- •2.2.Основные правила дифференцирования функций ………….. 15
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей
- •1.2. Решение типовых примеров задания 1 ргр
- •1. 3. Классификация функций. Непрерывность функции в точке.
- •1.4. Решение типовых примеров задания 2 ргр
- •2. Дифференциальное исчисление функций
- •2.5. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •2.6. Решение типовых примеров задания 5 ргр
- •2.7. Геометрический смысл производной
- •2.8. Решение типового примера задания 6 ргр
- •2.9. Определение и геометрический
- •2.10. Решение типовых примеров задания 7 ргр
- •2.11. Решение типового примера задания 8 ргр
- •2.12. Решение типового примера задания 9 ргр
- •2.13. Решение типового примера задания 10 ргр
- •Задания для расчетно-графической работы Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Приложение 1
- •7. Двойные аргументы
- •Две последние цифры номера зачетной книжки
- •Література
2. Дифференциальное исчисление функций
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
2.1. Определение производной
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функциив этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемой в точке .
Производная функции в точкеобозначается одним из следующих символов:
или- Г.В.Лейбниц;или- Ж.Л.Лагранж.
Итак, по определению,
. (2.1)
Операция нахождения производной от функции называетсядифференцированием этой функции.
2.2.Основные правила дифференцирования функций
1. Производная алгебраической суммы
.
2. Производная произведения
, в частности.
3. Производная отношения
,, в частности.
4. Производная сложной функции
, где.
5. Производная показательно-степенной функции
,,.
2.3. Таблица производных основных функций
1. .
2. , в частности,,.
3. , в частности.
, в частности;
. 6..
. 8..
. 10..
11. . 12..
2.4. Решение типовых примеров заданий 3, 4 РГР
Найти производные пользуясь формулами и правилами дифференцирования.
1. .
Решение. Преобразуем данную функцию и применим правила нахождения производной алгебраической суммы функций
.
.
2. .
Решение. Применим правила нахождения производной произведения функций
.
3. .
Решение. Применим правила нахождения производной отношения функций
4. .
Решение. Применим правила нахождения производной сложной функций
.
5. .
Решение.
1-й способ. Воспользуемся правилом нахождения производной показательно-степенной функции
.
Обозначим ;.
.
2-й способ.Показательно степенную функцию предварительно прологарифмируем, а затем вычислим производную полученного равенства.
; ;
.
6. . Применим логарифмичес-кое дифференцирование.
.
.
.
7. .
Решение. Данная функция задана неявно. Вычислим производную равенства при условии, что – аргумент,, а затем найдём.
;
;
.
2.5. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей и . Если прифункциииодновременно стремятся кили, то предел отношения равен пределу отношения их производных, т.е.
.
При этом предполагается, что функции исуществуют и конечны.
Если же отношение производных также будет представлять случай и , можно снова и снова применять правило Лопиталя.
Если имеются неопределенности типа или, то сначала приводят эти функции к виду дроби, которая представляет неопределенность и , а затем уже используется правило Лопиталя.
Нахождение предела функции в случае неопределенностей вида ,,с помощью логарифмирования также сводится сначала к случаям или , затем уже используется правило Лопиталя.
2.6. Решение типовых примеров задания 5 ргр
Найти пределы, используя правило Лопиталя. Сравнить результаты с решениями задания 1.
1. .
Решение. Неопределенность вида . Используем правило Лопиталя.
.
2. . Неопределенность вида .
Решение.
.
3.. Неопределенность вида .
Решение.
=.
4. . Неопределенность вида .
Решение.
.
5. . Неопределенность вида .
Решение.
.
6. .
Решение. Неопределенность вида . Прологарифмируем данную функцию сведем неопределенность к видуи применим правило Лопиталя
;
.
Отсюда ; .
Ответы совпадают с результатами решения примеров задания 1.