4.2. Задания на контрольные работы № 7,8

Номера задач выбираются по таблице в соответствии с последними двумя цифрами шифра и первой буквой фамилии. Например, студент Иванов, шифр 1- 45-5815, решает в контрольной работе 7 - задачи 85, 91, 101, 111, в контрольной работе 8 - задачи 125,135,141,151.

Последняя					1		2	3	4	5	6	7	8	9	0
цифра шифра
Номер	контрольной работы	7			81		82	83	84	85	86	87	88	89	90
		8			121		122	123	124	125	126	127	128	129	130
					131		132	133	134	135	136	137	138	139	140
Предпоследняя					1		2	3	4	5	6	7	8	9	0
цифра шифра
Номер	контрольной работы	7			91		92	93	94	95	96	97	98	99	100
					101		102	103	104	105	106	107	108	109	110
		8			141		142	143	144	145	146	147	148	149	150
Первая буква					А,		Б,	В,	Г,	Д,З	Е,	Ж,	К	П	У,Ш
	фамилии				И		ОЦ	НХ	ФЯ	Л	МР	СЧ	Э	Щ	Ю
					Т
Номер	контрольной работы	7			111		112	113	114	115	116	117	118	119	120
		8			151		152	153	154	155	156	157	158	159	160
							Контрольная работа №7
	В задачах 81-86 разложить функции y f (x) в ряд Фурье; построить
график заданной функции
		1,		при 2 x 0,
81.
	f (x) x			, при 0		x 2.
		2
									154

	82.	-2, при 1 x 0,
		f (x)
		2x, при 0 x 1.
		2x,					при x 0,
	83.
		f (x)		, при 0 x 2.
		2
			x		, при x 0,
		-
	84.
		f (x)
		1,		при 0 x .
					при 0 x 3,
		2,
	85.			x
		f (x)							x 3.
						, при 0
				3
				3x					2 x 0,
								, при
	86.			2
		f (x)
		-1, при 0 x 2.

В задачах 87, 88 разложите функцию y f (x) в ряд Фурье по синусам; постройте график заданной функции.

87.	x, при 0 x 1,
	f (x)
	1, при 1< x 2.
	x, при 0			x			,
88.						2
	f (x)
			, при		< x .
		2		2

В задачах 89,90 разложите функцию y f (x) в ряд Фурье по косинусам; постройте график заданной функции.

	x, при 0 x ,
89.					2
	f (x)
			, при		< x .
		2		2
90.	x, при 0 x 1,
	f (x)
	1, при1< x 2.

155

В задачах 91-95 решить методом Фурье волновое уравнение на заданном отрезке с граничными условиями V (0,t) V (l,t) 0 и заданными начальными

условиями.

3x

, 0 4,

91. Vtt" 9Vxx" ;

V (x, 0)

40

Vt' (x,)) 0,

3(8-x)

,4

x 8

40

x(10 x)

92. V " V " ;

V (x, 0) 0;

V ' (x, 0)

; 0 x 10,

tt

xx

t

120

x

, 0 25,

93. Vtt" 16Vxx"

;

V (x, 0) 125

Vt' (x,0) 0,

3(50-x)

,25

x

50

125

x(7 x)

94. V " 49V "

;

V (x,0) 0;

V ' (x, 0)

;

0 x 7,

tt

xx

t

343

x

, 0 x 14,

95. Vtt" 121Vxx" ;

V (x,0)

7

Vt' (x, 0) 0.

28 x

,14

x

28

7

В задачах 96-100 решить методом Фурье уравнение теплопроводности на данном отрезке при заданном начальном условии и граничных условиях

V (0,t) V (l,t)

96.Vt' 4Vxx" ;

97.Vt' 4Vxx" ;

98.Vt' 81Vxx" ;

0.

x , при 0 x 10, V (x, 0) 20

20 x , при 10 x 2.

20

x , при 0 x 20, V (x, 0) 10

40 x , при 20 x 40.

10

x , при 0 x 45, V (x, 0) 45

90 x , при 45 x 90.

