Вопросы для самопроверки по теме 2.4

1.Что такое оператор Гамильтона?

2.Что такое оператор Лапласа?

3.Как называются функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа

4.Перечислите векторно-дифференциальные операции первого порядка.

5.Перечислите осмысленные векторно-дифференциальные операции второго порядка.

Раздел 3. Ряды Фурье

Данный раздел включает следующие темы:

3.1. Пространство функций со скалярным произведением. Ортогональная система функций.

3.2.Тригонометрические ряды Фурье.

3.3.Комплексная форма ряда Фурье.

По каждой теме излагается основной теоретический материал и приводятся иллюстрирующие его примеры. В разделе «решение задач» подробно разобраны типовые примеры. После изучения теоретического материала следует ответить на вопросы самопроверки и на вопросы теста №3. При возникающих затруднениях в ответах обратитесь к [1].

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить одну задачу из контрольной работы № 7 под номерами 81-90 в соответствии со своим вариантом.

3.1. Пространство функций со скалярным произведением. Ортогональная система функций

Пусть функция f (x) и последовательность функций

ϕ1 (x), ϕ2 (x),..., ϕn (x),... (3.1)

заданы на [a, b].

Перейдем к рассмотрению вопросов, связанных с разложением функции f (x) в ряд по системе (3.1), т.е. с представлением функции f (x) в виде суммы сходящегося ряда

f(x) = a1ϕ1 (x) + a2ϕ2 (x) +... + anϕn (x) +....

Стакого рода представлениями функций мы уже встречались при разложении

функции в ряды Тейлора и Маклорена.

В случае рядов Тейлора в качестве последовательности (3.1) бралась последовательность

1, (x − a), (x − a)2 ,..., (x − a)n ,..., .

а в случае рядов Маклорена - последовательность

74

1, x, x2 ,..., xn ,...

Как мы убедились, разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена чрезвычайно полезно для теории и практики, но оно страдает и рядом недостатков. К их числу, в первую очередь, следует отнести то обстоятельство, что суммами сходящихся степенных рядов могут быть лишь бесконечно дифференцируемые функции. Вместе с тем, как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, имеющие "изломы" и даже "скачки". Начнем с некоторых вспомогательных понятий и определений.

Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b],

если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода.

Кусочно-непрерывные функции можно складывать и умножать на вещественные числа, в результате чего мы получим функцию, кусочно-

непрерывную на [a, b].

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a, b] (a < b) функций f и ϕ будем называть интеграл

b
( f , ϕ) = ∫ f (x)ϕ(x)dx.		(3.2)
a	[a, b]
Очевидно, что для любых кусочно-непрерывных на		функций
f , ϕ, ψ выполняются свойства:
1. ( f , ϕ) = (ϕ, f ),

2. ( f , f ) ≥ 0 и из равенства ( f , f ) = 0 следует, что f = 0 на [a, b],

исключая, быть может, конечное число точек x ,

3. (αf +βϕ, ψ) = α( f , ψ) +β(ϕ, ψ), где α,β - произвольные вещественные

числа.

Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на [a, b], для которых введено скалярное произведение по формуле (3.2), будем

обозначать L2′ = L2′(a, b) и называть пространством L2′ или L2′(a,b) .

Из свойств 1-3 скалярного произведения следует неравенство Буняковского

1 1

| ( f , ϕ) |≤ ( f , f )2 (ϕ, ϕ)2 ,

которое на языке интегралов можно переписать в виде

b		b	b
∫ f (x)ϕ(x)dx	≤	∫ f 2	(x)dx ∫	ϕ2 (x)dx.
a		a	a

В.Я.Буняковский (1804-1889) – русский математик.

75

|| f ||≥0,

Величина

|| f ||= b∫ f 2 (x)dx

a

называется нормой функции f .

Норма обладает следующими свойствами:

1.

		1		1
		2
			= ( f , f )2

при этом равенство имеет место только для нулевой функции f ≡0, т.е. для

функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек .

2. || f +ϕ||≤|| f || +|| ϕ|| .

3. || αf ||=| α| || f ||, где α - вещественное число. Второе свойство на языке интегралов может быть записано в форме

			1			1			1
b					b			b
	( f (x) +ϕ(x))	2		2			2			2	.
∫			dx		≤ ∫	f (x)2 dx		+ ∫	ϕ(x)2 dx
a					a			a

Оно называется неравенством Минковского .

