Дифференциальные уравнения 1

где Hj(x1, . . . , xn), j = 1, n − 1, есть первые интегралы системы (22.4), а Φ есть гладкая на области D функция.

Из теоремы 22.2 вытекает, что формула (22.6) описывает все множество решений дифференциального уравнения (22.2) на области D.

Задача Коши для дифференциального уравнения (22.2) ставится следующим образом: найти такое решение этого дифференциального уравнения, которое на заданной поверхности S совпадает с заданной функцией.

Пример 22.1. Найдите решение u(x1, x2) задачи Коши

2√

∂u

−

x

∂u

= 0, u(1, x

) = x2.

(22.7)

x

1 ∂x1

2 ∂x2

2

2

Рещение. Условие u(1, x2) = x22 означает, что искомое решение уравнения в точках прямой x1 = 1 должно совпадать

с функцией φ(x1, x2) = x22.

Соответствующая этому дифференциальному уравнению система характеристик в симметрической форме записи имеет вид

dx1		= −	dx2
				.
2√			x2
	x1

Отсюда интегрированием находим первый интеграл этой си-

стемы

√

x1 + ln|x2| = C,

который на каждой из характеристик сохраняет постоянное значение. Общее решение имеет вид

√

u = Φ( x1 + ln|x2|).

Выделим из общего решения частное решение, удовлетворя-

ющее условию

u(1, x2) = x22.

81

Из первого интеграла при x1 = 1 получаем ln|x2| = C − 1

и

u(1, x2) = x22 = e2(C−1).

Выражая в последнем равенстве постоянную C через первый

интеграл:

√

C = x1 + ln|x2|,

получаем решение исходного дифференциального уравнения

(22.7) в виде

√

u(x1, x2) = x22e2 x1−2.

Рассмотрим теперь неоднородное дифференциальное уравнение (22.1). Его решение будем искать в неявном виде

W (x1, . . . , xn, u) = 0.

(22.8)

В силу правила дифференцирования неявной функции имеем, что

	∂u		−	∂W \∂xi
		=			, i = 1, n.			(22.9)
				∂W \∂u
	∂xi

Подставляя (22.9) в неоднородное дифференциальное уравнение (22.1), получаем

a1(x1, . . . , xn)	∂W	+ . . . + an(x1, . . . , xn)			∂W	+
	∂x1		∂W		∂xn		(22.10)
+b(x1, . . . , xn)				= 0.
			∂u

Уравнение (22.10) является линейным однородным дифференциальным уравнением относительно искомой функции W и включает частные производные этой функции по n+1 независимым переменным x1, . . . , xn, u. Этому дифференциальному уравнению соответствует система уравнений характери-

стик			dxn		du
	dx1
		= . . . =		=		.	(22.11)
	a1		an
		82			b

Пусть функции φi(x1, . . . , xn, u), i = 1, n, являются на области G Rn+1 независимыми первыми интегралами системы (22.11). Тогда в силу теоремы 22.2 общее решение однородного дифференциального уравнения (22.10) имеет вид

W = Φ(φ1, . . . , φn),

(22.12)

где Φ есть произвольная гладкая на области G функция, такая, что

∂∂uΦ ≠ 0

на этой области. Поэтому соотношение

Φ(φ1, . . . , φn) = 0

(22.13)

задает искомое решение u дифференциального уравнения (22.1) как неявную функцию от независимых переменных x1,

. . . , xn.

Задача Коши для неоднородного дифференциального уравнения (22.1) ставится так же, как и для однородного дифференциального уравнения (22.2).

Квазилинейным дифференциальным уравнением первого порядка с частными производными будем называть уравнение

a (x	, . . . , x		, u)	∂u	+ . . . + a (x	, . . . , x		, u)	∂u	=
		n					n
1 1				∂x1	n 1				∂xn		(22.14)

= b(x1, . . . , xn, u),

где ai, i = 1, n, u, есть заданные гладкие функции на некоторой области G Rn+1.

Процесс нахождения общего решения дифференциального уравнения (22.14) аналогичен нахождению общего решения неоднородного дифференциального уравнения (22.1).

