M01486_Вышка_2_семестр

61

dx

= −5x −4 y

dx

− x + y

= 0

dt

dt

4.

а)

б)

dy

dy

= −2x −3y

= x + y

+et

dt

dt

Варіант 19 .

1.

1)

y′′ =10−x + xex

2)

xy

′′

′

′

′

= y (ln y

−ln x), y(1) = 0, y

(1) =1

3)y′′tgx = 2 y′

4)y′′ = − 21y3 , y(0) =1, y′(0) = 0

5)yy′′+(y′)2 −(y′)3 ln y = 0

2. 1)

y1 = e5x , y2 = xe5x

2)k1 = k2 = 10

3)4 y′′−17 y′+ 4 y = 0

	4)	y′′+ 49 y					π		π
			= 0; y						= 0, y′		= 2
3.	1)		1				14		14
		y′′− y′ =
			e−x +1
	2)	а) λ = 0,	λ	2	= 3 , f (x) = Asin 3x + B cos 3x
		1					=1 −5i , f (x) = e5x (Ax + B)
		б) λ =1 +5i, λ				2
		1
		в) λ = 4, λ		2	=10 , f (x) = e4 x (ax2 +bx +c)
		1

3)а) y′′+ y′ = 49 −24x3

б) y′′+ 2 y′+5y = −17 sin 2x

в) y	′′	−6 y	′	+9 y = 4xe	x	,	′
							y(0) = 3, y (0) = 0

г) y′′+36 y = 24sin 6x −12 cos 6x ,

62

π

π

= 0

y

6

=1, y′

6

д)

y′′− y′ =128cos8x −64e8x

dx

= −x −2 y

dx

= 5x

−3y +te

2t

dt

dt

4.

а)

б)

dy

3t

dy

= 3x + 4 y

= 3x − y +e

dt

dt

Варіант 20.

1.

1)

xy′′ = x4 +1

2)

y′

x 2

y′′=

+

, y(2) = 0, y′(2) = 4

x

y′

3)

4)

5)

2.1)

2)

3)

4)

′′

= −2 y

′

y ctg2x

y′′− 2 y′2 = 0

sin 2 y

2

1

y′′−

(y′)

= 0, y(0) = 0, y′(0) =

1 + cos2

y

2

y = x2

,

y

2

= x6

1

5

5

k =

−i,

k

2

=

+i

1

11

11

y′′−13y′+ 22 y = 0

′

′′

2

y + 4π

y = 0, y(0) = 0, y (0) = 2π

	3. 1)	′′		′		e−x
	y		+ 2 y		+ y = x2 −1

2)	а)	λ = 7, λ	2	= 9 ,	f (x) = (ax2 +bx +c)ex
		1			= 3 −10i f (x) = Asin 3x + B cos 3x
	б) λ1 = 3 +10i, λ2
	в) λ1 = 0, λ2 = 7 ,				f (x) = ax +b
3)	а)	y′′+ y′−2 y = 8sin 2x

63

б) y′′+ 2 y′−3y = (8x +6)ex

в) y

′′

−13y

′

+12 y

=12x −1,

′

y(0) = 2, y (0) = −9

г) y

′′

+

4 y

′

=16xe

−4 x

′

y(0) = 3, y (0) = 2

д) y′′+ 4 y = −8sin 2x +32 cos 2x + 4e2 x

4.

а)

y′

= 2 y −3x

x′

= x − y + 4 cos 2t

б)

x′ = 3y + 2x

y′ = 3x −2 y +8 cos 2t +5sin 2t

Варіант 21.

1.

