6.6. Токи при размыканиии и замыкании цепи

Замыкание и размыкание электрической цепи всегда сопровождается возникновением э.д.с. самоиндукции. В соответствии с правилом Ленца вызванный этой э.д.с. дополнительный индукционный ток направлен так, чтобы препятствовать изменению тока в цепи. Поэтому при замыкании цепи ток устанавливается не мгновенно, а постепенно; при размыкании цепи ток убывает не мгновенно, а постепенно.

Для того, чтобы описать математически эти процессы, рассмотрим цепь, состоящую из источника постоянного тока с э.д.с.ε₀, активного сопротивления R, постоянной индуктивности L и ключа К (рис.6.4).

Задача об исчезновении тока при размыкании цепи

Первоначально ключ находится в положении (2); в цепи течет постоянный ток

. (6.20)

В момент времени t=0 перебросим ключ из положения 1 в положение 2. Источник при этом отключится, а цепь замкнется накоротко. Ток через индуктивность начнет убывать, в цепи возникнет э.д.с. самоиндукции:

. (6.21)

По закону Ома э.д.с. самоиндукции равна падению напряжения на активном сопротивлении:

, (6.22)

или . (6.22)

Разделим переменные в уравнении (6.22), получим:

. (6.23)

Проинтегрируем обе части уравнения (6.23) в пределах от i₀ до i и от 0 до t:

, (6.24)

. (6.25)

Перейдем от натурального логарифма к экспоненте и получим закон изменения тока при размыкании цепи:

. (6.26)

После отключения источника сила тока в цепи убывает по экспоненциальному закону.

Обозначим отношение , (6.27),

тогда. (6.28)

Величина имеет размерность времени, ее принято называтьвременем релаксации или постоянной времени цепи. Из выражения следует, что время релаксации – это время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Изобразим графически закон изменения тока при размыкании цепи при различных значениях времени релаксации . Время релаксации характеризует инерционные свойства системы, чем оно больше, тем медленнее протекает переходной процесс (рис.6.5).

Задача об установлении тока при замыкании цепи

Рассмотрим ту же самую цепь. Но первоначально цепь разомкнута, и ток в цепи отсутствует.

В момент времени t=0 перебросим ключ в положение 1 и подключим источник тока. Ток в цепи будет нарастать, в цепи возникнет э.д.с. самоиндукции. По закону Ома сумма э.д.с. источника тока и э.д.с. самоиндукции равна падению напряжения на активном сопротивлении:

, (6.29)

или . (6.30)

Чтобы проинтегрировать дифференциальное уравнение (6.30), введём новую переменную:

. (6.31)

Тогда . (6.32)

Преобразуем уравнение (6.30), используя формулы (6.31) и (6.32), получим:

. (6.33)

Проинтегрируем обе части уравнения (6.33): правую часть от 0 до t, левую часть от –ε₀ до iR–ε₀:

, (6.34)

получим:

. (6.35)

Перейдём от натурального логарифма к экспоненте, получим:

, (6.36)

или . (6.37)

Так как - установившийся ток, то формулу (6.38) можно записать в виде:

. (6.39)

Изобразим графически закон изменения тока при замыкании цепи при различных значениях времени релаксации . Чем больше время релаксации, тем медленнее устанавливается ток в цепи (рис.6.6).