6.2. Методы изучения структуры систем

Топологический анализ. Для изучения структуры взаимосвязей элементов системы используется так называемый топологический анализ, или анализ связности, оперирующий понятиями комплекса, симплекса, q-связности и эксцентриситета. Этот анализ определяет структуру связей (связность) подсистем в системе.

Симплициальный комплекс – обобщение понятия планарного графа, отражающее многомерную природу рассматриваемого бинарного отношения между элементами системы. Рассмотрим систему, представленную в виде множества пар элементов, связанных некоторым отношением R. Тип отношения может быть различным: соответствие, подобие, сходство, различие и т.п., что не играет роли. Имеем

. (6.2.1)

Отношение R порождает множество многомерных связей между элементами. Анализировать можно как связи элементов множества X, так и связи элементов множества Y. Любой элемент множества X (или Y) со связями называется симплексом. Объединение симплексов образует комплекс. Обозначение симплекса или. Обозначение комплексаили. Задача изучения структуры связности комплексаK сводится к построению так называемых классов q-эквивалентности. Для каждого значения размерности q = 0, 1, … , dimK (где dimK – максимальная размерность комплекса) можно определить число различных классов эквивалентности q_q. Эта операция называется q-анализом комплекса K, а вектор – первым структурным вектором комплекса.

Симплекс называетсяq-мерным (q-связным), если он содержит не менее q+1 элементов, удовлетворяющих отношению R (число единиц в соответствующей симплексу строке матрицы инциденций). Если два симплекса q-связны, то, очевидно, что они также q-1, q-2, … ,0-связны в комплексе K.

В качестве примера рассмотрим q-анализ системы “приборы – величины”. Пусть множество X состоит из измерительных приборов , а множество Y из измеряемых величин . Интерпретация приборов и величин в данном случае не имеет значения. Определим отношение R такое, что , если «приборомможно измерить величину». Матрица инциденций этого отношения приведена в табл.9. Она составлена в известной мере произвольно, но так, чтобы показать особенности анализа связности.

Результаты q-анализа имеют вид

q=5; q₅=1, одна компонента, состоящая из симплекса {x₄};

q=4; q₄=1, одна компонента, состоящая из симплекса {x₄};

q=3; q₃=2, две компоненты, состоящие из симплексов {x₄}, {x₁₅};

q=2; q₂=3, три компоненты, состоящие из симплексов {x₄}, {x₁₅}, {x₁};

q=1; q₁=2, две компоненты {x₁, x₄, x₉, x₁₂, x₁₄, x₁₅}, {x₅};

q=0; q₀=1, одна компонента {все x, за исключением x₇, x₁₀}.

Здесь q – степень (уровень) связности; q_q – число компонентов связности q; {×} – множество симплексов, имеющих связность q. Как видно из результатов анализа, с уменьшением степени связности некоторые симплексы объединяются в один компонент. Для объединения двух симплексов необходимо, чтобы для степени связности q они имели не менее q+1 общих связей (число единиц в одних и тех же столбцах матрицы инциденций).

Таблица 9

Матрица инциденций

R	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8	y9	y10	y11	y12	y13	y14
x1	0	0	1	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0
x2	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
x3	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
x4	0	1	0	0	1	1	0	1	0	1	1	0	0	0
x5	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0
x6	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
x7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
x8	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
x9	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
x10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
x11	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
x12	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0
x13	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
x14	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
x15	0	0	1	0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0

Структурный вектор комплекса равен: q = (1, 1, 2, 3, 2, 1). Таким образом, комплекс связан для больших и малых q, а для промежуточных значений связности распадается на несколько несвязных компонентов. Существование на уровне более чем одного компонента означает, что существует дваn-мерных симплекса (прибора), которые не являются n-связными.

Введем вектор препятствия , где– единичный вектор. Компоненты вектораD являются мерой препятствия свободному обмену информацией в комплексе на каждом уровне размерности (связности). Если на каком-то уровне компонент вектора D равен 0, то препятствие отсутствует. В рассматриваемом примере имеется препятствие на уровне q=3 (соответствующий компонент вектора D не равен 0). Это означает, что симплексы (приборы) x₄ и x₁₅, хотя каждый из них может измерить, по крайней мере, четыре величины, не связаны (прямо или косвенно) никакими четырьмя величинами, и, следовательно, свободный обмен величинами между приборами x₄ и x₁₅ на уровне q=3 невозможен. Таким образом, вектор препятствий является индикатором возможных вариантов выбора измеряемых величин для приборов на каждом уровне связности.

Проведенный q-анализ дает возможность изучения связности структуры, но не несет информации о том, как каждый отдельный симплекс входит в комплекс. Для оценки степени интегрированности каждого симплекса в структуре всего комплекса используют понятие эксцентриситета. Эксцентриситет определяется выражением

, (6.2.2)

где – максимальная размерность (степень связности) симплекса;– наибольшее значение , при котором становится связанным с каким-либо другим симплексом. Если симплексу соответствует строка из нулей в матрице инциденций, то формально полагают для него. Результаты расчетов для рассматриваемого примера приведены в табл.10.

Таблица 10