Говорят,		что	последовательность				fn функций, принадлежащих		′
									L2,
сходится к функции			f L2′		в смысле среднего квадратического на [a, b]
		′
(или по норме L2), если
								1
			lim || fn − f ||= lim			b∫	( fn (x) − f (x))2 dx 2 = 0.
			n→∞		n→∞	a
Из элементов последовательности f1 , f2 ,..., fn ,... можно построить ряд
				n	f1 + f2 +... + fn +... .
Сумма	первых	его			членов σn = f1 + f2 +... + fn есть функция,
		′		′	существует такая функция			f , что
принадлежащая L2. Если в L2
				|| σn − f ||→ 0,			n → ∞,	f в смысле среднего
то говорят, что указанный ряд сходится к функции
квадратического и пишут					f = f1 + f2 +... + fn +... .
	ϕ L2′(a, b)
Функция				называется нормированной (или нормальной),					если
		1
|| ϕ||= (ϕ, ϕ)2 =1.
Две функции ϕ, ψ L2′(a, b)					называются ортогональными, если (ϕ,ψ) =0.

Г.Минковский (1864-1909) - немецкий математик и физик. 76

Система непрерывных на отрезке (a,b) функций
ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn ,...	(3.3)

(конечная или бесконечная) называется ортогональной, если функции имеют

положительную норму и попарно ортогональны.
Система	функций	(3.3)	называется		ортонормированной	(или
ортонормальной), если
		(ϕk	,ϕl ) = δkl =	0,	k ≠ l,
					k = l,
				1,

т.е. она ортогональна, и каждая входящая в нее функция имеет единичную норму.

Одним из наиболее важных примеров ортогональной системы функций является система тригонометрических функций

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,...

на промежутке [−π, π].

Действительно, при n ≠m, n =0,1,2,3,..., m=0,1,2,3,...

∫π cos nx cos mxdx =

1

∫π (cos(n −m)x +cos(n +m)x)dx =

2

−π

−π

1

1

sin(n −m)x

π

+

1

sin(n +m)x

π

= 0.

2

n +m

n −m

−π

−π

Аналогично, при n ≠m,	n =1,2,3,..., m=1,2,3,..
	π
	∫ sin nxsin mxdx = 0,
	−π
и при любых n =0,1,2,3,..., m=0,1,2,3,...
	π
	∫ cos nxsin mxdx =0.
Так как при n =1,2,3,...	−π
π	π	π
∫ cos2 nxdx = π, ∫ sin2 nxdx = π,		∫12 dx = 2π,
−π	−π	−π

то ортонормированной системой функций на промежутке [−π, π] будет система

77

1

,

1

cos x,

1

sin x,...,

1

cos nx,

1

sin nx,... .

2π

π

π

π

π

Система функций ϕ1,..., ϕN называется линейно независимой в L2′ ,

если из того, что

N

∑αk ϕk (x) = 0, x [a,b],

k =1

= 0.

где αk - некоторые числа, следует, что всеαk

Теорема

3.1.

Любая

конечная

ортогональная система функций

ϕ1, ϕ2 ,..., ϕN линейно независима в L2′ .

Если f L2′ - произвольная функция, то число

1

( f , ϕk )

(k =1, 2,...)

|| ϕk ||2

называется коэффициентом Фурье функции f относительно функций ϕk

ортогональной системы (3.3).

	∞	1
	Ряд ∑			( f , ϕk )ϕk , порождаемый функцией f L2′, называется
			|| ϕk ||2
	k =1
	рядом Фурье функции				f пo ортогональной системе (3.3). При этом пишут
					∞	1
					f ∑				( f , ϕk )ϕk .
							|| ϕk	||2
					k =1
	Если	система			функций	(3.3)		ортонормированна, то || ϕk ||=1

(k =1,2,...), и ряд Фурье функции f записывается еще проще

∞

f ∑( f ,ϕk )ϕk .

k =1

Коэффициентами Фурье в этом случае являются числа ( f , ϕk ) . В

дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные системы.

Теорема 3.2. Если система (3.3) ортонормированна, то для любой функции f L2′ норма

N

f − ∑ak ϕk

k =1

среди всевозможных систем чисел a1, a2 ,...aN достигает своего минимума для

Ж.Б.Фурье (1768-1830) -французский математик.

