M01486_Вышка_2_семестр

		21
	1	1
6.	y′+ x y =	1 − x2 , y(1) = 2
7. (1 − x2 )y′− xy −2xy2 = 0
8.	y − y′cos x = y2 cos x(1 −sin x), y(0) =1

9.(2xy + 2 y2 −9x2 )dx + (x2 + 4xy)dy = 0

10.Крива проходить через точку С (2 ; 5). Кутовий коефіцієнт

дотичної в будь-якій точці кривої в 8 раз більше кутового коефіцієнта прямої, яка з′єднує цю точку з початком координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 6.

1.	y2 ex dx −(ex + 2)dy = 0
2.	xy′ln y − y = 0, y(1) = e2
						′	−3x) = 0
3. 4x −3y + y (2 y
	xydy − y2dx = (x + y)2 e−							y
									dx, y(e) =1
4.								x
5.	y′	−		y		= sin 2x
			x +1
	y′	1		y = ln x,			y(1) = 5
6.		−
			x
	y′		2 y			2 y
7.		+ x			= cos2 x
8.	y′−2xex y − y3 = 0, y(0) =1

9.(x2 − 4xy − 2 y2 )dx + (y2 − 4xy − 2x2 )dy = 0

10.Крива проходить через точку D (9 ; -4). Відрізок, який дотична в

будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює половині суми координат цієї точки . Знайти рівняння кривої

22

Варіант 7.

π

1.

=1

y sin xdx +(cos x −1)dy = 0, y

2

2.

x cos 2 y dx − x2 sin 2 y dy = 0

′

y

3.

xy

− y

= xtg x

4. (y2 −2xy)dx + x2 dy = 0, y(1) = 2

5.

y′

+

y

= ln 5x

3 + x

y′

1

y = x sin x,

y(π) = 0

6.

−

x

′

4xy

7.

y

−8x y = x2 −1

1

2

y(0) =1

8.

yy′+

y

= sin x,

2

9.(3x2 y2 + 7)dx + 2x3 ydy = 0

10.Крива проходить через точку М (0 ; 5). Кутовий коефіцієнт

дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює ординаті цієї точки, збільшеній в 7 раз. Знайти рівняння кривої.

		Варіант 8.
	1.	6xdx −2x2 ydy = 6 ydy −3xy2 dx
	2.	y′ = (2 y −3)tgx, y(2π) = 6
	3.	xy′− y = (x + y)ln	x + y
			x

4. 2x3 y′ = y(2x2 − y2 ), y(1) =1

y		arcsin x
5. y′+ x −1	=	1 − x2

будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 9.

										23
		1					3		y(1) =	1
6.	y′−				y = x			+ 2,
			x							3
7.	dy	+		y		= −xy2
	dx			x
8.	y′+ 4x3 y = 4(x3 +1)e−4 x y2 , y(0) =1

9.(e y + yex + 3)dx = (2 − xe y − ex )dy

10.Крива проходить через точку А (-2 ; 5). Відрізок, який дотична в

1.

xy2 dx − ydy = yx2 dy − xdx

2.

y′ = 2 x−y , y(1) =1

3.

(x2 + xy)y′ = x x2 − y2 + xy + y2

4.

′

xy (ln y −ln x) = y, y(e) =1

y′

y

arctgx

5.

+

=

x + 2

1 + x2

y′

1

y = xtgx,

y(π) =π

6.

−

x

7.

y′+ 4xy = 2xe−x2

y

′

2

4

sin x, y(0) =1

8.

y

− ytgx = − 3 y

9.sin(x + y)dx + x cos(x + y)(dx + dy) = 0

10.Крива проходить через точку В (-4 ; 1). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 10.

1. (ex +5)dy − y2 ex dx = 0

24

2.

y′ = xy +ex y, y(0) = 3

′

y

3.

xy

= y cos ln x

4. 2 y′ =

y2

y

+8, y(1) =1

+8

x2

x

5.

y′− ytgx = sin 2x

y′

1

2

2

+5, y(2) = 36

6.

