M01486_Вышка_2_семестр

51

5)yy′′−4 = −y′2 , y(0) =1, y′(0) = 3

2. 1)	y1 = x2 ,	y2 = cos x
2)	k1 = 0,	k2 = 7

3)4 y′′−8y′+5y = 0

4)y′′−5 y′+6 y = 0, y(0) =1, y′(0) = 2

3.	1)		′′		1
		y		+ y = sin x

2)а) λ1 = −1, λ2 = 2 , f (x) = ae−x

б) λ =1 +9i, λ		2	=1 −9i , f (x) = ex (ax +b)
1
в) λ1 = 2,	λ2 = 2 , f (x) = Asin 2x + B cos 2x

3)а) y′′+5 y′−14 y = e2 x (2x2 −3x +1)

б) 7 y′′− y′ =14x

в) y

′′

′

+ 4 y = sin x, y(0) = y (0) =1

г) y

′′

− y

′

= 2x ,

′

y(0) = 0, y (0) = 2

д) y′′+16 y =16 cos 4x −16e4 x

dy

= 4 y − z

dy

= 2 y

+ 4z +cos x

dx

dx

4.

а)

б)

dz

dz

= y + 2z

= −y

−2z +sin x

dx

dx

Варіант10 .

1.

1)

y′′ = sin 2x + e−x

2)

2

′′

′

′

(1 + x )y

+ 2xy

+ 2 = 0, y(0) = y (0) =1

3)(1 +sin x)y′′ = y′cos x

4)y′′ = 32 y3 , y(4) =1, y′(4) = 4

										52
5)				′	2		′ 3	ln y
	y	′′	+	(y )	−		(y )			= 0
				y			y
2. 1)	y1 = e−2 x ,					y2 = xe−2 x
2)	k1 = 9 −i, k2 = 9 +i

3)y′′+18y′+81y = 0

4)	y	′′	+ 2 y	′	+10 y =					′
									0, y(0) = 2 y (0) =1
3. 1)	y	′′	+ 2 y	′	+ y =			e−x
2)								x		= 3 + 4i , f (x) = (ax +b)e3x
	а) λ = 3 −4i, λ								2
			1
	б) λ = 0, λ					2	= 7 , f (x) = ax4 +bx3 +cx2 + dx + k
			1				= −8i f (x) = Acos8x + B sin 8x
	в) λ1 = 8i				λ2

3)а) y′′− y′ = 6x2 +3x

б) y′′+ y = 2 cos 4x +3sin 4x

в) y

′′

+ 4 y

′

′

−12 y = 8sin 2x, y(0) = y (0) = 0

г) y

′′

−2 y

′

+ y =16e

x

,

y(0) =

′

1, y (0) = 2

д) y′′+36 y = 24 sin 6x +36e6 x

dx

= −x

−5 y

dx

= 5x −3y +

2e

3x

dt

dt

4.

а)

б)

dy

dy

−t

= −7x −3y

= x + y +5e

dt

dt

Варіант 11 .

1.

1)

1

x

y′′ =

+5

2)

x

2

xy

′′

+ y

′

−

′

3x = 0, y(1) = y

(1) =1

3)

′′

5x = 5y

′

y tg

53

4)(y′′)2 = y′

5)( y′′)2 = y′

2. 1)	y1 = e2 x ,			y2 = e4 x
2)	k = 0,	k	2	=	17
	1			3

3)y′′−6 y′+34 y = 0

4)y′′−2 y′ = 0, y(0) = y′(0) = 2

3.1) y′′+ 4 y = tg2x

2)а) λ1 = 8 +5i, λ2 = 8 −5i , f (x) = Ae8x

б) λ1 = 4, λ2 = 3 , f (x) = e3x (ax2 +bx +c)

в) λ1 = −5i, λ2 = 5i , f (x) = Acos 5x

3)а) y′′− y′− y = (3x +7)e2 x

б) y′′+ y′ = 49 −2x2

в) y

′′

−4 y

′

+13y = 26x +5,

′

y(0) =1, y (0) = 0

г) y

′′

+5 y

′

+6 y =12 cos 2x ,

y(0)

′

=1, y (0) = 3

д) y′′+ y′ = ex + e−x

dx

= −7x +5 y

dx

= y +e

t

dt

dt

4. а)

б)

dy

t

= 4x −8 y

dy

= x −e

dt

dt

Варіант 12.

1.1) y′′ = cos 2x − 4

2)xy′′ln x = y′+1, y(e) = −e, y′(e) = 0

3)x4 y′′+ x3 y′ =1

4)y′(1 + y′2 )= 2 y′′

54

5)

2.1)

2)

3)

4)

3.1)

2)

3)

y

′′

′ 2

=

2e

−y

y(0)

′

+(y )

= 0, y (0) = 2

y1 = cos 3x,

y2

= sin 3x

k1 = 3 +9i, k2 = 3 −9i

y′′+3y = 0

y

′′

+

3y

′

+

′

2 y = 0, y(0) =1, y (0) = −1

y′′+ 2 y′+ y = 3e−x

x +1

а)

λ =

3

,

λ

2

=

1

, f (x) = (ax3 +bx2 +cx + d )ex / 4

1

4

4

б) λ = 2, λ

2

= 0 , f (x) = Ae3x

1

7 +i , f (x) = Asin 2x + B cos 2x

в) λ1 =

7 −i,

λ2 =

а)

y′′−3y′−10 y = sin x +3cos x

б) 5 y′′−6 y′+5 y =13e2 x

в) y

′′

−

4 y

′

= 6x

2

+1,

′

y(0) = 2, y (0) = 3

г) y

′′

+

6 y

′

′

+9 y =10sin x , y(0) = y (0) = 0

д) y′′+ 4 y = ex +1

dx

= −5x −8 y

dy

= sin x −2 y − z

dt

dx

4.