45

156

					x		, при 0 x 15,
99. Vt'	36Vxx" ;				60
				V (x, 0)
					30 x				, при 15 x 30.
						60
						x		, при 0 x 35,
100. Vt	' 49Vxx" ;					56
				V (x, 0)
						70 x				, при 35 x	70.
						56
В задачах 101-106 вычислить тройной интеграл по области T, заданной
неравенствами. Сделать чертеж.
101.	T	24	dxdydz : T : x2		y2 z2 , y 1, 0 z 2
		z4

(при вычислении интегралов перейдите к цилиндрическим координатам).

102. 3	x3 zdxdydz;	T : x2 y2 1, x 0, 0 z x, 2 y 2.
T

103.	x2 y2	dxdydz;	x2 y2 2x,0 z 3 y
T	3 y

интегралов перейдите к цилиндрическим координатам).

5 y 1 z

104. T 4 x2 y2 dxdydz; T : x2 y2 z2 4, y 1

(при вычислении

x2 , x 0, y 0 .

105.

T

dxdydz

;

T : x

2

y

2

4, z x

2

y

2

, z 1 (при вычислении

x2 y2

интегралов перейдите к цилиндрическим координатам).

	106.	8x z 1 dxdydz; T : 0 y 1 x2 , y 1 x, 0 z 1 x.
		T
		В задачах 107-110 найти массу тела, заданного неравенствами и
	имеющего заданную плотность . Сделать чертеж.
	107.	0 z x2 y2 1,0 x 2, 0 y 2, 2.
	108.	0 z 1 x2 y2 ,		z	(при вычислении тройного	интеграла
			x2	y2
	перейти к цилиндрическим координатам).
	109.	x y 2, 0 z 4 x2 , x 0, y 0, z 0, z.
	110.	x2 y2 z2 25, x 0, y 0, z 3, z (при вычислении				тройного

интеграла перейти к цилиндрическим координатам).

В задачах 111-120 вычислите поверхностный интеграл. Сделайте чертеж

157

поверхности.

2z d ,

111.

x y

где

- часть плоскости

x y z 2,

ограниченная

5 z

координатными плоскостями.

112.

x 5

dxdz x

1 y2 z2 dxdy;

-

верхняя

сторона

части

z 5

параболического

цилиндра

z 1 x2 ,

ограниченная

круговым

цилиндром

x2 y2 2 y и плоскостью x 0

x 0

. При вычислении интеграла по dxdy

перейдите к полярным координатам.

y2

113.

3 2z d - часть поверхности

цилиндра

z 1

,

ограниченная

2

плоскостями y x, x 0, z 0.

114.

x2 y2 z2d ,

где

-

часть

поверхности

конуса

x2 y2 z2 ,

и z 1 (при вычислении двойного интеграла

ограниченная плоскостями z 0

перейдите к полярным координатам).

115.

y2 z2

y2

z2 1, ограниченная

d , - часть кругового цилиндра

плоскостями x y, x 2 y, z 0(z 0, x 0).

116.

1

dydz y2 x2

z2 dxdz;

-

верхняя

сторона

части

конуса

x3

x2 y2

z2 , ограниченной плоскостями

x 2, z 1 z 1 . При вычислении

интеграла по dydz перейти к полярным координатам.

117.

x2 y2

z2 dydz zdxdy , где

- верхняя

сторона

части

сферы

x 0, y 0, z 0

.

x2 y2 z2 1

При вычислении двойного

интеграла

перейдите к полярным координатам.

118.

2z x dydz x 2z dxdz , где - верхняя сторона части плоскости

x y z 4, ограниченной координатными плоскостями.

119.

ex y

d ,

-

часть

параболического

цилиндра

z y2 1,

z 3y

2

ограниченная координатными плоскостями и плоскостью x y 2.

120.

dxdz

4 y

2

z

2

dxdy ;

-

верхняя

сторона

части

x2 y2

z2 1

158

кругового цилиндра x	z2 4, ограниченная круговым цилиндром
x2 y2 2x и плоскостью	z 0 z 0 . Перейдите к полярным координатам.

