M01486_Вышка_2_семестр

					71
4.	а)	x′ = 3x + y			x′ = 5x + 4 y + 2e−t
					б)	y′ = 4x +5y − 4
		y′ = x + 3y
		Варіант 29.
1.	1)	y′′ =	x
			e2 x

2)x2 y′′− 2xy′+ 3 = 0, y(1) = 0, y′(1) = 4

3)xy′′+ y′ = ex x

4)	y′′ = 2 sin3 y cos y,	y(1) =	π	, y′(1) =1
			2

5)y′′+2 y(y′)3 = 0

2. 1)

y1 = x2 , y2 = e2 x

2)k1 = 3 , k2 = − 3

3)4 y′′+ 4 y′+1 = 0

4)y′′+ 9 y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 3

3. 1)	y	′′	− 2 y	′					ex
2)					+ 2 = sin x
	а)	λ1 = 2 + 2i, λ2 = 2 − 2i ,
			f (x) = e2 x (Asin 2x + B cos 2x)								+b)
	б) λ = −					1	, λ	2	= 4 , f (x) = e4 x (ax3
			1			2
3)	в)	λ1 = λ2				= −3 , f (x) = Asin 3x + B cos 3x
	а) y′′−12 y′+ 36 y =14e6 x
	б) y′′+ 36 y = 36 + 66x −36x3
	в)		y ′′ − 6 y ′ + 25y = 9sin 4x − 24cos4x,

y(0) =2, y′(0) = −2

						72
	г) y	′′	− 4 y	′	+ 20 y =16xe		2 x	,	′
									y(0) = 1, y (0) = 2
	д) y′′−7 y′+12 y = xe3x						+ 2ex + 3x sin 2x
4. а)	x′ = x + 2 y					б)	x′ = −3x + 2 y +1 + t
		= 4x + 3y							y′ = 2x −3y −3
	y′

Варіант 30.

1.1) y′′ = x −ln x

2)y′′(x2 +1)= 2xy′, y(0) = 2, y′(0) = 3

3)y′′x ln x = 2 y′

4)y3 y′′ = y4 −16, y(0) = 2 2, y′(0) = 2

5)(y −1)y′′ = 2 y′2

2. 1)

y1 = sin 3x, y2 = cos 3x

2)k1,2 = 5

3)y′′−8 y′+ 20 y = 0

4)y′′+ 3y′ = 0, y(0) = 0, y′(0) = −3

3. 1)	e	5x
y′′−10 y′+ 25y =

x2 − 4

2)а) λ1 = −2, λ2 = 3 , f (x) = e−2 x (ax + b)

б) λ1 = 2 −7i, λ2 = 2 + 7i , f (x) = Asin 7x + B cos 7x

в) λ1 = λ2 = − 3 , f (x) = e− 3x (ax2 + bx + c)

3)а) y′′+ y′ = 2x −1

б) y′′−3y′+ 2 y = (34 −12x)e−x

в) y′′−2 y′+ y = −12 cos 2x −9 sin 2x

y(0)				′
		= −2 , y (0) = 0
г) y	′′	+ 2 y	′	+ 2 y = 2x	2	+8x + 6	′
							y(0) =1, y (0) = 4

д) y′′+ 49 y = x3 + 4x + 3sin 7x

		73
4. а)	x′ = x −5y	x′ = −3x − 4 y +		2t
		б)	y′ = x + y + t
	y′ = −x −3y

3. ТЕОРІЯ СТІЙКОСТІ

3.1Аудиторне заняття

1.Користуючись означенням дослідити на стійкість розв’язок задачі Коші (стійкий, асимптотично стійкий чи нестійкий).

	а)		dy	=		y		,	y(1) =1;	Відповідь: нестійкий.
						x
			dx						y(0) =1;
	б)		y′ = y2 ,							Відповідь: асимптоматично стійкий.
	в)		y′ = 4x3,						y(0) =1.	Відповідь: стійкий.
	2. Знайти всі точки спокою автономної системи
		&			+ y +				xy −19
	x = x									Відповідь : ( 9, 4), (4, 9).
									xy −78
	y& = (x + y)
			При яких значеннях параметру α точка спокою (0; 0) системи
	3.
x =α x + 2 y
	&							відноситься до вказаного типу:
	&
y = −2x + y

1) стійкий вузол; 2) нестійкий вузол; 3) сідло; 4) стійкий фокус; 5) нестійкий фокус; 6) центр; 7) стійкий вироджений вузол; 8) нестійкий

вироджений вузол.
Відповідь: 1) α (−4;−3); 2) α (5;+∞); 3) α (−∞;−4);
4) α (−3;−1); 5) α (−1; 5); 6) α = −1; 7) α = −3 ; 8) α = 5 .
4. Дослідити на стійкість за допомогою функції Ляпунова точку
спокою (0; 0) системи:
	= −xe	x	+ y	5		= −x + y − x	3	− y	2
x&					x&
1)	y& = −x5 − y				2)	y& = x − y + xy

74

&

3

2

x = −x + y

4)

x&

= x

− y

3)

y = 2x

2

− x

3

− y

&

&

= −

xy

−

y

y

Довідка: функцію Ляпунова підбирайте у вигляді v = ax2n +by2m , n, m {1; 2;3}.

