2.Рабочие учебные материалы

2.1.Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)

Введение (1 час)

[7], с.8…15

При изучении дисциплины «Математика 2» Вы не только продолжаете накопление знаний по традиционным разделам математики, но и знакомитесь с материалом, составляющим основы прикладной и дискретной математики, получивших широкое развитие с возникновением компьютеров.

Математиков всегда интересовало доведение расчётов «до числа», поэтому развитие численных методов привело к способности рассмотрения сложных моделей всевозможных явлений в различных отраслях знаний – от астрономии и физики, до экономики и психологии. Это проложило дорогу от открытия неизвестной ранее планеты Нептун, до возможности отказаться от ядерных испытаний, от исследования простейших экономических моделей, до анализа нейронных сетей и расчётов политической стабильности общества.

Естественно, что взрывное развитие компьютеров расширило возможности вычислительной математики. В данном курсе вы не только познакомитесь со многими её задачами, но и научитесь эффективно решать их, используя компьютер. В настоящий момент все решения доведены до реализации их в Excel, хотя понятно, что табличный офисный процессор не предназначен для использования во всех задачах, поэтому существует настоятельная необходимость изучения и овладевания современными математическими пакетами MathCad, Maple, Mathematica, Matlab. В условиях временно´го дефицита при заочной форме обучения это потребует большой самостоятельной работы, но кафедра уже сейчас готова оказывать вам помощь в этом деле.

Раздел 1. Численные методы (59 часов)

Тема 1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений (2 часа)

[7], с.8 … 35

Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. О вычислительной погрешности. Погрешности функций.

Тема 1.2. Интерполяция и численное дифференцирование (8 часов)

[7], с.35 … 85

Постановка задачи приближения функции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена. Разделенные разности. Интерполяционная формула Ньютона. Уравнения в конечных разностях.

6

Многочлены Чебышева. Обратная интерполяция. Ортогональные системы. Численное дифференцирование. Погрешности формул численного дифференцирования.

Тема 1.3. Численное интегрирование (9 часов)

[7], с.86 …164

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Гаусса. Задачи оптимизации. Формулы Эйлера и Грегори. Формулы Ромберга. Стандартные программы численного интегрирования. Построение программ с автоматическим выбором шага интегрирования.

Тема 1. 4. Приближение функций (9 часов)

[7], с.164 … 200

Наилучшие приближения в разных пространствах. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Наилучшее равномерное приближение. Итерационный метод. Интерполяция и приближение сплайнами.

Тема 1.5. Многомерные задачи (8 часов)

[7], с.201 … 250

Методы неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов и регуляризации. Сведение многомерных задач к одномерным. Метод МонтеКарло. Выбор метода решения задачи.

Тема 1. 6. Численные методы алгебры (7 часов)

[7], с.250 … 324

Методы последовательного исключения, ортогонализации и простой итерации. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов. Метод Зайделя и наискорейшего спуска. Метод Монте-Карло решения систем линейных уравнений. Проблема собственных значений.

Тема 1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации (8 часов)

[7], с.324 … 360

Простые итерации, метод Ньютона и метод спуска. Методы уменьшения размерности. Решение стационарных задач методом установления. Целевая функция.

7

Тема 1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (8 часов)

[7], с.360 … 495

Решение задачи Коши: разложение в ряд и методы Рунге-Кутта. Контроль погрешности на шаге. Конечно-разностные методы. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование систем уравнений. Краевые задачи. Функция Грина. Нелинейные краевые задачи. Метод прогонки.

Раздел 2. Теория функций комплексного переменного (70 часов)

Тема 2.1. Комплексные числа и действия над ними (4 часа )

[6], c. 10 … 15

Определение комплексного числа (к.ч.). Геометрическая интерпретация к.ч. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы к.ч. Действия с к.ч. в различных формах.

Тема 2.2. Функции комплексного переменного (ФКП). Условия Коши-Римана (8 часов)

[6], c.15 … 22

Определение ФКП. Предел и непрерывность. Производная и дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Регулярность. Гармонические функции.

Тема 2.3. Элементарные функции и конформные отображения (12 часов)

[6], c.22 … 38

Линейная ФКП. Геометрический смысл производной. Дробно-линейная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и гиперболические ФКП.

Тема 2.4. Представление регулярных функций интегралами (16 часов)

[6], c.39 … 59

Интеграл от ФКП. Свойства интеграла. Теорема Коши. Интеграл с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления.

Тема 2.5. Представление регулярных функций рядами (16 часов)

[6], c.59 … 75

Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряд Тэйлора. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.

8

Тема 2.6. Вычеты функций и их применения (14 часов)

[6], c.75 … 94

Теорема Коши о вычетах. Вычисление вычетов. Вычет в бесконечно удалённой точке. Приложение вычетов к вычислению интегралов.

Раздел 3. Дискретная математика (20 часов)

Тема 3.1. Элементы теории графов (8 часов)

[8], c.161 … 260

Основные определения. Типы задач. Задача о построении кратчайшего пути. Алгоритм Дейкстры. Остовное дерево. Алгоритм ближайшего соседа.

Тема 3.2. Формальные языки и дискретные автоматы (4 часа)

[8], c.94 … 101

Структура формального языка. Построение слов. Дискретные автоматы с памятью и без. Сумматор.

Тема 3.3. Элементы алгебры логики (8 часов)

[8], c.23 … 90

Высказывания. Основные логические операции. Булевы функции и нормальные формы. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы. Полные системы булевых функций и базис. Нахождение сокращённой ДНФ методом Квайна. Построение минимальных ДНФ методом Петрика. Технические применения алгебры логики.

9