1)

y′′′ =

2

+1

x3

1

π

′ π

2)

′′

′

− y

+

=

0, y

=

1

y tgx

sin x

= 0, y

2

2

3)xy′′+ y′ =1

4)y′′tgy = 2 y′2 , y(1) = π2 , y′(1) = 2

5)y′′ = y′(1 + y′2 )

2. 1)	y1 = ex , y2 = x3ex
2)	k1 = 4 −9i, k2 = 4 +9i

3)y′′−12 y′+32 y = 0

4)y′′+ 4 y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2

3. 1)	y′′+ 2 y′+ y =			e−x
				1 − x2
2)	а) λ =1, λ	2	= 7 , f (x) = ax4 +bx3 +cx2 + dx +e
	1		= 5 , f (x) = ex (ax +b)
	б) λ =1, λ	2
	1			= −13i , f (x) = Acos13x + B sin13x
	в) λ1 =13i,	λ2

64

3)а) y′′− y′ = 3x2 −2x +1

б) y′′+ 2 y′+5y = −cos x

в) y	′′	−3y	′	+ 2 y = −4e	x	,	′
							y(0) =1, y (0) = 2

д)

4.а)

1.1)

2)

3)

4)

5)

2.1)

2)

3)

4)

3.1)

2)

3)

	π				π
	г) y′′+81y = 3cos 9x −sin 9x , y				= y′				= 0
		18				18

y′′+ 2 y′+ 1 = 3sin 2x + cos x

x′

= 4x +5y

x′− x − y + cos t = 0

б)

= sin t + cos t

y′ = −4x − 4 y

y′+ 2x + y

Варіант 22 .

y′′ = 2 cos2 x

′′

′

= 2,

′

y x ln x − y

y(e) = y (e) = 0

xy′′+ y′ =

x

yy′′ = y2 y′+ y′2

′

′′

3

y

+50sin y cos

y = 0, y(0) = 0,

y (0) = 5

y

= ex cos x, y

2

= ex sin x

1

k1 = −1,

k2

= 3

y′′−8 y′+ 15y = 0

5 y

′′

−

6 y

′

= 0, y(0)

′

=1, y (0) = 2

y′′+ 2 y′+ y = 3e−x

x +1

а) λ = 5 −9i, λ

2

= 5 +9i , f (x) = e5 x

1

f (x) = (ax +b)ex

б) λ = 0, λ

2

= 7 ,

1

f (x) = Asin 2x + B cos 2x

в) λ1 = λ2

= 2 ,

а) y′′+ y′ = 12x + 6

б) y′′+ y −6 y = (20x +14)e2 x

65

π

π

в) y′′−25 y = 25(sin 5x + cos 5x), y

= 0, y′

= 2

10

′′

10

4 x

′

г) y + 4 y = e

, y(0) = 0, y (0) = 0

′′

′

2 x

x

д) y

−4 y

+ 4 y

= 2e + 2

dy

4. а)

x′ = −2x + y

б)

dx = 2 y

+ z −4

+ 2 y

= y + 2z +3x −6

y′ = −3x

dz

dx

Варіант 23 .

1.1)

2)

3)

4)

5)

2.1)

2)

3)

4)

3.1)

2)

3)

y

′′

=

e−x

+ex

y′

2

y′′

2

= 0, y(1) = y′(1) =1

+

− x

x

y′′− y′cos x = −y′′sin x

2 y′2 = (y −1)y′′

′′

3

+ 25 =

′

y y

0, y(2) = −5, y (2) = −1

y

= ex ,

y

2

= e7 x

1

k1 = 3 −17i, k2 = 3 +17i

y′′−27 y′+50 y = 0

y

′′

− 22 y

′

+121y =

′

0, y(0) =1, y (0) = 0

y′′− y′ = e2 x sin ex

= −7 −11i , f (x) = Ae7 x

а) λ = −7 +11i, λ

2

1

б) λ1 = −14i,

λ2 =14i , f (x) = Acos14x + B sin14x

в) λ1 = λ2 2 = 7 , f (x) = ax2 +bx +c

а) 4 y′′− y = x3 −24x

66

б) y′′− y′−2 y = (6x −11)e−x

в) y

′′

+6 y

′

+9 y = e

x

(16x + 24),

′

y(0) = 3, y (0) = 2

π

π

г) y′′

+324 y = 18sin18x ,

y

=

y′

= 0

18

18

д) y′′−3y′ = e3x +e−3x +3cos 3x

4. а)

dx

= x + y

dx

= −y +t 2

dt

dt

dy

б)

dy

+ 5x + 3y = 0

= x +et

dt

dt

Варіант 24.