Відповідь: 1) асимптотично стійка v = x6 + y6 ; 2) асимптотично

стійка v = x2 + y2 ; 3) стійка v = x4 + 2 y2 ; 4) нестійка v = x2 − y2 .

5. Дослідити на стійкість за першим наближенням точку спокою (0; 0) системи:

&

= e

x

−cos x + 4 ln( y +1)

x

.

= −sin x −12

1 + y +12

y&

Довідка: для отримання першого наближення системи

використайте наступні розвинення функцій в ряди:

e x =1 + x +

x2

+K; cos x =1 −

x2

+K; sin x = x −

x3

+K;

2!

2!

3!

ln(1 + x) = x −

x2

+K; 1 + x =1 + x

− x2 +K;

2

2

8

1 +1 x =1 − x + x2 −K

Відповідь: нестійка.

Індивідуальні завдання

1. Користуючись означенням дослідити на стійкість розв’язок задачі Коші (стійкий, асимптотично стійкий чи нестійкий).

75

dy

2 y

′

+ x − y, y(0) = 0 .

1. dx = − x , y(1) =1

2. y

=1

3.

y′

= sin

2

x,

y(0) =1 .

4.

y′ tgx = y,

π

y

= 0 .

1 + y2

2

′

2

dy

5. xy

+ y = y , y(1) =1 . 6. dx = 1 + x2 , y(1) =1.

7.

y′ = xsin x,

y(0) =1 .

8.

y′ = cos2 x,

y(0) = −1.

9.

y′

= sin 3 x,

π

10.

y′ = xex ,

y(1) = 0 .

y

=1.

2

dy

2x

′

11.

y

+ y = 2x +1,

y(0) =1. 12. dx =

1 + x2 ,

y(0) =1.

13.

dy

=

1

,

y(1) = 0 . 14.

dy

=

x

,

y(0) =1.

dx

x2 −1

dx

1 − x2

15.

y′+1 = y,

y(0) = 2 .

16.

y′ = sin y,

y(0) = 0 .

′

y(0) = e .

′

1

17.

y

= y ln y,

18.

y

=

y,

y(0) = 4 .

y

′

= x + y +1,

y(0) = 0 .

dy

2 y

,

y(1) = 0 .

19.

20.

dx =

x

dy

y −1

y(0) =1.

y

′

+2xy = 0,

y(0) =1.

21.

dx = x +1 ,

22.

′

y(0) =1 .

2

′

1

23.

y

+ ytgx = 0,

24.

x

y

− y

= 0,

y(1) = e .

y

′

ctgx + y = 0,

y(0) =1 . 26.

dy

xy

y(0) =1 .

25.

dx = − x +1 ,

27.

y′ ctgx + y =

2,

π

dy

=

y

,

y(1) =1.

y

= 0 . 28.

dx

x

dy

2x

3

′

29. dx =

1 + x2 , y(0) = 0 .

30. y

−1 = y, y(0) = 0 .

76

2. Знайти всі точки спокою автономної системи:

= x

2

+ y

2

−2xy −4

1.

x&

.

y& = x + y −6

&

=

3

x

+

3

y − 4

3.

x

.

y& = xy −

27

= x

2

− y −23

5.

x&

.

y&

= x2 y −50

&

2

−10 y

2

−5

x = 5x

7.

&

=

y

−

2

.

y

x

3

2

+ xy + y

2

−13

9.

x& = x

.

y& = x + y −

4

&

x

y

25

=

+

−

x

y

x

12 .

11.

&

= x

2

− y

2

−7

y

&

= x

2

+ y

2

− xy −7

x

13.

y& = x3 + y3 −35

	&		x + y	−5
x =			x − y		.
15.
	&	= xy −6
	y

		&
	x = x + y −6
2.			&					.
			y = xy −5
		&	= x + y			2	−7
4.	x									.
		y& = xy2 −12
		&
	x = xy +180
6.		&							.
	y = x + y +11
			= 2x	2	+		2 y	2		−5xy
8.	x&										.
			y& = xy −				4x + 4 y

	= x	2		− xy + y			2	−7
x&									.
10.	y& = x − y −						1
	= x		3	+ y	3	−7
x&								.
12.	= xy(x + y)+ 2
y&

x& = xy(x + y)−30

14.y& = x3 + y3 −35 .

	&	12	+	5	−5
x =		x −1		y +0,25
					.
16.		8		10
	&		+		−6
y =		x −1		y +0,25

77

17.x&

19.

y&

x&

x&

y&

25.

y&

x&

27.

x&

29.

y&

= x + y −2 xy −4 y& = x + y −10

x& = x + y + xy −7

= x2 + y2 + xy −13 .

