1.2.Понятие о плотности заряда

Для упрощения математических расчетов электростатических полей часто пренебрегают дискретной структурой зарядов. Считают, что заряд распределен непрерывно и вводят понятие о плотности заряда.

Рассмотрим различные случаи распределения зарядов.

1.Заряд распределен вдоль линии. Пусть на бесконечно малом участке находится заряд. Введем величину

. (1.5)

Величина называется линейной плотностью заряда. Ее физический смысл – заряд, приходящийся на единицу длины.

2.Заряд распределен по поверхности. Введем поверхностную плотность заряда:

. (1.6)

Её физический смысл – заряд, приходящийся на единицу площади.

3.Заряд распределен по объёму. Введем объёмную плотность заряда:

. (1.7)

Её физический смысл – заряд, сосредоточенный в единице объёма.

Заряд, сосредоточенный на бесконечно малом участке линии, поверхности или в бесконечно малом объёме можно считать точечным. Напряжённость поля, создаваемого им, определится формулой:

. (1.8)

Для нахождения напряжённости поля, создаваемого всем заряженным телом, нужно применить принцип суперпозиции полей:

. (1.9)

В этом случае, как правило, задача сводится к вычислению интеграла.

1.3.Применение принципа суперпозиции к расчету электростатических полей. Электростатическое поле на оси заряженного кольца

Постановка задачи. Пусть имеется тонкое кольцо радиуса R, заряженное с линейной плотностью заряда τ. Необходимо рассчитать напряжённость электрического поля в произвольной точке А, расположенной на оси заряженного кольца на расстоянии x от плоскости кольца (рис. ).

Выберем бесконечно малый элемент длины кольца dl; заряд dq, находящийся на этом элементе равен dq= τ·dl. Этот заряд создает в точке А электрическое поле напряжённостью . Модуль вектора напряжённости равен:

. (1.10)

По принципу суперпозиции полей напряжённость электрического поля, создаваемого всем заряженным телом, равна векторной сумме всех векторов :

. (1.11)

Разложим вектора на составляющие: перпендикулярные оси кольца () и параллельные оси кольца ().

. (1.12)

Векторная сумма перпендикулярных составляющих равна нулю: , тогда. Заменяя сумму интегралом, получим:

. (1.13)

Из треугольника (рис.1.2) следует:

=. (1.14)

Подставим выражение (1.14) в формулу (1.13) и вынесем за знак интеграла постоянные величины, получим:

. (1.15)

Так как , то

. (1.16)

С учетом того, что , формулу (1.16) можно представить в виде:

. (1.17)

1.4.Геометрическое описание электрического поля. Поток вектора напряжённости

Для математического описания электрического поля нужно указать в каждой точке величину и направление вектора , то есть задать векторную функцию.

Существует наглядный (геометрический) способ описания поля с помощью линий вектора (силовых линий) (рис.13.).

Линии напряжённости проводят следующим образом:

• касательная к линии в каждой точке должна совпадать с направлением поля;

• число линий пересекающих единичную площадку, перпендикулярную к ним, должно быть равно численному значению вектора .

Существует правило: линии вектора напряжённости электрических полей, создаваемых системой неподвижных зарядов, могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность.

На рисунке 1.4 показано изображение электростатического поля точечного заряда с помощью линий вектора , а на рисунке 1.5 - изображение электростатического поля диполя^.

1.5. Поток вектора напряжённости электростатического поля

Поместим в электрическое поле бесконечно малую площадку dS (рис.1,6). Здесь - единичный вектор нормали к площадке. Вектор напряжённости электрического поля образует с нормалью некоторый угол α. Проекция вектора на направление нормали равна E_n=E·cos α .

Потоком вектора через бесконечно малую площадку называется скалярное произведение

, (1.18)

или

. (1.19)

Поток вектора напряжённости электрического поля является алгебраической величиной; его знак зависит то взаимной ориентации векторов и .

Поток вектора через произвольную поверхностьSконечной величины определится интегралом:

. (1.20)

Если поверхность замкнутая, интеграл отмечают кружочком:

. (1.21)

Для замкнутых поверхностей нормаль берется наружу (рис.1.7).

Поток вектора напряжённости имеет наглядный геометрический смысл: он численно равен числу линий вектора , проходящих через поверхностьS.