Система уравнений характеристик квазилинейного дифференциального уравнения (22.14) по форме полностью

83

совпадает с системой (22.11) для неоднородного дифференциального уравнения (22.1):

dx1		= . . . =		dxn	=
a1(x1, . . . , xn, u)			an(x1, . . . , xn, u)
		du			(22.15)
=				.
	b(x1, . . . , xn, u)

Интегральные характеристики этой системы называют характеристиками квазилинейного дифференциального уравнения (22.14). если на области G найдены n независимых первых интегралов φi(x1, . . . , xn, u), i = 1, n, системы уравнений характеристик (22.15), то все решения дифференциального уравнения (22.14) можно получить из соотношения (22.13).

Постановка задачи Коши для квазилинейного дифференциального уравнения (22.14) аналогична постановке этой задачи для однородного линейного дифференциального уравнения (22.2).

84

§ 23. Уравнения Пфаффа.

Уравнение Пфаффа представляет собой обобщение дифференциального уравнения первого порядка в симметрической форме и в трехмерном случае имеет вид

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = 0,

(23.1)

где функции P, Q и R дважды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам на области G R3.

Интегралом уравнения Пфаффа (23.1) будем называть такую зависимость переменных x, y, z, при которой дифференциалы dx, dy, dz обращают уравнение (23.1) в тождество на области G. Если указанная зависимость представима в виде u(x, y, z) = 0 (или в параметрической форме x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)), то будем ее называть

двумерным интегралом или интегральной поверхностью уравнения Пфаффа (23.1). Если же интеграл уравнения Пфаффа (23.1) представим в виде системы соотношений

u(x, y, z) = 0, v(x, y, z) = 0

(или в параметрической форме x = x(t), y = y(t), z = z(t)), то будем ее называть одномерным интегралом или инте-

гральной кривой (линией) этого уравнения.

−→

Рассмотрим в пространстве Oxyz векторное поле F , определяемое коэффициентами уравнения Пфаффа (23.1):

−→ −→ −→ −→

F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k .

Если (двумерный или одномерный) интеграл уравнения Пфаффа (23.1) задан векторным уравнением

−→ −→ −→ −→ −→ r = r (x, y, z) = x i + y j + z k ,

то		−→
d r = dx−→i + dy−→
−→	j	+ dz k ,

85

где dx, dy, dz в силу определения интеграла уравнения Пфаффа (23.1) вычислены с учетом существующей зависимости между переменными x, y, z. Поэтому уравнение Пфаффа (23.1) равносильно уравнению в векторной форме

−→	•	−→	(23.2)
F (x, y, z)		d r (x, y, z) = 0.

Если Π есть интегральная поверхность уравнения (23.2),

−→

то векторное поле F в каждой точке этой поверхности орто-

гонально плоскости, касательной к Π в данной точке. Други-

ми словами, поверхность Π есть нормальная трансверсаль

−→

характеристик поля F .

Аналогично, если L есть интегральная линия уравнения

−→

(23.2), то в каждой точке этой линии векторное поле F орто-

гонально касательной линии к L в данной точке, то есть ли-

ния L есть нормальная трансверсаль характеристик поля

−→

F .

Верно и обратное: каждая нормальная трансверсаль харак-

−→

теристик поля F является интегральной поверхностью (линией) уравнения (23.2).

Для векторного поля

−→ −→ −→ −→

F = P i + Q j + R k

ротор (вихрь)		−→i		−→
				j
rot−→		P
				Q
		∂		∂
F =
		∂x		∂y

∂. ∂z

−→R

Теорема 23.1. Условие
rot−→	•	−→		(x, y, z)		G	(23.3)
F (x, y, z)		F (x, y, z) = 0,

является необходимым для существования двумерных интегралов уравнения Пфаффа (23.1) на области G.

86

Доказательство. Пусть соотношение u(x, y, z) = 0 задает интегральную поверхность Π на области G. Поскольку вектор

(∂u∂x, ∂u∂y, ∂u∂z )

нормален к поверхности Π, то из соотношения (23.2) следует, что в любой точке (x, y, z) Π векторы

(∂u∂x, ∂u∂y, ∂u∂z )

и(P, Q, R) параллельны, т.е. существует такая скалярная функция µ(x, y, z), что

P = µ

∂u

, Q = µ

∂u

, R = µ

∂u

.