а)

б)

dy

dz

= −3x −3y

= cos x + 4 y + 2z

dt

dx

Варіант13.

1.

1)

y′′ =

1

+1

2)

x

1

xy

′′

+ y

′

+ x = 0, y(1) =

′

2 , y (1) = 0

55

3)y′′+ 2xy′2 = 0

4)y y′′ = y′(y′−1)

5)		′′	3	y(1) =	π	′
	y		= 50 sin y cos y,
					2 , y (1) = 5

2.1)

2)

3)

4)

3.1)

2)

3)

4.а)

y = xe−2 x ,

y

2

= e−2 x

1

k1 = 13 −2i, k2 = 13 + 2i

y′′+ 49 y′ = 0

4 y

′′

−7 y

′

+ 4 y = 0, y(0) =

′

1, y (0) = −1

y′′+ y = tgx

=11 , f (x) = Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx + E

а)

λ = 7, λ

2

1

1

б) λ1

= −

,

λ2 = 0 , f (x ) = A sin

x

+ B cos

x

2

2

2

в)

λ = 3, λ

2

= 3 , f (x) = e3x (Ax + B)

1

а) y′′+ 4 y′+ 4 y = 8e−2 x

б)

y′′+ 2 y′+ y = 2 cos x

в) y

′′

+3y

′

=

3(2 − x

2

),

y(0)

′

= y (0) =1

г) y

′′

′

+64 y = 2 sin 8x + cos8x , y(0) = y (0) = 0

д)

y′′−4 y′+5 y =1+cos2 x

dx

+ 4x +6 y = 0

dx

= x + y −t

2

+t −2

dt

dt

б)

dy

dy

2

+ 4x + 2 y = 0

= −2x + 4 y + 2t −4t +7

dt

dt

	Варіант 14.
1. 1)	y	′′			x			1
2)			= 4				+ ex
	xy		′′	− y		′		2	′
							= x , y(1) = 2, y (1) = 0

56

3)y′′= − yx′

4)2 yy′′ = (y′)2

5)	y	′′	=18sin	3	y cos y, y(1)	=	π	′
2. 1)							2 , y (1) = 3
	y1 = xex ,				y2 = x4
2)	k1 = 3 +i			11, k2 = 3 −i		11

3)3y′′−5y′+ 2 = 0

	4)	2 y′′+ 4 y′+1					π			π			=1
						= 0, y		2		= 0, y′	2
3.	1)				1
			′′
		y		+ y = cos x

2)а) λ1 = −7, λ2 = 0 , f (x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + k

б) λ = 2 − 5i, λ		2	= 2 + 5i , f (x) = e 5x (ax +b)
1
в) λ1 = −13i,	λ2 =13i , f (x) = Asin x + B cos x

3)а) y′′+5 y′+6 y =10(1 −ex )e−2 x

б) y′′+121y =11sin x

в) y

′′

−4 y

′

= 32 −384x

2

,

′

y(0) = 2, y (0) = −2

г) y′′+ 2 y′+ y = −2sin x,

π

π

= 0

y

2

= y′

2

д) y′′+9 y = −18sin 3x −18e

3x

,

π

π

= 0

y =

= y′

2

2

dy

= y + z

dy

+3y + 4z = 2x

dx

dx

4. а)

б)

dz

dz

= −10 y − z

− y − z

= x

dx

dx

57

Варіант 15.

1.1) y′′ = sin x + 1

2)(1 + x2 )y′′+ 2xy′+ 2x = 0, y′(0) = y(0) =1

3)(1 + cos 2x)y′′ = −2 y′ sin 2x

4)	y′′		2		y′		2	= 0, y(0) = 0, y′(0) =1
			+
				1 − y
5)	y	′′	=128y		3	, y(0)			′
									=1, y (0) = 8
2. 1)	y1 = x, y2 = x2e3x
2)	k1 =10,				k2		= 3

3)y′′ −17 y′ + 16 y = 0

4)

y

′′

−4 y

′

+ 4 y =

′

0, y(0) = 3, y (0) = −1

3.