78

единственной системы чисел, определяемых равенствами ak = ( f , ϕk ) (k =1, 2,..., N ),

т.е. для коэффициентов Фурье функции f . При этом

N		2	N
f −∑( f , ϕk )ϕk			= ( f , f ) −∑( f , ϕk )2.
k=1			k=1

Из этого равенства, если учесть, что его левая часть – неотрицательное число, вытекает неравенство

N

∑( f , ϕk )2 ≤ ( f , f ),

k =1

верное при любом N . Но тогда, если система (3.3) состоит из бесконечного числа функций ϕk , то ряд, составленный из квадратов коэффициентов Фурье

N

функции f , сходится (так как частичные суммы ∑( f , ϕk )2 положительного

k =1

∞

ряда ∑( f , ϕk )2 ограничены сверху) и справедливо неравенство k =1

∞

∑( f , ϕk )2 ≤ ( f , f ).

k =1

Это неравенство называется неравенством Бесселя.

Очень важен тот случай, когда ортонормированная система (3.3) такова, что неравенствоБесселяобращаетсявравенство(равенствоПарсеваля-Стеклова )

∞

∑( f , ϕk )2 = ( f , f )

k=1

для всех функций f L2′.

Для того чтобы выяснить значение равенства Парсеваля, зададим произвольную функцию f L2′ и составим для нее ряд Фурье

∞

f ≈ ∑( f , ϕk )ϕk .

k=1

Сумма n первых членов этого ряда

n

Sn (x) = ∑( f , ϕk )ϕk (x)

k=1

называется n -й суммой Фурье функции f по ортонормированной системе

(3.3).

М.А.Парсеваль (1755-1836) - французский математик; В.А.Стеклов (1864-1926) - русский математик и физик. 79

Отклонение Sn ( x) от	f (x) в смысле среднего квадратического
( L2′ ) равно		n
|| f −Sn ||2 = ( f , f ) −∑( f , ϕk )2.
Если для функции f L2′		k=1
	выполняется равенство Парсеваля, то
|| f − Sn ||→ 0,		n → ∞,	(3.4)
и наоборот: из (3.4) вытекает справедливость равенства Парсеваля.
Ортогональная система (3.3) называется полной в L2′ , если ряд Фурье
любой функции f L2′ сходится в смысле среднего квадратичного к			f , т.е.

если имеет место (3.4) для всех f L2′.

Таким образом, мы доказали, что, для того чтобы ортонормированная система (3.3) была полной в L2′ , необходимо и достаточно, чтобы для любой функции f L2′ выполнялось равенство Парсеваля.

Вопросы для самопроверки по теме 3.1

1.Дайте определение кусочно-непрерывной функции на отрезке [a, b].

2.Дайте определение скалярного произведения двух кусочно-непрерывных

функций на отрезке [a, b] (a <b).

3.Какое множество называют пространством L2′ или L2′(a,b) ?

4.Напишите неравенство Буняковского, напишите его на языке интегралов.

5.Дайте определение нормы функции f .

6.Какую функциюϕ L2′(a, b) называют нормированной?

7.Какие две функции ϕ, ψ L2′(a, b) называются ортогональными?

8.Приведите пример ортогональной системы тригонометрических функций на промежутке [−π, π] .

9.Какую систему функций называют ортонормированной?

10.Приведите пример ортонормированной системы тригонометрических

функций на промежутке [−π, π]

11. Дайте определение системы линейно независимых в L2′ функций

ϕ1,...,ϕN .

3.2. Тригонометрические ряды Фурье

Как было показано, тригонометрическая система функций

80

1

,

1

cos x,

1

sin x,...,

1

cos nx,

1

sin nx,...

2π

π

π

π

π

с функцией f (x),

ортонормированна на промежутке [−π, π], и, значит,

заданной

на промежутке

[−π, π], можно связать ее ряд Фурье по

тригонометрической системе. Он будет иметь вид

a0

∞

+

∑a

cos nx +b sin nx,

(3.5)

2

где

n=1

n

n

π

π

1 π

1

1

a0 =

∫ f (x)dx,

an =

∫

f (x)cos nxdx, bn =

∫ f (x)sin nxdx.

π−π

π−π

π−π

Ряд

(3.5)

называется

тригонометрическим

рядом Фурье функции

f (x). Совокупность всех функций f периода 2 π ,

ограниченных на отрезке

[−π, π] и непрерывных всюду на нем, за исключением, быть может, конечного числа точек, где f имеет разрыв первого рода, обозначим через L2′ = L2′ (−π, π). Имеет место теорема (ее доказательство мы опустим).