1. 1)

y′′ = 2 sin 2 2x

2)y′′(ex +1)+ y′ = 0

3)	2	′′		′		′
	x y		+ xy		=1 ,
						y(1) = 0, y (1) =1

4)y(1 −ln y)y′′+(1 +ln y)y′2 = 0

5)	′′	3	′
	2 y y −3y = 0		, y(0) =1, y (0) =1
2. 1)	y1 =1,	y2 = ex
2)	k1 =12,	k2 = −13

3)5 y′′+8y′+ 14 y = 0

4)y′′+ 4 y′+13y = 0, y(0) = y′(0) = 0

3.	1)	y′′+ y =				1
			sin 5 x cos x
	2)	а) λ = 0, λ		2		=11, f (x) = ax4 +bx3 +cx2 + dx +e
		1				= −7i , f (x) = e7 x (ax +b)
		б) λ = 7i, λ			2
		1				=1 , f (x) = F sin x + B cos x
		в) λ1 = 4,	λ2
	3)	а) y′′−4 y = (x2 + x)e2 x

67

б) y′′+ 2 y′+5y = −sin 2x

в) y

′′

+ 4 y = x, y(0)

′

π

′′

=1, y

(0) = 2

x

′

г) y + y = 4e

,

y(0) = 4, y (0) = −3

д) y′′+6 y′+9 y = 9xe−3x +1 +9sin x

dx

− y = 0

dy

= 2 y − z −sin x

dt

dx

4.

а)

, б)

dy

dz

−3x − y =

0

= 3y −2z −cos x

dt

dx

Варіант 25 .

1.

1)

y′′ =

1

1 + x2

2)y′′(1 − x2 )− xy′ = 2, y(0) = y′(0) = 0

3)y′2 =1 + 2xy′ y′′

4)	y	′′	+ 2 sin y cos	3	′
					y = 0, y(0) = 0, y (0) =1

5)y′2ctgy = y′′cos y

2. 1)	y1 = sin 3x,			y2 = cos 3x
2)	k = 0,	k	2	=	11
	1			13

3)2 y′′−7 y′+ 13y = 0

4)7 y′′+6 y′− y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 2

3. 1)

y′′+ 2 y′+ y = e−x 2x +1

2)а) λ1 = 3, λ2 = −7 , f (x) = (ax2 +bx +c)e−3x

=3 −4i, λ2 = 3 + 4i , (x) = Ae4 xб) λ1 f

3)	в) λ1 = 5i, λ2 = −5i , f (x) = Asin 5x + B cos 5x
	а) y′′+ 2 y′+ y = 2 −3x2

68

б)

y′′+100 y = 20sin10x −30 cos10x

в) y

′′

+11y

′

=11xe

−11x

, y(0) = 0, y

′

(0) =11

г)

y

′′

−4 y

′

+5 y

= sin x + 2 cos x ,

′

y(0) = y

(0) = 0

д) y′′−4 y′+ 4 y = 4x +sin x +sin 2x

dx

= x + y

dy

= −y −2z + 2e

−x

dt

dx

4.

а)

б)

dz

−x

dy

= −8x −5 y

= 3y + 4z

+e

dt

dx

Варіант 26.

1.

1)

y′′ =

1

1 − x2

2)x3 y′′+ x2 y′ =1, y(1) =1, y′(1) = −1

3)y′′x ln 3x − y′+ 3 = 0

4)y′′ = 98 y3 , y(1) =1, y′(1) = 7

5)y′′tgy = 2 y′2

2. 1)

y1 = e2 x , y2 = x2e2 x

2)k1 = 2 −i , k2 = 2 +i

3)y′′+18 y′+ 65y = 0

4)y′′+ 24 y′+144 y = 0, y(0) = 0, y′(0) =1

	3. 1)	′′		ex
	y		− y = ex +1

2)а) λ1 = 3i, λ2 = −3i , f (x) = a sin 3x

б) λ1 = −2, λ2 = 5 , f (x) = e5x (ax4 + bx)

