- •ВыСшая математика
- •Линейная, векторная алгебра
- •И аналитическая геометрия
- •Методические указания
- •3. Аналитическая геометрия на плоскости …………… 23
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Определители. Вычисление определителей
- •1.2. Матрицы и их свойства
- •1.3. Решение систем линейных уравнений
- •1.4. Решение типовых примеров задания 1 ргр
- •2. Векторная алгебра
- •2.1. Векторные и скалярные величины. Разложение вектора по координатным осям
- •2.2. Скалярное произведение двух векторов
- •. Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
- •2.3.1. Решение типовых примеров задания 3 ргр
- •2.4. Смешанное произведение трех векторов
- •2.4.1. Решение типовых примеров задания 4 ргр
- •3. Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Длина и направление отрезка. Деление отрезка а заданном отношении. Площадь треугольника.
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом , (3.8)
- •. Уравнение прямой в отрезках на осях
- •Условие параллельности прямых
- •3.3. Кривые второго порядка в прямоугольной системе координат
- •3.3.1. Решение типовых примеров заданий 6, 7 ргр
- •3.4. Кривые второго порядка в полярной системе координат. Параметрические уравнения плоских кривых
- •Некоторые типы кривых на плоскости, заданных
- •4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Плоскость . Основные уравнения плоскости
- •2. Направляющие косинусы нормали определяются по формулам
- •3. Условие параллельности плоскостей
- •4.1.1. Решение типовых примеров задания 8 ргр
- •4.2. Прямая линия в пространстве. Пересечение прямой и плоскости
- •4.2.1. Решение типовых примеров заданий 9, 10 ргр
- •Задания расчетно-графической работы №1 Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Формулы элементарной математикИ
- •7. Формулы двойного угла
- •8. Формулы понижения степени
- •9. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
- •Приложение 4 Номера индивидуальных заданий Две последние цифры номера зачетной книжки
- •Номера индивидуальных заданий Две последние цифры номера зачетной книжки
- •Расчетно-графическая работа
4.2. Прямая линия в пространстве. Пересечение прямой и плоскости
.Основные уравнения прямой линии
1. Прямая линия в пространствев общем видезадается пересечением двух плоскостей:
(4.12)
2.Каноническое уравнениепрямой
Положение прямой в пространстве
можно определить также данной точкой
, лежащей на прямой и
направляющим вектором
(рис. 4.3). Тогда получим каноническое
уравнение прямой
. (4.13)
Если знаменатели (4.13) разделить на , то получим
, или, (4.14)
где ,,углы, образованные прямой с осями координат,,.
3. Параметрические уравнениепрямой, проходящей через точкув направлении вектораимеют вид
(4.15)
где параметр.
4. Уравнение прямой, проходящей черездве заданные точкии
. (4.16)
. Основные задачи на прямую линию
1. Угол между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями
и
, (4.17)
Знак « + » соответствует выбору острого угла, знак « – » – тупого угла.
. Если прямая задана каноническими уравнениями
, а плоскость , то:
1. Координаты точки пересечения прямой и плоскости находится по формулам
(4.18)
где параметр . (4.19)
2. Угол между прямой и плоскостью (рис. 4.4)
. (4.20)
3. Уравнение пучка плоскостей
. (4.21)
4. Условие параллельностипрямой и плоскости
. (4.22)
5. Условие перпендикулярностипрямой и плоскости
. (4.23)
4.2.1. Решение типовых примеров заданий 9, 10 ргр
1. Заданы прямая и координаты точки. 1. Написать канонические уравнения:а) прямой, заданной пересечением двух плоскостей,б) прямой, проходящей через заданные точки.
2. Найти острый угол между этими прямыми.
,.
Решение. 1.а) Найдем какую-нибудь точуна данной прямой. Для этого положим в обоих уравненияхи решим систему уравнений
Таким образом, точка принадлежит данной прямой.
Направляющий вектор найдем по формуле
,
то есть он имеет координаты , или, разделив на общий множитель, получим.
Тогда запишем каноническое уравнение прямой
.
б) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точкииимеет вид (4.16). По условию задачи,, поэтому искомое уравнение
или.
2. Угол между двумя прямыми найдем по формуле (4.17)
.
В нашем случае ,,;,,.
Косинус острого угла положителен, поэтому
.
;рад;.
Ответ: 1.а),б). 2..
2. Заданы прямая в пространствеи плоскость.
Найти: 1) точку пересечения прямой и плоскости; 2) острый угол между прямой и плоскостью.
Решение. 1) Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Для этого определим параметрпо формуле (4.19).
В нашем случае
.
Теперь найдем координаты точек пересечения прямой и плоскости
; ; .
2) Угол между прямой и плоскостью определим по как
.
Синус острого угла положителен, поэтому
.
рад;.
Ответ:1). 2).