M01486_Вышка_2_семестр

31

10. Крива проходить через точку А (-2 ; -4). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 21.

1.

2xdy + ydx + xy(ydy + dx) = 0

2. (1 + x2 )y′+ xy = 0, y( 2 )= 2

′

(x

2

+ y

2

)= y(y

2

+ 2x

2

)

3. 2xy

4.

xy′ = y + x2 − y2 ; y(1) = 0

5.

y′cos x − y sin x = cos 5x

y′−

1

3

π

6.

y = x sin

x

, y

=1

x

2

′

7.

2xy

−3y

= −20x2 −12

y3

x

9

′

2

8.

y

+ y = e

y, y(0) = 4

1

1

1

x

9.

−

dx

+ 2 y +

+

dy

= 0

2

y

y

y

x

10. Крива проходить через точку В (-2 ; 2). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 22.

1.	( xy −	x )dy = ydx
2. (x +1)y′− x = 0, y(−2) = 0
3.	′		2 y
	y x = 2 y ln x

32

2 y

π

′

y(1) = 4

4.

xy

= y + x sin x

,

5.

y′ = 3x2 y + x5 + x2

y′

1

y

= x

sin 3 x

y(π) =

π

6.

−

,

2

x

cos x

7.

2 y′+3y cos x = (8 +12 cos x)e2 x y−1

′

2

8.

y (x −1)

−1 = y

, y(2) =1

9.(3x2 −tgy)dx − cosx2 y dy = 0

10.Крива проходить через точку D(0 ;-3). Довжина відрізка, який

відтинає на осі ординат нормаль, що проведена в будь-якій точці кривої, дорівнює відстані від цієї точки до початку координат. Знайти рівняння кривої.

	Варіант 23.
1.	x(dy −2 ydx)+ xy2 dx = 0
2. 3y′− x2 y′+ x = 0, y(2) = 0
3.	xy′− y =		x
			arctg	2 y
		3y		x			3y			π
	xy′sin		+ x = y sin						y(1) =
4.								,		6
		x					x
5.	y′cos x + y sin x = cos4 x

	1			sin x
6.	y′−		y = x		,
		x		cos3 x
7.	xy2 y′ = x2 + y3
8.	xy′+ y = y2 ln 3x,

y(π) = π2

y(1) =1

										33
				y						x
9.	x −					dx + y +						dy = 0
			2						2
		x		− y	2			x		− y	2

10. Крива проходить через точку С (-8 ; -2). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої в 3 рази більше кутового коефіцієнта прямої, яка з′єднує цю точку з початком координат. Знайти рівняння кривої.

		Варіант 24.
1.	x 3 + y2 dx + y 2 + x2 dy = 0
2. (2x2 y −3y)y′ = 6x − 2xy, y(1) = 0
3.	xy + y2 = (2x2 + xy)y′
4.	x3 y′ = y(y2 + x2 ); y(1) =1
5.	y′sin x + y cos x = tg 2 x
		1				2					2					y(π) =π / 2
6.	y′− x		y = x sin					x cos					x,
7.	3dy = (1 −3y2 )y sin xdx
8.	y′+ 2xy = 2x3 y3 , y(0) =1
		2xy −	1		dx +				2	−		2
9.
			2											3
			x				x					y				dy = 0

10. Крива проходить через точку Р (1 ;-7). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює половині суми координат цієї точки. Знайти рівняння кривої

Варіант 25.

1. y(1 +ex )dy = ex dx

2. y′cos x = y ln y, y(0) = e

34

3.

xy′− y

= ln

x + y

x + y

x

′

y

y(1) =π

4.

xy

= y + x cos x ,

5.

y′sin x + y cos x = sin 2 2x

y′

1

y =

x

y(1) = 0

6.

−

,

x

(x −2)2

′

xy

7.

y

= x

y + x2 −1

8.

xy′+ y = −y2 x(ln x + 2)ln x, y(1) =1

9.(3y3 +10xy)dx + (9xy2 +5x2 )dy = 0

10.Крива проходить через точку М (-2 ; 1). Кутовий коефіцієнт

дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює ординаті цієї точки, збільшеній в 5 раз. Знайти рівняння кривої.

Варіант 26.