в) λ1 = 2 + 3i, λ2 = 2 −3i , f (x) = e2 x (ax + b)

3)а) y′′+ y′ = −4 cos x − 2 sin x

б) y′′+ 2 y′+ y = 6e−x

69

в) y

′′

+8 y

′

=18x

+60x

2

−32x

3

y(0) = 5 , y

′

(0) = 2

г)

y

′′

− 2 y

′

+ 37 y = 36e

x

cos 6x y(0) = 0 , y

′

(0) = 6

д)

y′′− y′−6 y = 2xe3x

+ 9 cos x −sin 2x

4.

а)

x′

= x − y

б)

x′ =

4x −3y +sin t

y′ = −4x + y

y′ = 2x − y −2 cos t

Варіант 27.

1.

1)

y′′ =

x −sin 2x

2)xy′′+ y′(ln x −ln y′−1) = 0, y(1) = 3, y′(1) = e

3)xy′′+ y′ = 2x ln x + x

4)y3 y′′ = 4(y4 −1), y(0) = y′(0) = 2

5)2 yy′′=1+ y′2

2. 1)

y1 = cos 2x, y2 = e2 x

2)k1 = 3 , k2 = −2

3)y′′−6 y′+13y = 0

4)

9 y

′′

−6 y

′

+ y =

′

0, y(0) = 0, y (0) =1

3. 1)

y

′′

2

y

π2

+

π

= cosπx

2)

а) λ

= 0,4, λ

2

= 5 , f (x) = e−0,4 x ( Asin 5x + B cos 5x)

1

= −2 −i , f (x) = e−2 x A cos x

б)

λ

= −2 +i, λ

2

1

в) λ = 2i, λ

2

= −2i , f (x) = e−2 x (ax + b)

1

3)а) y′′− 2 y′+5y =10e−x cos 2x б) y′′+ y = 2 cos x − (4x + 4)sin x

в) y		′′		− y	= (14 −16x)e		−x			′
									y(0) = 0 , y (0) = −1
г) y	′′		+8 y		′	+16 y =16x	2	−16x + 66,		′
										y(0) = 3, y (0) = 0

д) y′′+ 3y′+ 2 y = (3x −7)e−x + cos x −3sin 2x

4.а)

1.1)

2)

3)

4)

5)

2.1)

2)

3)

4)

3.1)

70

x′ = 2x + y

б)

x′ = x + 2 y

y′ = −6x −3y

y′ = x −5sin t

Варіант 28.

y′′ = 2 sin x cos2 x

3

1

y′′+

2tgx y′ = cos

x, y(0) = − 3 , y′(0) = 2

x(y′′+1) + y′ = 0

′′

3

+ 4 = 0, y(0)

′

y y

= −1, y (0) = −2

′′

2

+1)= 2 y

′2

y

y (y

y = e−2 x , y

2

= e7 x

1

k1 =1 − 3i , k2 =1 + 3i

2 y′′−5y′+ 2 y = 0

y

′′

+

12 y

′

+ 36 y

′

= 0, y(0) = 0, y (0) =1

′′

′

e−x

y

+

3y

+ 2 y = 2

+ ex

2)а) λ1 = −4 +i, λ2 = −4 −i , f (x) = e−4 x (Acos x + B sin x) б) λ1 = −0,3, λ2 = 3 , f (x) = ax3 + bx2

в) λ1 = λ2 = −5 , f (x) = e−5x (ax2 + bx + c)

3)а) y′′− y′ = 6 +12x − 24x2

б) y′′−6 y′+ 34 y = 18 cos 5x + 60 sin 5x

в)	y	′′	+16 y		= e	x	(cos 4x			′
									−8 sin 4x), y(0) = 0 , y (0) = 5
г) y		′′	−10 y	′	+ 25y = e			5x	,	′
										y(0) =1, y (0) = 0
д)	y′′+ y′− 2 y = (2x −1)e−x + 3x cos 2x