− x y = 2x

x

7.

y′+ 4x3 y = 4 y2 e4 x (1 − x3 )

′

y3

, y(0) =1

8.

y

= yctgx + sin x

9.(2x + yexy )dx + (1 + xexy )dy = 0

10.Крива проходить через точку D(0;-8). Довжина відрізка, який

відтинає на осі ординат нормаль, що проведена в будь-якій точці кривої, дорівнює відстані від цієї точки до початку координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 11.

1.

y(2 +ex )dy = ex dx

2.

y′cos x = y sin x,

y(π) = 3

3.

xy′ = 3 x2 + y2 + y

′

y

4.

(xy

− y)arctg x = x, y(1) = 0

5.

y′+ ytgx = cos3 x

1

x3

3

, y(1) =

e

6.

y′−

y = e

x

x

3

7.

xy′+ 2 y + x5 y3ex = 0

8. 2xy′−3y = −(5x2 +3)y3 , y(1) =1

25

9.xdx + ydy + xdy + ydx = 0

x2 + y2

10.Крива проходить через точку С (3 ; -1). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої в 3/2 раза більше кутового

коефіцієнта прямої, яка з′єднує цю точку з початком координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 12.

1. cos2 x(1 +tgx)y′ = y, y(0) = 3

2.3x2 (1 +ln y)dx = dy

3.xy′ = 2x2 + y2 + y

4.	x(ln x −ln y)dy − ydx = 0, y(e) =1
5.	y′+ yctgx = 3sin 4 x
	1			2ex , y(1) = 2
6.	y′−		y = x
		x
7.	yy′−4x − y2 x = 0						y(1) =1
8.	xdy = (x5 y2 −2 y)dx,
9.	2x(1 − e y )dx			+	e y dy		= 0
	(1 + x2 )2
					1 + x2

10. Крива проходить через точку D (4 ; 10). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює половині суми координат цієї точки. Знайти рівняння кривої

Варіант 13.

1. x x2 +1dy − ydx = 0

2.y′ctgx + y = 2, y(π) = 0

3.(2 − y)y′ = x + 2 y

26

		y			1
4.	xy′ = y 1 +ln		, y(1) =		e
		x
5.	y′+ yctgx = 2sin 3x
	1			y(1) = 2
6.	y′− x y = x ln x,
7.	y′+ 2 y = y2ex

8. (y′+ y2 )(x +1) = −y, y(0) =1

9.(x + 2 y)dx + ydy = 0

(x + y)2

10.Крива проходить через точку М (-1 ; 3). Кутовий коефіцієнт

дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює ординаті цієї точки, збільшенїй в 2 рази. Знайти рівняння кривої.

Варіант 14.

1. (1 − x2 )dy −(2xy2 + xy)dx = 0

2.

xy′ =

x −1

e

2 x

+ y′, y(1) = e

y

3. 3x2 y′ = y2 +10xy +10x2

4.

y

2

+ x

2

y

′

′

y(1) = e

= xyy ,

′

cos2 x

5.

y

+ctgxy = sin 3 x

y′

1

y = e

x

, y(1) = 2

6.

+ x

7.

′

x3

y2

3x y −2 y =

8.

2 sin xy′− y cos x =

y

3

(x cos x −sin x),

π

=1

y

2

9. (3x2 + 6xy2 )dx + (6x2 y + 4 y3 )dy = 0

27

10. Крива проходить через точку А (3 ; -2). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 15.

1.

2x2 ydy = (3 + y2 )dx

2.

y

′

+e

x

′

= yy , y(0) = 2

3. (3x2 −2xy)y′ = x2 +3xy − y2

′

y

4.

xy

= y sin ln x , y(e) =1

′

1

5.

y

+tgxy = 4 cos x sin 2x

2 y

3

6.

y′

−

=

(x +1) ,

y(0) = 0

x +1

7.

xy′+ y = 2 y2 ln x

′

1

2

8.

xy

+ y

= 2 xy , y(1) = 2

9.

xdx + ydy + xdy − ydx

= 0

x2 + y2

x2

10. Крива проходить через точку В (1 ; -2). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 16.