∂y

∂x

∂z

Поэтому скалярное произведение rot−→

• −→

может быть за-

F

F

писано в виде

∂

∂

∂

µ

∂u

µ

∂u

µ

∂u

∂x

∂y

∂z

rot−→

−→

µ

µ

µ

F

F =

.

•

∂x

∂y

∂z

∂u

∂u

∂u

∂x

∂y

∂z

Раскрывая данный определитель,

с учетом равенства сме-

шанных производных функции u, приходим к соотношению (23.3). Теорема 23.1 доказана.

Условие (23.3) будем называть условием интегрируемости уравнения Пфаффа (23.1). В координатной форме оно

записывается в виде

∂R

∂Q

∂P

∂R

∂Q

∂P

P (

−

) + Q(

−

)

+ R(

−

) = 0. (23.4)

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

87

−→ −→

Если rotF = 0 , т.е.

∂R

=

∂Q

,

∂P

=

∂R

,

∂Q

=

∂P

,

(23.5)

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

то условие (23.4) заведомо выполнено. В этом случае будем говорить, что условие интегрируемости выполнено в усиленной форме. При этом, как известно из математического анализа, выражение

P dx + Qdy + Rdz

является полным дифференциалом некоторой функции и поэтому в односвязной области в силу (23.5) не зависящий от пути интегрирования криволинейный интеграл второго рода

(x,y,z)
u(x, y, z) = (x0,y∫0,z0) P (t, τ, θ)dt+	(23.6)
+Q(t, τ, θ)dτ + R(t, τ, θ)dθ
задает интегральную поверхность u(x, y, z) =	0 уравнения
Пфаффа (23.1).

В общем случае из выполнения условия интегрируемости (23.3) следует существование такой функции µ(x, y, z), называемой интегрирующим множителем уравнения Пфаффа (23.1), что выражение

µP dx + µQdy + µRdz

является полным дифференциалом некоторой функции. В этом случае в односвязной области не зависящий от пути интегрирования криволинейный интеграл второго рода

(x,y,z)
u(x, y, z) = (x0,y∫0,z0)	µ(t, τ, θ)P (t, τ, θ)dt+	(23.7)

+µ(t, τ, θ)Q(t, τ, θ)dτ + µ(t, τ, θ)R(t, τ, θ)dθ

88

задает интегральную поверхность u(x, y, z) = 0 уравнения Пфаффа (23.1).

Пусть условие (23.3) выполнено и Π есть интегральная поверхность уравнения Пфаффа (23.1). Тогда любая линия L

на поверхности Π является интегральной линией уравнения

−→

Пфаффа (23.1), т.к. характеристики векторного поля F ортогональны поверхности Π , а поэтому и любой линии, расположенной на поверхности Π. Поэтому, если u(x, y, z) = 0 есть двумерный интеграл уравнения Пфаффа (23.1), то при любой функции v(x, y, z) система соотношений

u(x, y, z) = 0, v(x, y, z) = 0

(если только она определяет линии в пространстве R3) задает одномерный интеграл уравнения Пфаффа (23.1).

Рассмотрим теперь задачу нахождения одномерных интегралов уравнения Пфаффа (23.1) без предположения о выполнении условия (23.3). Пусть z = z(x, y) есть уравнение произвольной поверхности Π. Если интегральная линия L уравнения Пфаффа (23.1) расположена на Π, то одновременно выполняются соотношения

z = z(x, y), P dx + Qdy + Rdz = 0, dz = ∂x∂z dx + ∂y∂zdy.

Поэтому
P (x, y, z(x, y)) + R(x, y, z(x, y))		∂z(x, y)			dx+
		∂x
(				)		(23.8)
	∂z(x, y)
+(Q(x, y, z(x, y)) + R(x, y, z(x, y))			)dy =			0.
		∂y

Уравнение (23.8) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка в симметрической форме. Если φ(x, y) = 0 есть частный интеграл дифференциального уравнения (23.8), то линия L, определяемая соотношением φ(x, y) =

89

0, z = z(x, y) , является интегральной для уравнения Пфаффа (23.1).

90