- •ВыСшая математика
- •Линейная, векторная алгебра
- •И аналитическая геометрия
- •Методические указания
- •3. Аналитическая геометрия на плоскости …………… 23
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Определители. Вычисление определителей
- •1.2. Матрицы и их свойства
- •1.3. Решение систем линейных уравнений
- •1.4. Решение типовых примеров задания 1 ргр
- •2. Векторная алгебра
- •2.1. Векторные и скалярные величины. Разложение вектора по координатным осям
- •2.2. Скалярное произведение двух векторов
- •. Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
- •2.3.1. Решение типовых примеров задания 3 ргр
- •2.4. Смешанное произведение трех векторов
- •2.4.1. Решение типовых примеров задания 4 ргр
- •3. Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Длина и направление отрезка. Деление отрезка а заданном отношении. Площадь треугольника.
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом , (3.8)
- •. Уравнение прямой в отрезках на осях
- •Условие параллельности прямых
- •3.3. Кривые второго порядка в прямоугольной системе координат
- •3.3.1. Решение типовых примеров заданий 6, 7 ргр
- •3.4. Кривые второго порядка в полярной системе координат. Параметрические уравнения плоских кривых
- •Некоторые типы кривых на плоскости, заданных
- •4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Плоскость . Основные уравнения плоскости
- •2. Направляющие косинусы нормали определяются по формулам
- •3. Условие параллельности плоскостей
- •4.1.1. Решение типовых примеров задания 8 ргр
- •4.2. Прямая линия в пространстве. Пересечение прямой и плоскости
- •4.2.1. Решение типовых примеров заданий 9, 10 ргр
- •Задания расчетно-графической работы №1 Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Формулы элементарной математикИ
- •7. Формулы двойного угла
- •8. Формулы понижения степени
- •9. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
- •Приложение 4 Номера индивидуальных заданий Две последние цифры номера зачетной книжки
- •Номера индивидуальных заданий Две последние цифры номера зачетной книжки
- •Расчетно-графическая работа
2. Векторная алгебра
2.1. Векторные и скалярные величины. Разложение вектора по координатным осям
. Основные определения.
Величина называется скалярной, если она определяется заданием ее числового значения, ивекторной, если для ее определения задается еще и ее направление.
Два вектора называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых (или на одной прямой), независимо от того, направ-лены ли они одинаково или их направления противоположны.
Если векторы лежат в одной плоскости или в плоскостях, параллельных между собой, то они называются компланарными.
Вектор, модуль которого равен 1, называется единичнымвектором.
. Разложение вектора по базису ,,.
Система трех векторов ,,, называется декартовым прямоугольным базисом.
Всякий вектор в пространстве можно представить как сумму трех векторов, один из которых расположен на оси , второй на осии третий – на оси
, (2.1)
где единичные векторы, направленные вдоль координатных осей.
Модуль вектора равен
. (2.2)
. Действия над векторами.
Если и– координаты начала и конца вектора, то:
– координаты вектора проекции
; (2.3)
– модуль вектора
; (2.4)
– его направляющие косинусы
;. (2.5)
2.2. Скалярное произведение двух векторов
.Скалярным произведениемдвух векторовиназывается число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:
. (2.6)
Углом между векторами иназывается
угол , на который следует повернуть один из
векторов для того, чтобы их направления совпали
(рис. 2.2.)
. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов.
Если векторы изаданы своими проекциями на оси координат
,,
то скалярное произведениеэтих векторов равно сумме произведений одноименных проекций перемножаемых векторов.
. (2.7)
. Угол между векторами. Из уравнения (2.6) с учетом (2.7) следует
. (2.8)
. Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
Если ,, то:
– условие параллельностивекторов
, (2.9)
– условие перпендикулярностивекторов
. (2.10)
.Механический смысл скалярного произведения
равна ,
или, согласно (2.6) .
Поэтому работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения . В этом сутьмеханического смысла скалярного произведения.
2.2.1. Решение типовых примеров задания 2 РГР
1. Найти внутренние углы,итреугольника, с вершинами,,и убедиться, что их сумма равна.
Решение. Найдем координаты векторов,,, согласно (2.3) и противоположные им вектора,,,учитывая, что составляющие последних имеют знаки, противоположные составляющим основных векторов
.
,;
, ;
, .
Вычислим длины сторон треугольника по формуле (2.4):
.
;
;
.
Найдем косинусы углов между векторами по формуле (2.8):
.
.
.
.
Проверка:.
Ответ: ; ; .
2.3. Векторное произведение двух векторов
Тройка некомпланарных векторов называетсяправой,если при вращении буравчика в направлении от векторак векторунаправление поступательного движения буравчика образует острый угол с направлением вектора. Если же угол тупой, то тройка называетсялевой.
.Векторным произведением двух векторовназывается вектор, который удовлетворяет следующим условиям:
1) длина вектора равна, где; (2.11)
2) вектор перпендикулярный каждому из векторов, т.е.и;
3) вектор , направлен так, что векторы,иобразуют правую тройку векторов. Векторное произведение обозначают одним из символов:
.
. Есливекторызаданысвоими проекциями на координатные оси и, товекторное произведение определяется формулой. (2.12)
. Геометрический смысл векторного произведения.
М
. (2.13)
. Приложения.
Момент силы , приложенной к
точке относительно точкиО, равен
векторному произведению силы на
вектор :
.
2. Скорость точкитвердого тела, которая вращается с угловой скоростьювокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера
.
3. Если электрон, с зарядом движется со скоростьюв магнитном поле постоянной напряженности, то на электрон действует сила
.
4. Площадь , равна половине площади параллелограмма
. (2.14)