Теорема 9.3. Если функция					f L2′ , то ее ряд Фурье сходится к ней в
смысле среднего квадратического, т.е.
	π
	∫( f (x) −SN (x))2 dx →0, N →∞,
−π
где			a0		N
S		(x) =		+	∑a		cos nx + b sin nx.
	N	2			n=1	n	n

Следует отметить, что физики давно считали, что всякое сложное периодическое движение точки (сложное колебание) - будь то механическое колебание точки звучащей струны или электромагнитное колебание, или колебание, связанное с распространением звука,- распадается на гармонические колебания, т.е. сложное периодическое движение следует представлять себе как сумму (конечную или бесконечную) простых гармонических колебаний того же периода. Выделение из сложного периодического движения составляющего его гармонического колебания, соответствующего данной частоте k , имеет большое практическое значение. Физики такое выделение из реального движения получают при помощи специальных приборов - резонаторов. Математик, если ему движение задано при помощи 2 π - периодической

функции f (x), получает такое выделение, вычисляя коэффициенты Фурье a k , bk этой функции. Тогда соответствующая k -я гармоника будет иметь вид

ak cos kx +bk sin k.

Сформулируем еще один, очень важный, признак сходимости ряда

81

Фурье.

Вспомним, что функция f (x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок разбивается на конечное число промежутков, в каждом из которых функция f (x) монотонна.

Теорема 3.4. Если функция f (x) задана на отрезке [−π, π] и является на

нем кусочно-монотонной, кусочно-непрерывной и ограниченной, то ее

тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках отрезка [

−π, π].

Если S(x) - сумма тригонометрического ряда Фурье функции f (x), то

во всех точках непрерывности этой функции

S(x) = f (x),

(3.6)

а во всех точках разрыва

S(x) = 1

( f (x −0) + f (x +0)).

(3.7)

Кроме того,

2

1

S(π) = S(−π) =

( f (π−0) + f (−π+0)).

(3.8)

2

Условия этой теоремы часто называют условиями Дирихле, а сама

теорема называется теоремой Дирихле.

Все тригонометрические функции вида

(n=1,2,3,...)

cosnx, sinnx

x

определены для

любого

вещественного

значения

и

являются

периодическими. Число 2 π для каждой

из

них

является

периодом.

Следовательно, и любая их сумма вместе с постоянным членом

a0

+a cos x +b sin x +...+a cos nx +b sin nx

2

1

1

n

n

x

период 2 π .

также определена

для любого

вещественного

числа

и имеет

Очевидно, это свойство периодичности сохраняется и при переходе к пределу, так чтосуммалюбогосходящегосятригонометрическогорядатакжеимеетпериод 2 π .

Таким образом, получается следующая картина. Первоначально мы имели некоторую функцию f (x) (удовлетворяющую условиям Дирихле), заданную на промежутке [−π, π]. Составив ее тригонометрический ряд Фурье,

мы получим в качестве его суммы S(x) функцию, которая определена уже не только на отрезке [−π, π], но и для всех остальных вещественных значений x .

При этом на сегменте [−π, π] сумма S(x) описывает функцию f (x) в соответствии с равенствами (3.6), (3.7), (3.8).

Значениями функции f (x), лежащими вне промежутка [−π, π], мы

82

пока просто не интересовались, в частности, мы тем самым допускали, что эта функция вне промежутка [−π, π] могла быть и не определена. Предположим,

однако, что функция f (x) определена для всех x , а мы лишь ограничились ее рассмотрением на отрезке [−π, π] и составили применительно к этим

значениям сумму ее тригонометрического ряда Фурье S(x). Эта сумма, будучи периодической функцией, будет описывать функцию f (x) вне отрезка [−π, π] в том и только в том случае, когда сама функция является периодической с периодом 2 π в точках своей непрерывности. Наоборот, если функция f (x) свойством периодичности не обладает, то вне промежутка [−π, π] она может не иметь с функцией S(x) ничего общего.

Рассмотрим теперь те частные случаи, когда функция f (x), заданная на отрезке [−π, π] и удовлетворяющая условиям Дирихле, является либо нечетной, либо четной.

1.Если функция f (x) является нечетной, то нечетной функцией

при каждом n будет и произведение f (x)cosnx, так что

π

∫ f (x) cos nxdx = 0,

−π

т.е. an = 0 при n=0,1,2,3,...