1)

y

′′

+9 y

1

= cos 3x

2)

а) λ = −7,

λ

2

= 7 , f (x) = Asin 7x + B cos 7x

1

б) λ = 0, λ

2

=11, f (x) = ax2 +bx +c

1

= − 13i , f (x) = e 13x (Ax + B)

в) λ = 13i, λ

2

1

3)а) y′′−5 y′ = ex (2x2 −3x −1)

б) y′′−6 y′+9 y = 3x −1

в) y

′′

−10 y

′

+

25y =10e

5x

,

′

y(0) = 5, y (0) =1

г) y

′′

′

+ 225y = 60 sin15x +30 cos15x, y(0) = y (0) = 0

д) y′′− y′ = 2x −1 −3ex

dx

= 3x + y

dy

+ 2 y + 4z = e

x

dt

dx

4. а)

б)

dy

dz

= 8x + y

− y −3z = −x

dt

dx

58

		Варіант 16 .
1.	1)	y	′′		1
	2)			= cos2 x
		y′′(1 + ln x) + 1x y′ =1 + ln x, y(1) = 12 , y′(1) =1

3)xy′′+ y′ = 0

4)y′′+ 2 yy′3 = 0

5)		′′	3	′
	y		+8 sin y cos y = 0, y(0) = 0,
				y (0) = 2
2. 1)	y1 = e3x , y2 = xe3x ,
2)	k1 =13 +5i, k2 =13 −5i

3)3y′′+6 y′+ 2 y = 0

4)

9 y

′′

+ 25 y =

′

0, y (0) = y(0) = 0

3.

1)

′′

1

2)

y

+9 y = sin 3x

f (x) = (Ax2 + Bx +c)ex

а) λ = 3, λ

2

= 6 ,

1

=12i , f (x) = e12 x Ax

б) λ = −12i, λ

2

1

f (x) = Acos 2x + B sin 2x

в) λ1 = 2, λ2 = −2 ,

3)а) y′′+ y′−2 y = x2 e4 x

б) y′′− y = sin x

в) y

′′

+9 y = e

−3x

,

′

y(0) = y (0) = 0

г) y′′+9 y = cos 3x ,

y

π

π

= 0

=

=

y′

2

2

д) y′′+5 y′+6 y = (x2 +1)ex + xe2 x

dx

= 4x +6 y

dy

= −2 y −4z +1 + 4x

4. а)

dt

б)

dx

dy

dz

3

= 4x +2 y

+ y − z =

x

2

dt

2

dx

							59
	Варіант 17 .
1. 1)	y′′ = 2x			− 4x
2)	y′′+	y′		−	1		= 0, y(1) = y′(1) =1
		x			x3

3)y′′ = 2(y′−1)tgx

4)y′′y2 = (y′)3

5)	4 y	3	y	′′	=16 y		4	−1, y(0) =	2	,	′	1
2. 1)									2		y (0) =	2
	y1 = e4 x ,					y2		= e3x
2)	k1 = 7 −3i, k2 = 7 +3i

3)3y′′−5y′−2 y = 0

4)

3y

′′

+7 y

′

′

+ 2 y = 0, y(0) =1, y (0) = 2

3.

1)

′′

1

y

+ y = sin 2 x

2)

а) λ

= 3,

λ

2

= 4 , f (x) = Asin 3x + B cos 3x

1

= 15 −i , f (x) = e 15x

б) λ = 15 +i, λ

2

1

в) λ = 8, λ

2

= 0 , f (x) = Ax4 + Bx3 +Cx2 + D

1

3)а) y′′+ 2 y′+ y = (18x + 21)e−x

б) y′′+ 49 y = 14sin 7x + 7 cos 7x

в) y

′′

−13y

′

+12 y =18x

2

−39, y(0)

′

= 2, y (0) = 3

г) y′′+ y = 2 cos 4x +

π

= y

π

= 0

3sin 4x, y

′

2

2

д) y′′+16 y =16 cos 4x −16e4 x

dx

= 2x + y

dx

= 3x −2 y +t

dt

dt

4. а)

б)

dy

dy

= 3x + 4 y

= 3x −

4 y

dt

dt

60

1.1)

2)

3)

4)

5)

2.1)

2)

3)

4)

3.1)

Варіант 18 .

y′′ = ln x + 1

′′

′

+1,

π

′ π

y tgx = y

y

= 0,

y

= −1

xy′′+ y′ = x +1

4

4

yy′′+ y = (y′)2

′′

3

′

y y

+64 = 0, y(0) = 4, y (0) = 2

y

= x,

y

2

= x4

1

k1 = 17i, k2 = − 17i

7 y′′+11y′−2 y = 0

2 y

′′

−3y

′

′

−35y = 0, y(0) =1, y (0) = 5

′′

1

y

+ y = sin 3 x

2)а) λ1 = −7, λ2 = 7 , f (x) = Ax2 + Bx +C

б) λ1 = −3 −10i, λ2 = −3 +10i ,
f (x) = Asin10x + B cos10x
в) λ = 0, λ	2	= 5 , f (x) = e5x (ax3	+bx2	+cx + d )
1

3)а) y′′− y′=5(x + 2)2

б) y′′+ 2 y′+1 = −2 sin x

в) y

′′

+ 4 y

′

+ 4 y = e

−2 x

(12x +16),

y(0)

′

= 0, y (0) = 2

г)

y′′+169 y = sin13x +cos13x,

π

π

= 0

y

= y′

y′′+ y = 2 sin x −6 cos x + 2ex

2

2

д)