- •2.2.Основные правила дифференцирования функций ………….. 15
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей
- •1.2. Решение типовых примеров задания 1 ргр
- •1. 3. Классификация функций. Непрерывность функции в точке.
- •1.4. Решение типовых примеров задания 2 ргр
- •2. Дифференциальное исчисление функций
- •2.5. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •2.6. Решение типовых примеров задания 5 ргр
- •2.7. Геометрический смысл производной
- •2.8. Решение типового примера задания 6 ргр
- •2.9. Определение и геометрический
- •2.10. Решение типовых примеров задания 7 ргр
- •2.11. Решение типового примера задания 8 ргр
- •2.12. Решение типового примера задания 9 ргр
- •2.13. Решение типового примера задания 10 ргр
- •Задания для расчетно-графической работы Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Приложение 1
- •7. Двойные аргументы
- •Две последние цифры номера зачетной книжки
- •Література
2.7. Геометрический смысл производной
Пусть функция
определена в интервале и пусть точка на графике функции соответствует значе-нию аргумента , а точка значению (рис. 2.1).
Проведем через точки и секущую. Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, этот угол зависит от .
Если существует предел , то прямую с угловым коэффициентом , проходящую через точку называют предельным положением секущей при .
Из находим
. (2.2)
Существование конечного предела в уравнении (1.8) эквивалентно существованию конечной производной.
Угловой коэффициент касательной к кривой в точке или тангенс угла , который образует касательная к кривой в данной точке с положительным направлением оси , - это производная в этой точке.
. (2.3)
В этом заключается геометрический смысл производной.
Найдем уравнение касательной. Из аналитической геометрии известно, что, если прямая проходит через точку в направлении, которое определяется угловым коэффициентом , то уравнение этой прямой можно записать в виде
. (2.4)
Учитывая, что , уравнение (1.9) можно записать в виде
. (2.5)
Уравнение (2.5) называется уравнением касательной к кривой в точке .
Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно к касательной.
Поскольку угловые коэффициенты касательной и нормали связаны между собой условием перпендикулярности, то уравнение нормали к кривой в точке имеет вид
. (2.6)
2.8. Решение типового примера задания 6 ргр
Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точкеcабсциссой.
Решение.Уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке
;.
Ордината точки касания
;.
Найдем . Для этого сначала найдем, а затем вычислим частное значение производной при.
..
Тогда уравнение касательной и нормали к кривой имеют вид
; .
;; .
2.9. Определение и геометрический
смысл дифференциала
. Из определения производной и предела перемен-ной следует, что , или
, (2.7)
где при .
Приращение функции можно разбить на две части: и .
Произведение есть бесконечно малая первого порядка относительно . Произведение же есть величина бесконечно малая более высокого порядка относительно , так как.
Первое слагаемое (при ) являетсяглавной частью приращения функции .
Дифференциалом функции в точкеназывается главная, линейная относительно, часть приращения функции в этой точке
. (2.8)
. Геометрический смысл дифференциала функции
Пусть точкана графике
функции соответствует
значению аргумента , точка
значению аргумента , пря-
мая касательная к графику
в точке,угол
касательной и осью (рис.2.2).
Пусть точка пересечения
касательной с прямой.
Из прямоугольного треу-
гольника получаем:
,
т.е. дифференциал функции
равен величине отрезка .
Из геометрического рассмотрения видно, что величины отрезков иразличны.
Таким образом, мы выяснили геометрический смысл дифференциала функции в точке : дифференциал функции в точкеравен приращению ординаты касательной к графику функции в точке.
Из определения дифференциала, как главной (линейной) части приращения функции при достаточно малых значениях имеет место приближенное равенство
. (2.9)
Эта формула часто используется арии приближенных вычислениях.