В результате мы получаем разложение в ряд Фурье вида

∞

f (x) = ∑bn sin nx,

n=1

где

		2	π
	bn =		∫ f (x)sin nxdx, n =1,2....
		π
			0

Формулу (3.9) иногда называют разложением функции f (x)

синусам.

(3.9)

в ряд по

Пример 3.1. Найти разложение в ряд Фурье на промежутке [−π, π] функции f (x) =x.

Решение. Заданная функция является нечетной, поэтому её разложение в ряд Фурье имеет вид (3.94). Вычислим коэффициенты bn

83

2

π

2

π

1

π

b =

∫

x sin nxdx =

−

x cos nx

+

∫

cos nxdx

=

n

π

n

0

n

0

π

0

2

−

π(−1)n

1

π = (−1)n+1

2

.

=

+

sin nx

π

n

n2

0

n

f (x) = x на

Таким образом, тригонометрическим рядом Фурье функции

сегменте [−π, π] будет ряд

1

1

−... + (−1)n+1

1

2 sin x −

sin 2x +

sin 3x

sin nx +...

.

2

3

n

Сумма этого ряда является функцией от x . Обозначим ее через S(x) .

Эта функция во всех точках непрерывности

f (x)

должна с ней совпадать.

Значит, в интервале [−π, π]

S(x) = f (x) = x.

x = ±π

Далее,

при

все

синусы

обращаются

в нуль. Следовательно,

S (±π) = 0.

Наконец,

как

было

отмечено,

функция S(x)

должна быть

периодической и иметь период 2 π , т.е. график функции S(x) будет иметь вид (рис. 3.1).График частичной cуммы

S5 (x) = 2 sin x − 12 sin 2x + 13 sin 3x − 14 sin 4x + 15 sin 5x

можно увидеть на рис. 3.2.

				y
	y
−3π	−π	π	3π
		0	−π	0	x
			x

Рис. 3.1

Рис. 3.2

2. Если функция f (x) является четной, то произведение f (x) sin nx при любом n =1,2,3,... будет нечетной функцией, и поэтому

π

∫ f (x) sin nxdx = 0.

−π

Таким образом, при разложении четной функции в ряд Фурье все

84

коэффициенты этого ряда при синусах обращаются в нуль, и разложение принимает вид

			a0	∞
		f (x) =		+ ∑an cos nx,	(3.10)
где		2		n=1
		π
	2
an =		∫ f (x) cos nxdx, n = 0,1, 2,3,....
	π
		0
Описываемое формулой (3.10) представление функции f (x)					называется ее

разложением в ряд по косинусам.

Пример 3.2. Найти разложение в ряд Фурье по косинусам для четной

функции

f (x) = x2 на промежутке [−π, π].

Решение.

В этом случае функция f (x)

является четной.

Разложение

имеет вид (3.10). Найдем коэффициенты разложения:

2

π

2 x3

π

2π2

a0 =

∫0 x2dx =

0 =

.

π

π

3

3

Для вычисления

an

при n =1,2,3,...

применим дважды интегрирование по

частям. Тогда мы получим, что

2

π

(−1)n

4

an =

∫0 x2 cos nxdx =

.

π

n2

Таким образом, искомым разложением будет

x

2

π2

−cos x +

cos 2x

cos 3x

n

cos nx

=

+ 4

−

+... +

(−1)

+... .

3

22

32

n2

f (x)

Предположим

теперь,

что функция

задана нам

только на

промежутке [0, π]. Чтобы разложить ее в ряд Фурье на этом промежутке, мы можем поступить следующим образом. Доопределим нашу функцию на сегменте [−π, 0) . Мы будем тогда иметь функцию, заданную на всем отрезке

[−π, π], и получим возможность разлагать доопределенную функцию в ряд Фурье на всем сегменте [−π, π]. При этом ряд Фурье мы должны будем рассматривать только для тех значений x , которые принадлежат сегменту [0, π].

Очевидно, что получившийся ряд будет зависеть от того, как именно мы произведем доопределение нашей первоначально заданной функции на

промежутке [−π, 0) . При этом нам могут представиться различные варианты.

Рассмотрим два из них.

Во-первых, мы можем продолжить функцию f (x) на промежуток

85

[−π, 0) четным образом, т.е. положить

f (−x) = f (x), 0 < x ≤ π.

Тогда мы будем иметь дело с четной функцией, которая разлагается в ряд по косинусам.