1.1 − y2 dx + y 1 − x2 dy = 0

2.y′ = 2x+y , y(0) = 0

3.x2 y′ = x2 + xy + y2

4.	y2 + x2 y′ = xyy′ , y(1) =1

5.y′ = ytgx +sec x

6.y′+ 2xy = xe−x 2 , y(0) =1

7.yy′+ y2 + 4x(x +1) = 0

8.y′+ 2xy = 2x3 y3 , y(0) =1

9.(x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = 0

10. Крива проходить через точку А (3 ; 0). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

35

	Варіант 27.
1.	1	− x	2	dy +	1 − y	2	dx = 0

2.′ − = π = y tgx y 2, y 2

2

3.(xy′− y)arctg xy = x

4.(x2 − y2 )y′ = 2xy, y(0) =1

5.y′ = e−sin x − y cos x

6.ydx −(3x +1 +ln y)dy = 0, x(1) =1

7.xy′+ y = y2 ln x

8.	xy′− 4 y − x2 y = 0, y(1) =1
9.	(x3 −3xy2 + 2)dx − (3x2 y − y2 )dy = 0

10. Крива проходить через точку В (4 ; -3). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 28.

1.sin y cos xdy = cos y sin xdx

2.(1 + x2 )xyy′ =1 + y2 , y(1) =1

3.ydx + (2 xy − x)dy = 0`

4.y − xy′= y ln xy , y(1) = e

5.	y	′	− ytgx =	2x
				cos x
6.	ydx = (y3 − x)dy, y(1) =1

36

7.y′− ytgx + y2 cos x = 0

8.x2 y2 y′+ xy3 =1, y(1) =1

9.(x2 + y2 ) (xdx + ydy) = xdy − ydx

10. Крива проходить через точку М (3 ;-2). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює ординаті цієї точки, збільшеній в 4 рази. Знайти рівняння кривої.

Варіант 29.

1.tgx sin2 y dx + cos2 x ctg y dy = 0

2.(1 + x2 )y3dx − (y2 −1)x3dy = 0, y(1) = −1

3.(2xy + y2 )dx + (2xy + x2 )dy = 0

4. y = x(y′− x e y ), y(1) = 0

5.(x cos y +sin 2 y)dy = dx

6.x(y′− y) = (1 + x2 )ex , y(1) = e / 2

7.y′x3 sin y + 2 y = xy′

8.3y2 y′− y3 = x +1, y(0) = −1

9.x3dx = ydy − ydx − xdy

10. Крива проходить через точку А (2 ; 8). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 30.

1.x ln xdy = ydx

2.2(1 + ex )yy′ = ex , y(0) = 0

3.

y

y

x

− y cos

dx + x cos

dy

= 0

x

x

4.

′

2

= xy

+ y

2

e

−x / y

, y(1) =1

y x

37

5.(1 + x2 )y′− 2xy = (1 + x2 )2

6.2 ydx − (y2 −6x)dy = 0, x(1) = 0

7.xy′ = 3y − 4x4 y2

8.		x	2
	xdx =			− y3 dy, y(0) =1
		y
9.	(x + y)dx + (x + 2 y)dy = 0

10. Крива проходить через точку В (5 ; 0). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

2.2 Диференціальні рівняння вищих порядків та системи диференціальних рівнянь

2.2.1Аудиторне заняття

1.Розв′язати диференціальні рівняння, які припускають зниження порядку.

1)а) y′′′ = sin 2x

б)

2)а)

б)

Відповідь:

y =

1

cos 2x +C

x2

+C

x +C

8

2

1

2

3

y′′ =

1

y(0) =1; y′(0)

3

;

= 5

cos2 x

Відповідь:

y = −ln

cos x

+

3

x +1

5

xy

′′

+ y

′

= ln x

+ 1, y(1) = −1;

y

′

(1) = 0

Відповідь:

xy′′− y′ =

Відповідь :

y =		x2		ln x −		x2		−	3
		2			4				4
x sin			y′	; y(1)		π		; y′(1) =		π
					= 2					2
			x

y = (x2 +1)arctgx − x +1

3) а)

б)

4)

5)а)

б)

38

xy′′′+ y′′+ x = 0

Відповідь :

y = −

x3

+C x ln

x

− x(C −C

2

) +C

3

12

1

1

(1 + x2 ) y′′+ 2xy′ =12x3

(C

+1) +C

Відповідь :

y = x3 −3x + arctg

2

1

′′ 3

+1 =

′

Відповідь :

2x −1 = y

2

y y

0, y(1) = y (1) = −1

yy′′− 2 y′

2

= 0;

y

1

−

1

−

4

=1; y

′

4

= 4

Відповідь:

y = −

1

4x

sin 2 y

1

2

y(0) = 0; y′(0) =

y′′ =

(y′)

;

1 + cos2 y

2

Відповідь :

x =

3 y + 1 sin 2 y

2

4

2. 1) Знайти визначник Вронського для заданих систем функцій. Встановити, чи буде вона фундаментальною системою розв′язків деякого лінійного однорідного диференціального рівняння ( ЛОДР ).

