- •ВыСшая математика
- •Линейная, векторная алгебра
- •И аналитическая геометрия
- •Методические указания
- •3. Аналитическая геометрия на плоскости …………… 23
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Определители. Вычисление определителей
- •1.2. Матрицы и их свойства
- •1.3. Решение систем линейных уравнений
- •1.4. Решение типовых примеров задания 1 ргр
- •2. Векторная алгебра
- •2.1. Векторные и скалярные величины. Разложение вектора по координатным осям
- •2.2. Скалярное произведение двух векторов
- •. Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
- •2.3.1. Решение типовых примеров задания 3 ргр
- •2.4. Смешанное произведение трех векторов
- •2.4.1. Решение типовых примеров задания 4 ргр
- •3. Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Длина и направление отрезка. Деление отрезка а заданном отношении. Площадь треугольника.
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом , (3.8)
- •. Уравнение прямой в отрезках на осях
- •Условие параллельности прямых
- •3.3. Кривые второго порядка в прямоугольной системе координат
- •3.3.1. Решение типовых примеров заданий 6, 7 ргр
- •3.4. Кривые второго порядка в полярной системе координат. Параметрические уравнения плоских кривых
- •Некоторые типы кривых на плоскости, заданных
- •4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Плоскость . Основные уравнения плоскости
- •2. Направляющие косинусы нормали определяются по формулам
- •3. Условие параллельности плоскостей
- •4.1.1. Решение типовых примеров задания 8 ргр
- •4.2. Прямая линия в пространстве. Пересечение прямой и плоскости
- •4.2.1. Решение типовых примеров заданий 9, 10 ргр
- •Задания расчетно-графической работы №1 Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Формулы элементарной математикИ
- •7. Формулы двойного угла
- •8. Формулы понижения степени
- •9. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
- •Приложение 4 Номера индивидуальных заданий Две последние цифры номера зачетной книжки
- •Номера индивидуальных заданий Две последние цифры номера зачетной книжки
- •Расчетно-графическая работа
1.3. Решение систем линейных уравнений
Рассмотрим три способа решения систем линейных уравнений: по формулам Крамера, матричным способом, методом Гаусса.
Пусть дана система линейных уравнений
(1.5)
. При решении системы (1.5)по формулам Крамера, неизвестные находятся из соотношений:
,, …,, (1.6)
где определитель системы,,, …,определители неизвестных, которые получаются иззаменой его первого, второго и т.д. столбца соответственно столбцом свободных членов.
. Решение системы линейных уравнений (1.5)матричным способом.
Если ввести матричные обозначения
,,,
то систему можно записать матричным уравнением
. (1.7)
Решение системы матричным методом определяется соотношением
. (1.8)
То есть, чтобы решить систему (1.5), необходимо найти матрицу , обратную до матрицы системы, и умножить ее на матрицу свободных членов (см. раздел 1.2).
Формулу (1.8) называют матричной записью решения системы(1.5) илирешением матричного уравнения(1.7).
. Решение систем линейных уравненийметодом Гаусса.
Одним из наиболее простых методов решения систем линейных уравнений есть метод непосредственного исключения неизвестных или метод Гаусса. Этот метод предложен К. Гауссом и базируется на элементарных преобразованиях системы уравнений, или проще, расши-ренной матрицы.
Расширенной матрицей системы линейных уравнений (1.5) называют матрицу коэффициентов системы с добавленным еще одним столбцом свободных членов, который отделяется черточкой, т.е.
. (1.9)
Под элементарными преобразованиями расширенной матрицы подразумевается следующее:
перестановка любых двух строк матрицы;
2) умножение какой-либо строки матрицы на любое, отличное от нуля число;
3) прибавление к любой строке матрицы соответствующих членов другой строки, умноженных на одно и то же число.
Идея метода Гауссасостоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к равносильной матрице треугольного (или трапециевидного) вида.
Затем, по полученной расширенной матрице восстанавливается равносильная система линейных уравнений, из которой последовательно находятся все неизвестные.
1.4. Решение типовых примеров задания 1 ргр
1. Решить систему алгебраических уравнений
а) по формулам Крамера,б) матричным способом,в) методом Гаусса.
Решение.
а) Решим задачу по формулам Крамера, которые имеют вид
,,,
где – определитель системы уравнений;,,– определители неизвестных, полученные иззаменой его первого, второго и третьего столбца соответственно, столбцом свободных членов.
Запишем определители ,,,и раскроем их:
Теперь найдем неизвестные ,,по формулам (1.6)
;;.
Ответ:;;.
б) Решим систему уравнений матричным способом.
Обозначим через матрицу исходной системы уравнений, черезвектор-столбец неизвестных и черезвектор-столбец свободных членов:
, ,
Если система линейных уравнений в матричном виде записывается , то матрица неизвестных находится из уравнения.
Для нахождения матрицы неизвестных найдем обратную матрицу (см. раздел 1.2) и умножим ее на матрицу-столбец свободных членов.
Так как матрица невырожденная, (как было определено ранее, (), то для нее существует обратная матрица.
Обратную матрицу найдем в следующей последовательности:
1) Запишем транспонированную матрицу , т.е. матрицу, в которой строки матрицызаменены ее столбцами с тем же номером
.
Обратную матрицу можно получить по формуле:
,
где – определитель матрицы,– алгебраические дополнения (миноры), равные определителям, которые получаются с помощью вычеркивания-й строки и-го столбца транспонированной матрицы, взятые со знаком.
Найдем алгебраические дополнения транспонированной матрицы :
;;;
;;;
;;.
Таким образом, ,
а решение системы уравнений равно
.
Найдем значения , , .
= ;
= ;
=.
Подставляя вместо , , числовые значения, получим:
.
Ответ:;;.
в) Решим систему уравнений методом Гаусса.
Запишем расширенную матрицу системы
и сделаем элементарные преобразования.
Сделаем коэффициент равным единице и обнулим коэффициенты,и.
Для этого:
а) поменяем местами первую и вторую строки, а затем вычтем из первой строки вторую. Результат запишем на место первой строки
~
~
б) вычтем из второй строки первую, умноженную на 2. Результат запишем на место второй строки
~
~
в) вычтем из третей строки первую, умноженную на 4. Результат запишем на место третей строки
~
~
г) умножим вторую строку на 19, а третью на 13. Затем вычтем из третей строки вторую и результат запишем на место третей строки
~
Осуществим обратный ход метода Гаусса, восстановив равносильную систему по расширенной матрице
Из последнего уравнения имеем .
Подставляем это значение во второе уравнение и находим
.
Подставляя значения ив первое уравнение находим:
.
Ответ:;;.