Во-вторых, мы можем продолжить функцию f (x) на промежуток [−π, 0) нечетным образом, т.е. положить

f (−x) = − f (x), 0 < x ≤ π,

и получим разложение в ряд по синусам.

Не следует думать, что нам удалось получить функции два различных разложения в ряд Фурье, ведь в разлагаем функции, которые могут отличаться друг от

[−π, 0) .

для одной и той же действительности мы друга на промежутке

Замечание. Можно показать,

что

функция

f (x) ,

заданная

на

промежутке [−l, l] и имеющая период 2l , разлагается в ряд Фурье вида

a0

∞

nπx

nπx

+

∑an cos

+bn sin

,

l

где

2

n=1

l

1 l

1 l

1 l

nπx

nπx

a0

=

∫ f (x)dx,

an =

∫ f (x) cos

dx,

bn =

∫ f (x)sin

dx.

l

l

l

−l

l −l

l −l

Если функция f (x) является нечетной, то в результате мы получаем

разложение в ряд Фурье вида

nπx

∞

f (x) = ∑bn sin

,

где

n =1

l

2 l

nπx

b

=

f (x)sin

dx,

n =1,2...

n

l

∫0

l

Если функция f (x) является четной, то разложение принимает вид

a0

∞

nπx

f (x) =

+ ∑an cos

,

где

2

n =1

l

2 l

a

=

f (x)cos

nπx

dx,

n = 0,1,2,3,...

l ∫0

n

l

Сумма ряда Фурье равна:

а) функции f(x) в ее точках непрерывности,

86

б)		f (x +0) + f (x −0)		во всех точках разрыва функции f(x),
		2
в)		f (l +0) + f (l −0)		на концах интервала.
		2

Вопросы для самопроверки по теме 3.2

1.Что называют рядом Фурье функции f пo ортогональной системе ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn ,...? Напишите этот ряд.

2.Напишите ряд Фурье по тригонометрической системе функций.

3.Напишите формулы для вычисления коэффициентов Фурье.

4.Сформулируйте теорему Дирихле.

5.Напишите тригонометрический ряд Фурье нечетной функции.

6.Напишите тригонометрический ряд Фурье четной функции.

3.3. Комплексная форма ряда Фурье

Часто бывает удобнее иметь дело с тригонометрическим рядом, представленным в комплексной форме. Пусть

a0

∞

f (x) =

+

∑a

cos nx +b

sin nx

2

n=1

n

n

некоторый тригонометрический ряд.

Согласно формулам Эйлера

sin nx =

1

(einx

−e−inx )=

i

(e−inx −einx ),

2i

2

cos nx =

1

(einx + e−inx ).

Тогда

2

a0

∑∞

an

(einx

+ e−inx )+

ibn

(e−inx

−einx )

f (x) =

+

2

n=1 2

2

или, объединяя степени с одинаковыми показателями,

a

∞

a

n

−ib

a

+ib

f (x) =

0

+ ∑

n

einx +

n

n

e−inx

.

2

2

2

n=1

Введя единообразные обозначения

a0

= c

,

an −ibn

= c ,

an

+ibn

= c

,

2

0

2

n

2

−n

будем иметь

Л.Эйлер (1707-1783) - математик, механик, физик и астроном. Длительное время работал в Петербургской академии.

87

f (x) = c	∞		∞		e−inx =	n=+∞		einx ,
	+ ∑c	n	einx + ∑c	−n		∑ c	n
0	n=1		n=1			n=−∞
	f (x) = n=∑+∞cneinx .							(3.11)
			n=−∞

Таким образом, мы получили разложение функции f (x) в функциональный ряд с комплексными членами. Он называется рядом Фурье в комплексной форме функции f (x) .

Получим формулу для коэффициентов cn и c−n. С этой целью

воспользуемся выражениями для an и bn :

cn =

1

(an

−ibn ) =

1

π

f (x)(cos nx −i sin nx)dx =

∫

2

2π −π

1

π

=

∫ f (x)(cos(−nx) +i sin(−nx))dx =

2π −π

1

π

f (x)e−inxdx.

=

∫

2π

−π

Аналогично,

π

c

=

1

(a

+ib

)

=

1

f (x)(cos nx +i sin nx)dx =

∫

−n

2

n

n

2π

−π

1

π

=

∫ f (x)e−i(−n) xdx.

2π

−π

Следовательно, при любом целом n = 0,±1,±2,±3,....

