- •2.2.Основные правила дифференцирования функций ………….. 15
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей
- •1.2. Решение типовых примеров задания 1 ргр
- •1. 3. Классификация функций. Непрерывность функции в точке.
- •1.4. Решение типовых примеров задания 2 ргр
- •2. Дифференциальное исчисление функций
- •2.5. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •2.6. Решение типовых примеров задания 5 ргр
- •2.7. Геометрический смысл производной
- •2.8. Решение типового примера задания 6 ргр
- •2.9. Определение и геометрический
- •2.10. Решение типовых примеров задания 7 ргр
- •2.11. Решение типового примера задания 8 ргр
- •2.12. Решение типового примера задания 9 ргр
- •2.13. Решение типового примера задания 10 ргр
- •Задания для расчетно-графической работы Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Приложение 1
- •7. Двойные аргументы
- •Две последние цифры номера зачетной книжки
- •Література
1. 3. Классификация функций. Непрерывность функции в точке.
Точки разрыва
Основными элементарными функциями называются такие:
1. Степенная функция ,. Графики этих функций приведены на рис. 1.1 - 1.7.
2. Показательная функция,(рис. 1.8).
3. Логарифмическая функция(рис. 1.9).
4. Тригонометрические функции,,,(рис. 1.10 - 1.13).
Графики основных элементарных функций необходимо помнить.
Приведем графики основных элементарных функций.
1. Степенная функция:
.
.
, .
Рис.
1.6 Рис.
1.7
Рис.1.5
2. Показательная функция .
3. Логарифмическая функция .
4.Тригонометрические функции.
Рис.
1.11
Функция называется непрерывной в точке , если граница функции и ее значения в этой точке равны, то есть
. (1.3)
Часто встречаются понятия односторонней непрерывности. Функция называетсянепрерывной в точке слева, если она определена на полуинтервале , гдеи; если функцияопределена на полуинтервалеи, то функция называетсянепрерывной в точке справа. Используя эти понятия, можно сказать, что функция будет непрерывной в точкетогда и только тогда, когда она определена в некоторой окрестности точкии
. (1.4)
Если эти условия не выполняются, то функция называется разрывной в точке , а сама точка называется точкой разрыва функции.
Различают два вида разрывов. Если для функции существуют конечные границы
,,
причем не все числа ,,равны между собой, то разрыв в точкеназываютразрывом первого рода, точку точкой разрыва первого рода. В частности, если
,
то разрыв в точке называют условным, а точкуточкой условного разрыва. Величину называют скачком функции.
Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, или равен бесконечности, то разрыв в точке называютразрывом второго рода, а саму точку точкой разрыва второго рода.
1.4. Решение типовых примеров задания 2 ргр
1.Дана функция . Найти точки разрыва, односторонние пределы в точках разрыва и указать тип разрыва.
Решение. Функция не определена в точке, поэтому в этой точке имеет разрыв. Чтобы определить характер разрыва, найдем границы слева и справа:
; .
Поэтому, точка есть точка разрыва второго рода.
2.Дана функция . Найти точки разрыва, односторонние пределы в точках разрыва и указать тип разрыва. Определить скачек функции в точке разрыва и построить график.
Функция имеет в точкеразрыв первого рода:
;.
Скачек функции в точке равен.