3.4. Кривые второго порядка в полярной системе координат. Параметрические уравнения плоских кривых

На практике часто приходится иметь дело с кривыми на плоскости, которые не являются кривыми второго порядка, в частности с кривыми третьего, четвертого и высших порядков. Наиболее часто они описывают некоторые траектории движения точек, которые удовлетворяют определенные условия. В большинстве случаев их уравнения можно записать в полярных координатах или в параметрическом виде, что существенно упрощает изображение этих кривых.

Для построения кривых в полярной системе координат задают определенные значения и находят соответствующие значения. Для удобства результаты вычислений заносят в таблицу. Построивши соответствующие точки, получают график кривой.

.Полярная система координат

Если на плоскости зафиксировать

точку (полюс) и луч(полярную

ось), то получим полярную систему

координатв которой положение любой

точки плоскости определяется ее

расстоянием от точки, а

также углом , который

образует луч с полярной осью.

При этом угол получают поворо-

том полярной оси против часовой стрелки до совпадения с лучом .

Числа иназываютполярными координатамиточки(рис. 3.13).

. Рассмотрим некоторые линии, уравнения которых заданы в полярной системе координат.

1. окружность с центром в полюсе и радиусом, равным.

2. Кривую, которая описывается

точкой окружности с радиусом,

катящейся без скольжения по окруж-

ности равного радиуса, касаясь ее внеш-

шним образом, называют кардиоидой.

Уравнение кардиоиды в полярной

системе координат имеет вид (рис. 3.14)

. (3.31)

Заметим, что название кривой свя-

зано с тем, что ее форма напоминает

сердце.

3. Спираль Архимеда– это траек-

тория точки, которая равномерно дви-

жется (со скоростью ) вдоль прямой

мой, которая равномерно вращается

(с угловой скоростью ) вокруг задан-

ной точки – полюса.

Ее уравнение в полярных коррди-

натах (рис. 3.15)

, (3.32)

гдепараметр спирали.

4. Четырехлепестковая роза

образуется множеством основ перпенди-

дикуляляров опущенных с вершины

прямого угла на отрезок постоянной

длины, концы которого скользят по сто-

ронах этого прямого угла (рис. 3.16).

Уравнение этой кривой в поляр-

ных координатах

(3.33)

Заметим, что уравнение

определяет лепестковую розу,

причем роза имеет лепестков, если

нечетное число, илепестков, есличетное. Кроме этого роза полностью размещается внутри окружности радиуса.

5. Лемниската Бернуллиобразуется множеством всех точек плоскости, для каждой из которых

произведение расстояний до двух

заданных точек и, есть вели-

чиной постоянной и равно квадра-

ту половины расстояния между

этими точками (рис. 3.17).

Уравнение лемнискаты в

полярных координатах

. (3.34)

. Приведем примеры некоторых линий, уравнения которых заданы параметрически.

1. Параметрические уравнения

эллипса

,,. (3.35)

В параметрических уравнениях

эллипса параметр есть угол, образо-

ванный радиусом с осью абсцисс

(рис. 3.18).

2. Астроида– это траектория

точки окружности радиуса , кото-

рая котится без скольжения по

внутренней стороне окружности

радиуса (рис. 3.19).

Параметрическое уравнение

астроиды имеет вид

;,

. (3.36)

3. Циклоида – это траектория,

фиксированной точки окружности

радиусом , которая катится без

скольжения вдоль прямой – оси

(рис. 3.20).

Параметрическое уравнение

астроиды имеет вид

; ,

. (3.37)

Уравнения приведенных кривых в полярных координатах и заданных в параметрическом виде приведены в таблице.