2π

∫

c

=

1

π

f (x)e−inxdx.

(3.12)

n

−π

Если функция

f (x) - вещественная (а до сих пор мы только такие функции и

рассматривали), то из формул

c

n

=

1

(a

n

−ib ), c

n

=

1

(a

n

+ib )

2

n

2

n

следует, что коэффициенты cn и c−n - комплексные сопряженные числа.

Непосредственное разложение функций в комплексный ряд Фурье на основании формул (3.11), (3.12) часто оказывается удобнее, чем вычисление коэффициентов этого ряда через коэффициенты вещественного ряда Фурье.

Более того, может оказаться целесообразным вычисление коэффициентов вещественного ряда Фурье провести через предварительное

88

вычисление коэффициентов соответствующего комплексного ряда.

Пример 3. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию f (x) = eax на промежутке [−π, π].

Решение. Разложение функции f (x) = eax на промежутке [−π, π] в

тригонометрический ряд Фурье начнем с ее разложения в комплексный ряд Фурье. При любом n мы здесь имеем

1

π

1

π

cn =

∫ eaxe−inxdx =

∫ e(a−in) xdx =

2π −π

2π −π

=

1

1

e(a−in) x

π

=

1

(e(a−in)π

−e−(a−in)π ).

2π (a −in)

2π(a −in)

−π

Заметим, что для любого целого

n

Поэтому

eiπn = cos nπ+i sin nπ = cos nπ = (−1)n.

(−1)n

(−1)n

c

=

(eaπ

−e−aπ) =

shaπ.

n

2π(a −in)

π(a −in)

Таким образом, искомым разложением будет

eax =

shaπ +∞

(−1)n

1

einx .

∑

π

(a −in)

−∞

Перейдем к разложению функции eax в вещественный ряд Фурье. Умножая числитель и знаменатель формулы (9.67) для cn на a +in, получаем

c

=

(−1)n shaπ

(a +in).

n

π(a2 + n2 )

Из выражения для cn сразу же находим, что

2(−1)n a

a

= 2c

=

2shaπ

,

a

= 2 Re c =

shaπ,

πa

0

0

n

n

π(a2 + n2 )

b = −2 Im c =

2(−1)n+1n

shaπ.

n

n

π(a2 + n2 )

Вопросы для самопроверки по теме 3.3

1.Запишите ряд Фурье в комплексной форме.

2.Являются ли коэффициенты комплексного ряда Фурье комплексными числами.

89

3. Напишите формулы Эйлера.

Решение задач

Задача 3.1. Разложить в ряд Фурье 2π-периодическую функцию,

заданную на интервале [−π, π] равенствами:

f (x) =

0,

-π ≤ x < 0,

0 ≤ x ≤ π.

x,

Решение. Искомый ряд Фурье 2π–периодической функции имеет вид

a0

∞

+ ∑a

cos nx +b sin nx, где

2

n=1

n

n

1

π

1

π

1

π

a0

=

∫ f (x)dx,

an =

∫

f (x) cos nxdx,

bn

=

∫

f (x)sin nxdx.

π

π

−π

π −π

−π

Найдем коэффициенты ряда Фурье

1

0

π

π

a0

=

(

∫ 0

dx + ∫ xdx) =

,

π

2

−π

0

1

0

π

1

0,

n = 2k,

n

an

=

( ∫ 0 cosnxdx+∫xcosnxdx)

=

(−1) −1

=

2

π

−π

0

πn2

−

,

n = 2k +1,

2

πn

bn

=

1

0

sin nxdx

+

π

= −

(−1)n

.

π

( ∫ 0

∫ x sin nxdx)

n

−π

0

Полагая n =1,2,3,... , получим

b =1,

b =

−

1

,

b

=

1

, b

= −

1

, b

=

1

,...

.