= x2 − y2 −9 . y& = xy −20

=x2 +3xy −18

=xy + 4 y2 −7 .

x& = x − y

= x3 + y3 −9x −9 y .

= (x + 2)(y + 2)−20 . y& = xy −6

=x2 − xy + y2 −13

=x2 + xy + y2 −37 .

x& =11 − x − y − xy

18. ( ) .

y& = 30 − xy x + y

= 4x

2

+9 y

2

−10

x&

.

20.

y& = 2xy −1

= x

2

+ y

2

−17

x&

.

22.

= x + y + xy −9

y&

&

3

3

−16 y .

24. x&

= x

− y

−16x

y

= x + y

= x

2

+ xy + y

2

−19

x&

.

26.

−7

y& = x2 − xy + y2

= x

2

+ y

2

−8

x&

.

28.

−16

y& = x2 y2

x = xy −6

30. &

&

.

5

y = x + y −

3. Встановити характер точки спокою (0; 0) системи та зобразити фазові траєкторії в околі цієї точки:

			x = x +3y		x = 2x +3y
1.			&	2.		&
		&	= −3x −10 y			&
	y				y = −3x −5 y
	x = −7x −2 y				x =10x −2 y
3.		&		4.		&
		&				&
		y = 8x + 2 y				y = 8x + y

x& =11x −2 y

5. = +

y& 8x 3y

x& = 2x +3y 7. y& = −3x + y

x& =11x −2 y

9. = +

y& 8x 2 y

x& = x −3y

11.

y& = 3x + y

x& = −10x −2 y

y& = 8x + y

x& =12x −2 y

15.

y& = 8x +3y

x& = −5x −3y

17.

y& = 3x + 2 y

x& =10x −2 y

19.

y& = 8x + 2 y

x& = x −3y

21.

y& = 3x −5 y

x& = 9x −2 y

23.

y& = 8x + y

x& = −4x −2 y

25.

y& = 8x +3y

78

x& = x −3y

6. = +

y& 3x 8 y

x& = x +8y

8. y& = −2x −7 y

x& = 3x +8 y

10.

y& = −2x −3y

x& = 2x +3y

12.

y& = −3x −2 y

x& = x −2 y

14.

y& = 8x + 2 y

x& = x −3y

16.

y& = 3x − y

x& = x −2 y

18.

y& = 8x + y

x& = 3x +8y

20.

y& = −2x −6 y

x& = 2x +3y

22.

y& = −3x +8 y

x& = 2x +8y

24.

y& = −2x −6 y

x& = −6x +9 y

26.

y& = −x + y

							79
	x = 7x −3y						x = 2x +3y
27.		&				28.		&
		&	= 3x + y					&
	y						y = −3x −4 y
	x = −x −2 y						x = −10x −2 y
29.		&				30.		&
		&						&	= 8x + 2 y
		y = 8x + y						y
4. При яких значеннях параметру								α	точка спокою (0; 0) системи
відноситься до вказаного типу:
	x =α x −3y
1.	&					, стійкий вузол.
		&	= 3x + y
		y
	x =α x −3y
2.	&					, нестійкий вузол.
		&
	y = 3x + 2 y
	x =α x −2 y
3.	&					, сідло.
		&	= 8x + y
		y
	x =α x −2 y
4.	&					, стійкий фокус.
		&	= 8x + y
		y
	x =α x −2 y
5.	&					, нестійкий фокус.
		&
	y = 8x +3y
	x =α x − 2 y
6.	&					, нестійкий вузол.
		&
	y = 8x + 4 y
	x =α x − y
7.	&			, центр.
		&
	y = 4x + y
	x =α x − y
8.		&			, сідло.
	&
	y = 4x + 2 y

	80
x =α x +5 y
&	, стійкий вироджений вузол.
9. &
y = −5x + y

		x =α x +5 y
	10.		&			, нестійкий вироджений вузол.
			&	= −5x + 2 y
		y
		x =α x +5 y
	11.		&			, стійкий вузол.
			&	= −5x +3y
		y
		x =α x +9 y
	12.		&		, нестійкий вузол.
			&
			y = −x + y
			x =α x + y
	13.		&			, сідло.
			&	= −9x + 2 y
		y
				x =x +3y
	14.		&	&			, стійкий фокус.
				= −3x +α y
		y
			x =2x +3y
	15.		&				, стійкий вузол.
			&	= −3x +α y
		y
			x =4x +8 y
	16.		&				, сідло.
			&	= −2x +α y
		y
				x =x +8 y
	17.		&	&			, стійкий фокус.
				= −2x +α y
		y
		x =α x − 2 y
	18.		&		, нестійкий фокус.
			&	= 8x + 4 y
		y
			x =2x +8 y
	19.		&				, центр.
			&	= −2x +α y
		y