а) y1 = e−2 x ; y2 = xe−2 x

б) y1 = sin 3x; y2 = cos 3x

в) y1 = e5x ; y2 = 5e5x

2) Для заданих коренів характеристичного рівняння ЛОДР, записати його загальний розв′язок .

а) λ1 = 5; λ2 = −0,3

б) λ1 =1 + 2i; λ2 =1 − 2i

в) λ1 = λ2 = −3

39

г) λ1 = 5i; λ2 = − 5i

3) Знайти загальний розв′язок ЛОДР.

а)	5y′′+19 y′− 4 y = 0						Відповідь:	y = C1e−4 x +C2e0,2 x
б)	y′′+ 7 y = 0						Відповідь:	y = C1 sin 7x +C2 cos	7x
в)	3y′′− 2 y′ = 0						Відповідь:	y = C1 +C2e2 x / 3
г)	4 y′′+ 6 y′+ 9 y = 0						Відповідь:	y = C1e−1,5x +C2 e−1,5x	x
д)	y′′+ 6 y′+12 y = 0						Відповідь:	y = e−3x (C1 sin 3x +C2 cos 3x)
4) Розв′язати задачу Коші:
а)	y	′′	−6 y	′	+ 25y		′
						= 0, y(0) = 0, y (0) = 4
			Відповідь:			y = e3x sin 4x;
б)	y	′′	−5y	′			′
					+ 6 y = 0, y(0) = 0, y (0) = −2
			Відповідь:			y = 2e2 x − 2e3x

3. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку (ЛНДР-II ).

1) розв′язання ЛНДР методом варіації довільних сталих (метод Лагранжа).

а) y′′− 2 y′+5y = extg2x

Відповідь:

:

1

ln

tg

π

− x

+

1

sin 2x +C

у=

ex cos 2x +

4

4

4

1

C2 − 1 cos 2x ex sin 2x4

	40
	9e3x
б) y′′+ 3y′ =		, y(0) = ln 4, y′(0) = 3(1 −ln 2)
	1 + e3x

Відповідь: y = (1 + e−3x )ln(1 + e3x )

2) визначити вигляд частинного розв′язку ЛНДР, якщо відомі корні характеристичного рівняння, та загальний вигляд правої частини ЛНДР.

а) λ = −2, λ				2	= 3, f (x) = e−2 x (ax2 + b)
1								=1 − 5; f (x) = ex (Asin 5x + B cos 5x)
б) λ	=1 +			5; λ		2
1								= −2 −3i; f (x) = Ae−2 x cos 3x
в) λ	= −2 + 3i; λ						2
1								f (x) = ax3 +C
г) λ	= λ	2	= −0,6;
1

3) Знайти загальний та частинний розв′язок ЛНДР ( у випадку д ) – частинний розв′язок у загальному вигляді).

а)

y′′+16 y = 8 cos 4x Відповідь:

y = C1 cos 4x +C2 sin 4x + x sin 4x;

б)

y′′−7 y′+12 y = 3e4 x Відповідь :

y = C1e3x

+C2e4 x + 3xe4 x ;

в)

y

′′

−14 y

′

+53y =

53x

3

− 42x

2

−59x −14,

y(0)

′

= 0, y (0) = 7

′′

′

Відповідь:

y = 3e7 x sin 2x + x3 + x;

2 x

′

г) y + 3y = (40x +

58)e

, y(0) = 0, y (0) = −2

Відповідь:

y = 4e−3x −7 + (4x + 3)e2 x

д)

y′′+ 3y′− 4 y = 6xe−4 x

+ x2 sin 2x

Відповідь:

~

= (Ax

2

+ Bx)e

−4 x

+ (Cx

2

+ Dx + E)sin 2x + (Kx

2

+ Lx + P) cos 2x

y

4. Розв′язати системи диференціальних рівнянь.

x′ = 2x + y

x

= C et +C

e5t

1)

Відповідь:

1

2

= −C1et + 3C2e5t

y′ = 3x

+ 4 y

y