Контрольная работа № 8

Взадачах 121-130 найдите градиент скалярного поля и проверьте, является ли скалярное поле U x, y, z гармоническим.

121.U x, y, z 3xy2 z 3xz2 2xy 4z 5,

122.U x, y, z 2xyz 6x2 4 y2 2z2 3,

123.U x, y, z y sin z x cos y xz 2z2 7,

124.U x, y, z x2 y2 xz yz 2 y 1,

125.U x, y, z x2 y yz2 y2 z2 11x 8,

126.U x, y, z x sin y y cos x y2 z 3,

127.U x, y, z yex zey x2 z 27,

128.U x, y, z xy xz yz 2x 3y z 28,

129.U x, y, z 3xyz2 xy3 4 y2 4z2 9,

130.U x, y, z xy3 x3 y xz y 1.

Взадачах 131-135 найдите поток векторного поля a через часть поверхности S , лежащую в первом октанте x 0, y 0, z 0 в направлении

нормали, образующей острый угол с осью Oz . Сделайте чертеж.
131.	a	18zi 3xj 4 yk , S : x 2 y 3z 1,
132.	a	x 3y i yj 2z 8 k , S : x2 y2			4 z,
133.	a	2xyi 4 yzj y2k , S : x 3y 6z 6,
134.	a	xi	y 1 j 2 z 1 k , S : x2 4 y2		1 z,
135.	a yi		4xj 2zk , S : 8x 4 y z 8.
		В задачах 136-140 вычислите с помощью теоремы Остроградского
поток векторного поля a				в сторону внешней нормали через поверхность
тела,		лежащего в первом		октанте x 0, y 0, z 0		и ограниченного
заданной поверхностью S и координатными плоскостями. Сделайте чертеж.
136.	a	3xi 3yj x2 y 2 k , S : 5x y 5z 5,
				159

137.a 7 yzi 5x2 zj 15yzk , S : x2 y2 4 z,

138.a 3xy2 z2i 6xyj y2 z3k , S : 2x y 4z 4,

139.a 3xzi 2xyzj xz2k , S : x2 4z2 y 2 2 ,

140.a 4xi x z j 2zk , S : 2x y 6z 6.

Взадачах 141-150 вычислите циркуляцию векторного поля a по пути ABFA пересечения с координатными плоскостями той части поверхности S ,

. A, B, F - точки

пересечения поверхности S с осями Ox,Oy,Oz соответственно. Сделайте чертеж.

Взадачах 141-145 вычислите циркуляции с помощью теоремы Стокса.

141.a 3yi xy3 zj 6x2 zk , S : x2 z2 4 y,

142.a xyi yzj 6x yzk , S : 2x 3y z 6,

143.a 3y2i 3z2 j 9x2k , S : 4x2 y2 16z2 16,

144.a 2 yi 2zj 3xy 3 z k , S : 3x y 5z 15,

145.a yzi 15y2 zj 3x2k , S : x2 4 y2 4 z.

Взадачах 146-150 вычислите циркуляцию с помощью ее определения.

146.a z2 yz i xzj xyk , S : 9x2 4 y2 z2 36,

147.a x3 y i xj y2 z k , S : x 6 y 2z 6,

148.a xy2i x2 yj 2 yzk , S : 9 y2 z2 x 3 2 ,

149.a z 4 y i 2xj x z k , S : 7x 3y z 21,

150.a 3x2 zi 2xyj x3k , S : y2 16z2 16 x.

Взадачах 151-160 проверьте является ли векторное поле a : а) потенциальным, б) соленоидальным. Если поле потенциально, найдите его

потенциал.

151. a ex yzi ex zj yex 2 k ,

152. a exi 2 yzj y2k ,

153. a xz2i y 1 j x2 zk ,

154. a 2xzi 1 2 yz j x2 y2 k , 155. a exi ez j yez k ,

156. a cos yi x sin yj zk , 157. a ex yzi zex 1 j yexk ,

160