Дифференциальные уравнения 1

Непосредственными вычислениями убеждаемся, что функция (27.6) удовлетворяет операторному уравнению (27.2). Также нетрудно видеть, что и функция

	k = eλkx	(27.7)
y

также является решением операторного уравнения (27.2). В силу свойств линейности решений функции

u = y +2 y, v = y 2−i y, (27.8)

представляющие собой, соответственно, действительную и мнимую части функции (27.6), также являются решениями дифференциального уравнения (27.1). Так как

u

v = ctg βkx ̸≡0,

то решения u и v линейно независимы. Непосредственными вычислениями на основании формулы Эйлера получаем (У– 22), что

uk = Re eλkx = eαkx cos βkx,

vk = Im eλkx = eαkx sin βkx. (27.9)

Таким образом, приходим к выводу, что при наличии различных между собой m пар комплексно сопряженных корней λk = αk + i βk и λk = αk − i βk и n − 2m вещественных корней λk характеристического уравнения (27.4) общее решение дифференциального уравнения (27.1) имеет вид

m					n
∑					∑
y = (C	cos β	x+C	2k	sin β x)eαkx+	C eλkx	(27.10)
2k−1	k			k	k
k=1					k=2m+1

(аналогично предыдущему случаю доказывается, что частные решения видов eλkx и (27.9) линейно независимы).

Пример 27.1. Найдите общее решение дифференциального уравнения

y′′′ − 8y = 0.

111

Решение. В данном случае характеристическое уравнение

λ3 − 8 = 0

имеет характеристические корни

√ √

λ1 = 2, λ2 = 1 + i 3, λ3 = 1 − i 3.

Фундаментальная система решений исходного дифференциального уравнения состоит из функций

y1 = e2x,	y2 = ex cos √				x, y3 = ex sin √					x.
			3					3
Поэтому его общее решение имеет вид
y = C e2x + C ex cos		√				x + C ex sin √			x.
				3			3
1	2	3

Рассмотрим теперь случай кратных корней характеристического уравнения (27.4).

Непосредственными вычислениями на основании метода математической индукции получаем формулу сдвига

L(p)[f(x)eλx] = eλxP (p + λ)[f(x)].

(27.11)

В частности,

pk[f(x)eλx] = eλx(p + λ)k[f(x)], k =			(27.12)
	1, n.

Пусть λ есть вещественный корень кратности k характеристического уравнения (27.4), т.е.

L(λ) = L′(λ) = . . . = L(k−1)(λ) = 0, L(k)(λ) ≠ 0.

Покажем, что ему соответствует ровно k линейно независимых решений

y1 = eλx, y2 = xeλx, . . . , yk = xk−1eλx.

Подставим

yr = xreλx, r = 0, k − 1,

112

в операторное уравнение (27.2) и применим формулу сдвига (27.11). Имеем:

L(p)[xreλx] = eλxL(p + λ)[xr],		(27.13)
где
n	n
∑	∑
L(p + λ) = ai(p + λ)i =	bipi.	(27.14)
i=0	i=0
Полагая в (27.14) p = 0, получаем, что

b0 = L(λ) = 0.

Последовательно дифференцируя по p соотношение (27.14), имеем:

1 dr	b1 = L′(p + λ)|p=0 = L′(λ) = 0,
	1

br = r! dpr L(p + λ)|p=0 = r!L(r)(λ) = 0, r = 2, k − 1.

Поэтому приходим к выводу, что

L(p + λ) = bkpk + bk+1pk+1 + . . . + bnpn.

Так ка r < k, то отсюда следует, что

L(p + λ)[xr] = 0.

Поэтому из (27.13) получаем, что

L(p)[xreλx] = 0.

(27.15)

Соотношение (27.15) означает, что

y1 = eλx, y2 = xeλx, . . . , yk = xk−1eλx,

есть решения операторного уравнения (27.2).