1

2

2

3

3

4

4

5

5

Искомое разложение имеет вид

90

π4 − π2

=

(cos x + cos 3x		+ cos 5x	+...) +sin x −	1 sin 2x +	1 sin 3x −... =
	32	52		2	3
0,	-π < x ≤ 0,
x,	0 < x < π,
π,	x = ± π.
2

Задача 3.2. Найти разложение в ряд Фурье по синусам для функции

y

y

π

π

-π	0	π	x	π	0	π	x
	-π
	Рис. 3.3				Рис. 3.4
f (x) , заданной на промежутке			0 ≤ x < π формулой f (x) = −x + π.
Решение. Продолжим функцию f (x) на промежуток [−π,0) нечетным
образом, т.е. положим			−x − π	при	− π ≤ x < 0,
		f (x) =		при	0 ≤ x < π.
			−x + π

График этой функции можно увидеть на рис. 3.3. Искомое разложение

∞

функции f (x) в ряд Фурье по синусам имеет вид f (x) = ∑bn sin nx, где n=1

соответствующие коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

bn =	2	∫π	f (x)sin nxdx, n =1,2....
	π
0

Вычислим эти коэффициенты

91

2

π

U = −x +π;

dU = −dx

bn =

∫(−x +π)sin nxdx = dV =sin nxdx; V = −

1

cosnx =

π

0

n

2

(−x +π)

π

1

π

2

π

2

cosnx

∫cosnxdx

=

−

0

−

=

cos0

=

.

π

n

n

0

π n

n

Таким образом, получили искомое разложение

∞

1

1

1

1

f (x) = 2∑

sin nx = 2(sin x +

sin 2x +

sin 3x +... +

sin nx +...).

n

n=1

n

2

3

Задача 3.3. Найти разложение в ряд Фурье по косинусам для функции

f (x) , заданной на промежутке

0 ≤ x < π формулой

f (x) = −x + π.

Решение.

Продолжим функцию f (x)

на промежуток [−π,0) четным

образом, т.е. положим

x + π,

− π ≤ x < 0,

f (x) =

0 ≤ x < π.

−x + π,

График этой функции можно увидеть на рис. 3.4. Искомое разложение функции

f (x) в ряд Фурье по косинусам имеет вид:

a0

∞

f (x) =

+ ∑an cos nx, где

2

n=1

соответствующие коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

an =

2

∫π

f (x)cos nxdx,

n = 0,1, 2,3,... .

π

0

Вычислим эти коэффициенты:

2

π

2

x2

π

2

π2

2

a0 =

(−x + π)dx =

−

+ πx

=

−

+ π

= π,

π ∫0

π

2

0

π

2

2

π

2

(−x+π)

π

1

π

U =−x+π;

dU =−dx

an =

∫0

(−x+π)cosnxdx =

sinnx

+

∫0 sinnxdx

=

dV =cosnxdx;

1

sinnx

=

π

π

n

0

n

V =

n

2

2

(

)

2

(

)

=

2

−

1

cosnx

π =−

2

cosnπ−cos0

=−

2

(−1)n −1 ,

n=1,2,3,..

π

n

0

πn

πn

Таким образом, искомое разложение функции f (x) в ряд Фурье по косинусам будет

92

π

2

∞

1 − ( −1) n

f ( x )

=

+

∑

n

2

co s n x =

2

π

n = 1

= π +

4

(co s

x +

1

co s 3 x +

1

co s 5 x

+ ... +

1

co s( 2 n − 1) x + ...).

π

5 2

(2 n − 1) 2

2

32

Задача 3.4. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2l = 4

x +1,

− 2 ≤ x < 0,

f (x) =

0 ≤ x < 2.

−x +1,

Решение. Построим график функции f(x) (рис. 3.5). График функции f(x) симметричен относительно оси Oy.

y

		1								x
		-2					2
-3		-1						3

Рис. 3.5

Функция f(x) - четная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по косинусам

a0

∞

nπx

f (x) =

+

∑an cos

,

где

2

n =1

l

2 l

nπx

dx,

(l = 2).

a

=

f (x)cos

n = 0,1,2,3,...

n

l ∫0

l

Находим коэффициенты ряда Фурье:

a =

2

2 (1 − x)dx = 0;

2

0

∫0

an = ∫2

(1 − x)cos

nπx

dx =

2

(1 − x)sin

nπx

2

+

2

∫2 sin

nπx

dx =

nπ

nπ

0

2

2

0

0

2

93

		2 2		0,						n=2m,
=				(1 −(−1)n )=			8			, n=2m	−1, m =1, 2,3,....
	nπ
						2		π	2
				n

Таким образом, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

		4				∞		(1 − (−1)n )							nπx
f (x) =					∑									cos		,
			π	2					n	2					2
					n =1
или, окончательно,
				∞
	8							1						(2m −1)πx
f (x) =				∑								cos					.
	2						(2m −1)				2
	π		m =			1									2

Это разложение справедливо при всех x, так как функция f(x) непрерывна на всей числовой оси.

94