точку М (1; 1) за умови, що відстань від початку координат до будь-якої її дотичної дорівнює

абсцисі точки дотику. Відповідь: (x −1)2 + y2 =1

4) Знайти криву, яка проходить через точку М ( 1; 2) . Кожна дотична до цієї кривої перитинає пряму у=1 в точці з абсцисою, що дорівнює

подвоєнній абсцисі точки дотику. Відповідь: y =1 + 1x .

5) Знайти криву, яка проходить через точку М (0; 1) і має властивість, що у кожній її точці тангенс кута дотичної до цієї кривої дорівнює

подвоєному добутку координат точки дотику. Відповідь: y = ex2 .

18

Індивідуальні завдання.

З′ясувати тип диференціальних рівнянь першого порядку. Знайти загальні, або частинні розв′язки.

Варіант 1.

1.e y (1 + x2 )dy −2x(1 +e y )dx = 0

2.x ln yy′ = x3 y, y(0) = e

y

y

3.

x − y cos

dx + x cos

dy = 0

x

x

4.

ydx + 2(

xy − x)dy = 0, y(1) =1

5.

y′+ y = 3x

, y(0) = 0

6.

y′−3y = e−2 x

y

1

3

3

7.

y′+

= −

(x +1)

y

x +1

2

8. 2(y′+ xy) = (x −1)ex y2 , y(0) = 2

9. 2xdx + y2 −3x2 dy = 0 y3 y4

10. Крива проходить через точку М (0 ; 2). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої, дорівнює ординаті цієї точки, збільшеній в 3 рази. Знайти рівняння кривої.

Варіант 2.

1.	2xy2 dx − ydy = yx2 dy −6xdx
2.	x3 y′+ y = 7, y(1) = 5
3.	x(x + 2 y)dy +(x2 − y2 )dy = 0
		′		−	y		y
					x
4.	y		= e			+ x , y(1) = 0

19

5.y′+ y = ln(ex +1)

6.y′− 1x y = x2 , y(1) = 0,5

		′	1
	7. 8xy		− y = − y3 x +1

8. 2(xy′+ y) = y2 ln x, y(1) = 2

9.(y3 − 2xy)dx + (3xy2 − x2 )dy = 0

10.Крива проходить через точку А (4 ; 1). Відрізок, який дотична в

будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 3.

1.ye2 x dx +(1 +e2 x )dy = 0

2.(2xy + y)y′ = 3 − y2 , y(0) = 2

3.xy′ = 2 3x2 + y2 + y

	x		x		x
4. 1 +e y dx +e y 1 −						dy = 0, y(1) =1
					y

5.y′− x2x+1 y = (x2 +1)32

6.y′+ 1x y = ex2 , y(1) = 2e

7.yy′−4x − y2 x = 0

						2	1
8. y	′	− xy + y	3	e	−x		= 0, y(0) =
								2

9.x(x + 2 y)dx + (x2 − y2 )dy = 0

10.Крива проходить через точку В (2 ; 3). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

20

Варіант 4

1.

3extgydx + (1 −ex )

dy

= 0

cos2 x

2.

xy′+ y = y2 , y(1) = 0,5

3.

x cos

y

(ydx + xdy) = y sin

y

(xdy − ydx)

x

x

4.

xdy = (y +

x2 + y2 )dx,

y(1) = 0

5.

y′− ytgx = sin 2 x

1

1

y(1) = ln 2

6.

y′+

y =

,

x

x2 +1

7.

(y ln x −2)ydx = xdy

8.

y′+ xy = x3 y3 , y(0) =1

9.(x2 + 2xy + 4)dx + (x2 + y2 − 4)dy = 0

10.Крива проходить через точку D(0 ; 4). Довжина відрізка, який

відтинає на осі ординат нормаль, що проведена в будь-якій точці кривої, дорівнює відстані від цієї точки до початку координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 5.

1.

xdy = (

1 − x +

x )dx

(1 −e

x

)sin yy

′

x

3

π

2.

= e

cos

y, y(0) = 4

3.

xdy = (y +

y2 −4x2 )dx

y′ =

y

y

, y(e) =1

4.

ln

x

x

y

′

y

1

5.

+ cos2 x

= 1 −sin 2 x