В общем случае, когда характеристическое уравнение (27.5) имеет m 6 n различных вещественных корней кратностей

113

k1, . . . , km, соответственно, где k1 + . . . + km = n, имеем ровно n функций

		y1 = eλ1x, . . . , yk1		= xk1−1eλ1x;
	yk1+1 = eλ2x, . . . , yk1			+k2 = xk2−1eλ2x;
					(27.16)
			. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yk	+...+k	m−1	+1 = eλmx, . . . , yk		+...+km = xkm−1eλmx;
1				1

образующих фундаментальную систему решений дифференциального уравнения (27.1). Поэтому общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

∑n

y = Cnyk.	(27.17)
k=1

Пусть характеристическое уравнение (27.4) имеет комплексный корень λ = α + i β кратности k. Тогда комплексно сопряженный корень λ = α − i β имеет ту же кратность k. Комплекснозначные функции вещественного аргумента

y1 = eλx, y2 = xeλx, . . . , yk = xk−1eλx,

(27.18)

удовлетворяют операторному уравнению (27.2). Действительные

u1, . . . , uk

и мнимые

v1, . . . , vk

части этих функций также удовлетворяют этому уравнению в силу представления, аналогичному (27.8). Поэтому паре λ и λ комплексно сопряженных корней кратности k соответствует 2k линейно независимых решений операторного уравнения

114

(27.2):

u1 = Re y1 = eαx cos βx, v1 = Im y1 = eαx sin βx,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (27.19)

uk = Re yk = xk−1eαx cos βx, vk = Im yk = xk−1eαx sin βx.

Далее аналогичным образом, как и ранее, на основании соотношений вида (27.16) и (27.19) получаем фундаментальную систему решений дифференциального уравнения (27.1), на основании которой строим общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 27.2. Найдите общее решение дифференциального уравнения

yV I − 4yV + 8yIV − 8yIII + 4yII = 0.

Решение. Корни характеристического уравнения

λ6 − 4λ5 + 8λ4 − 8λ3 + 4λ2 = 0

данного дифференциального уравнения равны

λ1 = λ2 = 0, λ3 = λ4 = 1 + i, λ5 = λ6 = 1 − i.

Поэтому фундаментальную систему решений образуют функции

1, x, ex cos x, ex sin x, xex cos x, xex sin x.

Общее же решение исходного дифференциального уравнения таково:

y = C1+C2x+C3ex cos x+C4ex sin x+C5xex cos x+C6xex sin x.

115

§ 28. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n–го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n–го порядка с постоянными коэффициентами ak

R, k = 0, n − 1:

y(n) + an−1y(n−1) + . . . + a0y = f(x),

(28.1)

где f(x) есть непрерывная на < α, β > функция. Его общее решение имеет вид

y = y + C1y1 + . . . + Cnyn,

где y есть частное решение дифференциального уравнения (28.1), а y1, . . . , yn, есть фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения n–го порядка L[y] = 0 (ее мы научились находить в § 27). Поэтому для нахождения общего решения достаточно найти частное решение дифференциального уравнения (28.1). Для специального вида правых частей f(x) дифференциального уравнения (28.1) эта задача решается операциями дифференцирования и решения систем линейных алгебраических уравнений. Этот метод называется методом подбора частного решения или методом неопределенных коэффициентов. Правая часть дифференциального уравнения (28.1), для которой применим метод неопределенных коэффициентов, имеет вид

f(x) = eαx{Pm(x) cos βx + Ql(x) sin βx},	(28.2)
α R, β R,

где Pm(x) и Ql(x) есть многочлены степеней m и l, соответственно.

116

Рассмотрим теперь частные случаи правых частей (28.2) и покажем, как к ним применяется метод неопределенных коэффициентов.

Случай 1. Правая часть дифференциального уравнения (28.1) имеет вид

f(x) = Amxm + Am−1xm−1 + . . . + A1x + A0,

(28.3)

где Am ≠ 0 и λ = 0 не является корнем характеристического уравнения (27.4). В этом случае будем искать частное решение y дифференциального уравнения (28.1) в виде многочлена той же m–й степени

y = Bmxm + Bm−1xm−1 + . . . + B1x + B0,

(28.4)

с неопределенными пока коэффициентами Bk, k = 0, m. Для их отыскания подставляем функцию (28.4) в дифференциальное уравнение (28.1). После этого, сравнив коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в правой и левой частях, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Bk, k = 0, m.

Пример 28.1. Найдите общее решение дифференциального уравнения

y′′ − 8y′ + 7y = 3x2 + 7x + 8.

