6. Математические методы анализа систем

6.1. Математическое описание систем и их свойств

Существенными свойствами систем являются наличие связей между элементами и процесс преобразования, происходящий в системе. Система считается полностью определенной, если известны элементы, связи между ними и наблюдаемые величины, используемые для описания системы. Определение системы должно учитывать ее существенные свойства. В качестве элементов могут выбираться объекты, их свойства, величины и значения величин. Следует различать элементы исходного множества, на котором строится система, и элементы системы, которые сами могут быть множествами. При формальном описании системы в качестве ее элементов обычно используются свойства и величины. Необходимо иметь в виду, что любая формализация основана на упрощениях и учитывает лишь некоторые аспекты понятия. В символьном виде система определяется как множество элементов с отношениями

, (6.1.1)

где … – множества элементов, а…– отношения, определяющие связи элементов одного или нескольких множеств, причем элементами здесь являются объекты. Вводя обозначения элементов, имеем

, (6.1.2)

где индексы независимо пробегают некоторое множество . Приведем два определения, оперирующие величинами. В первом из них система рассматривается, как подмножество, задаваемое в пространстве величин, при этом отношение не определяется в явном виде. Второе определение рассматривает систему, как преобразователь входных величин в выходные, т.е. с точки зрения процессов, происходящих в системе. Это определение характерно для класса автоматов.

Определение 1. Системой называется отношение на непустых множествах

, (6.1.3)

где – символ декартова произведения;I – множество индексов; V_i – элементы системы. Если I конечно, то (6.1.3) принимает вид

. (6.1.4)

Пусть множества ,образуют разбиение множества элементовV, при этом выполняются соотношения Æ и . Множествоназывается входным элементом (входом), а– выходным элементом (выходом) системы. Тогда системаназывается системой “вход – выход”. ЕслиS является функцией, то соответствующая система называется функциональной. Связь между входом и выходом системы может задаваться в виде обычной функции, оператора или матрицы.

Определение 2 (для системы с конечным числом состояний). Система определяется в виде кортежа (упорядоченного набора элементов)

, (6.1.5)

где X – множество допустимых входов; Y – множество допустимых выходов; – множество допустимых состояний,– функция перехода из одного состояния в другое,– функция выхода.

Таким образом, система формально определяется в терминах ее наблюдаемых величин и взаимосвязей между ними, при этом их конкретная интерпретация может быть различной. Это отражает суть системного подхода, направленного на выяснение организации и взаимосвязей элементов систем вне зависимости от их природы.

Приведенные определения допускают обобщение на нечеткий случай. Нечеткая система определяется выражениями вида (6.1.1) – (6.1.5), в которых– нечеткие множества,– нечеткие отношения,– нечеткие функции. Нечеткое множество определяется в виде, аналогично задаются нечеткое отношениеи нечеткая функция.

Аксиоматический подход к понятию сложности. Понятие сложности является многоаспектным. В разделе 2 рассматривалась вычислительная сложность. В общем случае сложность системы не может быть измерена в абсолютной мере, а только в шкале порядка, т.е. с точностью до монотонного преобразования. Однако для класса систем, относящихся к автоматам, можно определить понятие сложности с помощью аксиом таким образом, что оказывается возможным ее измерение в шкале отношений. Для структурной сложности имеют место следующие аксиомы:

1. Иерархия. Если , то, т.е. сложность подсистемы не может быть больше, чем сложность всей системы.

2. Параллельное соединение. Если , то , т.е. при параллельном соединении подсистем сложность суммарной системы определяется наиболее сложной ее частью.

3. Последовательное соединение. Если , то, т.е. сложность системы не больше суммарной сложности подсистем.

4. Соединение с обратной связью. Для этого соединения имеем

, где  – сложность обратной связи из в_.

5. Нормализация. для всех , т.е. в множестве систем существует подмножество “элементарных” систем, сложность которых равна нулю.

Здесь предполагается, что измерение сложности проводится в шкале отношений с одной степенью свободы и фиксированным нулем, т.е. результат измерения выражается числом. В качестве меры сложности в этом случае можно выбрать, например, число элементов в системе или число отношений между элементами.

Приведенных аксиом оказывается достаточно для определения мер структурной сложности систем, задаваемых различными способами. Для систем с конечным числом состояний эти аксиомы однозначно определяют меру сложности, причем их количество является минимальным. Эти аксиомы также удобны при алгебраическом подходе к анализу и оценке сложности.

Рассмотрим применение аксиом для оценки сложности систем с различной структурой. Для последовательно-параллельной структуры, состоящей из последовательных уровней, на каждом из которых имеется соответственно параллельных элементов, сложность определяется выражением

, (6.1.6)

где – сложность элементапервого уровня и т.д.

Для сетевых структур сложность оценивается с помощью второй и четвертой аксиом. Например, сложность сетевой структуры, состоящей из элементов, в которой каждый элемент связан со всеми другими (многоугольник с диагоналями), определяется выражением

, (6.1.7)

где – сложность элемента,– сложность связи элементови.

Сложность поведения, вообще говоря, не определяется приведенными выше аксиомами. Аксиома иерархичности может нарушаться, если при переходе от системы к подсистеме или наоборот меняется тип поведения. Аксиома нормализации не может быть установлена, так как измерение сложности поведения осуществляется в шкале порядка. Имеет место аксиома типовой сложности

, (6.1.8)

где индекс (1) относится к детерминированному поведению, индекс (2) – к случайному, индекс (3) – к нечеткому.

Можно подойти к определению сложности поведения формально, т.е. считать, что, чем сложнее структура системы, тем сложнее ее поведение. Тогда в пределах типа могут быть сохранены аксиомы, сформулированные для сложности структуры, однако они не являются вполне адекватными. Если тип поведения меняется при переходе от системы к подсистемам или наоборот, то происходит скачкообразное изменение сложности. Аксиоматический подход может быть реализован для класса автоматов в пределах детерминированного типа поведения. В качестве систем с «элементарным» поведением в этом случае можно выбрать одношаговую детерминированную машину Тьюринга, а в качестве меры сложности поведения системы – функцию преобразования. Распространение аксиом на другие типы поведения (случайное и нечеткое) довольно проблематично.