1.y2 +1 dx = xydy

4xy	= 0, y( 2 )=1
2. y′− x2 −1

28

3.

xy′sin

y

+ x = y sin

y

x

x

y

y

2

4.

y′

= 4

+

+

, y(1) = 2

x

x

5.

y′−ctgx y = sin 3 x

6.

y

′

+

1 −2x

y =1,

y(1) = 0

x2

7.3y′+ 2xy = 2xy−2e−2 x2

8.3(xy′+ y) = y2 ln x, y(1) = 3

9.(2xy + 3y2 )dx + (x2 + 6xy −3y2 )dy = 0

10.Крива проходить через точку D(0 ;1). Довжина відрізка, який відтинає на осі ординат нормаль, що проведена в будь-якій точці кривої, дорівнює відстані від цієї точки до початку координат. Знайти рівняння кривої.

					Варіант 17.
1.	y2 dy +ctgxdx = y3ctgxdx
2. (y′+1)e2 y = 4, y(1) = 0
				′		y
3.	(xy				− y)ctg x			= x
4.	(x2 +6xy + y2 )dx = 4xydy, y(1) = 0
5.	y	′	−ctgx y =					cos2 x
								sin x		y(0) = 3
6.	y′+ y cos x = cos x,
7. 3xy′+5 y = (4x −5)y4
	y′				2xy			y		arctgx, y(0) =1
8.			−		1 + x2 = 4 1 + x2

29

9. (3y2 + 2xy + 2x)dx + (6xy + x2 + 3)dy = 0

10.Крива проходить через точку С (-6 ; 4). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої в 9 раз більше кутового коефіцієнта прямої, яка з′єднує цю точку з початком координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 18.

1.

y sin xdx +cos xdy = ctgxdy

2.

xy′− y2 = y, y(2) =1

3.

′

(2 y

2

+ 4x

2

)= 3y

3

+

8xy

2

xy

3y

3y

4.

3x sin

dy +

x −3y sin

x

x

	y(1) =1
dx = 0,

5. y′+	4xy	=	1		, y(0) =1
	x2 +1		x2 +1

6.y′x ln x + y = x2 ln3 x

7.y′+ 2xy = 3x2 y 43

8. (y′+ xy)e−x = (x −1)y2 , y(0) =1 9. 2x(1 + x2 − y )dx − x2 − y dy = 0

10. Крива проходить через точку D (18 ; -2). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює половині суми координат цієї точки. Знайти рівняння кривої.

	Варіант 19.
1.	xdy = x2e−y dx + 2dy
2.	y′ = 2 y ln x, y(e) =1
3.	(2x + y)dx +(x + 2 y)dy = 0
4.	(x2 + xy)y′ = x x2 − y2 + xy + y2 , y(1) =1

						30
	5.	′				3
		y x ln x + y = x
			y
	6.	y′+		+ x2 = 0, y(0) = 2
			x +1
	7. 4xy′+3y = −ex x4 y5
	8.	2 y′+ y cos x			= y−1 cos x, y(0) =1
		1 +sin x

sin2 y sin 2 y

9.1 − dx + dy = 0x2 x

10.Крива проходить через точку М (-2 ; 4). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює ординаті цієї точки, збільшеній в 6 раз. Знайти рівняння кривої.

Варіант 20.

1.

dy −3xdy −

ydx = 0

2. (x2 −1)y′+ 2xy2 = 0, y(0) =1

3.

x2 y′ = y2 +6xy +6x2

y

xy′− y = xe

, y(1) = 0

4.

x

5.

x(x2 +1)y′+ y = x(1 + x2 )2

y′

1

y

x

y(4) = 2

6.

−

=

,

x

x −3

7. 8xy′−12 y = −(5x2 +3)y3

8.

y′

+

3x2 y

= y

2

(x

3

+1)sin x, y(0) =1

x3 +1

ydx

x

9.

−

+

1 dy

= 0

2

2

2

2

x

+ y

+ y

x