(28.5)

Решение. Составляем характеристическое уравнение

λ2 − 8λ + 7 = 0,

находим его корни λ1 = 1, λ2 = 7, и получаем общее решение

y0 = C1ex + C2e7x

соответствующего (дифференциальному уравнению (28.5)) однородного линейного дифференциального уравнения. Так как

117

λ = 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение y дифференциального уравнения (28.5)

ищем в виде

y = Ax2 + Bx + C.

Непосредственными вычислениями получаем, что

y ′ = 2Ax + B, y ′′ = 2A.

Подставив y , y ′, y ′′, в дифференциальное уравнение (28.5), имеем, что

7Ax2 + (7B − 16A)x + (2A − 8B − 7C) = 3x2 + 7x + 8.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, по-

лучаем систему

7A = 3,

7B − 16A = 7,

2A − 8B + 7C = 8;

разрешая которую, имеем A = 3/7, B = 97/49, C = 1126/343. Поэтому общее решение дифференциального уравнения (28.5) имеет вид

x	7x	3			2	97			1126
y = C1e + C2e		+		x		+		x +		.
									343
		7				49

Пусть теперь λ = 0 является корнем кратности k характеристического уравнения (27.4). Этот случай называется резонансным. В данном случае частное решение надо искать

в виде
y = xk(Bmxm + Bm−1xm−1 + . . . + B1x + B0).	(28.6)

При этом множитель xk в (28.6) называется резонансным. Случай 2. Пусть теперь правая часть дифференциального

уравнения (28.1) имеет вид

f(x) = eαx(Amxm + Am−1xm−1 + . . . + A1x + A0), (28.7)

118

где Am ≠ 0.

Если α не является корнем характеристического уравнения (27.4), то частное решение y дифференциального уравнения (28.1) с правой частью (28.7) ищется в виде

y = eαx(Bmxm + Bm−1xm−1 + . . . + B1x + B0), (28.8)

где Bk, k = 0, m, есть неизвестные пока коэффициенты. Если же α есть корень кратности k характеристического

уравнения (27.4) (резонансный случай), то частное решение y дифференциального уравнения (28.1) с правой частью (28.7) ищется в виде

y = xkeαx(Bmxm + Bm−1xm−1 + . . . + B1x + B0). (28.9)

Далее используется метод неопределенных коэффициентов. Пример 28.2. Найдите общее решение дифференциально-

го уравнения

y′ − 2y′ + 4y = (x + 2)e3x.

(28.10)

Решение. В данном случае параметр α = 3. Характеристическое уравнение

λ2 − 2λ + 4 = 0

√

имеет пару комплексно сопряженных корней λ1,2 = 1 ± 3i. Поэтому общее решение соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

y0 = ex(C cos	√		x + C sin √		x).
		3		3
1	2

Так как λ = 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение x дифференциального уравнения (28.10) ищем в виде

y = (Ax + B)e3x.

119

Непосредственными вычислениями получаем, что

y′ = e3x(3Ax + A + 3B), y′′ = e3x(9Ax + 6A + 9B).

Подставив y , y′, y′′, в дифференциальное уравнение (28.10), после сокращения на e3x ≠ 0 имеем, что

{	7A = 1,	A = 1/7,
	4A + 7B = 2;	{ B = 10/49.

Поэтому общее решение дифференциального уравнения (28.10) имеет вид

y = ex(C1 cos	√3x + C2 sin			√3x) + e3x(7x +			49).
					1		10

Случай 3. Правая часть дифференциального уравнения (28.1) имеет вид

f(x) = eαx{Pm(x) cos βx + Ql(x) sin βx}, β ≠ 0. (28.11)

Если α + iβ не является корнем характеристического уравнения (27.4), то частное решение y дифференциального уравнения (28.1) с правой частью (28.11) ищется в виде

y = eαx{Rs(x) cos βx + Ts(x sin βx},

где Rs(x) и Ts(x) есть многочлены степени s = max{m, l} с неопределенными пока коэффициентами.

Если же α + iβ есть корень кратности k характеристического уравнения (27.4), то частное решение y дифференциального уравнения (28.1) с правой частью (28.11) ищется в

виде

y = xkeαx{Rs(x) cos βx + Ts(x) sin βx},

где Rs(x) и Ts(x) есть многочлены степени s = max{m, l} с неопределенными коэффициентами.

120