Дифференциальные уравнения 1

Лемма 33.1. Если векторный степенной ряд

∑+∞

ak,jxkyj	(33.12)
k,j=0
абсолютно сходится при x = τ ̸= 0 и yi = ξi ̸= 0, то он

сходится абсолютно при всех |x| < |τ|, |yi| < |ξi|, i = 1, n.

Доказательство. Из абсолютной сходимости векторного степенного ряда при x = τ ≠ 0 и yi = ξi ≠ 0 следует, что

||ak,jτkξj|| 6 M, k N {0}, j1 N {0}, . . . , jn N {0}.

В самом деле, возрастающая последовательность неотрицательных частичных сумм знаконеотрицательного числового ряда, составленного из норм элементов векторного степенного ряда (33.12), имеет своим пределом некоторое число M > 0, которым ограничены все члены числового ряда. Так как

||ak,jxkyj|| = ||ak,jτkξj||

x k

y1

j1

yn

jn

τ

ξ1

· · ·

ξn

6

x

k

y1

j1

jn

yn

6 M

τ

ξ1

· · ·

ξn

и знаконеотрицательный ряд

k+j1

+∞

x

k

y1

j1

· · ·

yn

jn

+...+jn=0 M

τ

ξ1

ξn

∑

сходится при

	x		< 1,		y1		j1		yn		jn
	τ				ξ1		< 1, . . . ,		ξn		< 1,

то исходный векторный степенной ряд сходится абсолютно при

|x| < |τ|, |yi| < |ξi|, i = 1, n.

151

Лемма 33.1 доказана.

Следствие 33.1. Если для дифференциальной системы (33.1) постоянные ρ > 1 и R > 1, то

||ak,j|| 6 M = const.

Теорема 33.3 (Коши). При любом начальном условии

y|x=s = ξ

задача Коши для голоморфной в окрестности точки

(s, ξ)

дифференциальной системы (33.1) имеет (и притом единственное) решение, голоморфное на некотором интервале

|x − s| < r, r > 0.

Доказательство (не умаляя общности) проведем для случая

s = 0, ξi = 0, i = 1, n, ρ > 1, R > 1.

По теореме 33.1 задача Коши (33.1) – (33.3) обладает единственным формальным решением y. На основании следствия 33.1 векторный степенной ряд

∑+∞

Mxkyj

k,j=0

при

|x| < 1, |yi| < 1, i = 1, n,

является мажорантой векторного степенного ряда для голоморфной функции f. Поэтому модельная дифференциальная система (33.10) служит мажорантой для дифференциальной

152

системы (33.1), (33.2). На основании свойств модельной дифференциальной системы (33.10) существует решение

z, z|x=0 = 0,

голоморфное при

|x| < r1 < 1.

В силу теоремы 33.2 векторный степенной ряд для решения z является мажорантой векторного степенного ряда для формального решения y. Поэтому y есть голоморфное решение задачи Коши (33.1) – (33.3) на некотором интервале

|x| < r, r > r1.

Теорема 33.3 доказана.

153

§ 34. Устойчивость систем дифференциальных уравнений.

Возникновение математической теории устойчивости движения связано с именем гениального русского математика и механика Александра Михайловича Ляпунова (1857 – 1918). Основы этой теории были разработаны А. М. Ляпуновым более 100 лет назад, когда им была опубликована работа "Общая задача об устойчивости движения".

Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

	dy	= f(x, y).	(34.1)
	dx

Будем считать, что для дифференциальной системы (34.1) выполняется требование существования и единственности решения задачи Коши в некоторой области G Rn+1. Кроме того, будем предполагать, что решения данной дифференциальной системы определены при любом x > x0, т.е. могут быть продолжены на весь промежуток [x0, +∞). Приведем формулировки двух утверждений, в которых гарантирована определенность всех решений дифференциальной системы (34.1) при всех X R.

Предложение 34.1. Пусть вектор–функция f определена и непрерывна при x R, y Rn. Тогда если ее компоненты fi, i = 1, n, обладают свойством

∑n

fi(x, y) = O(w), w → +∞, w = |xi|, i = 1, n,

i=1

то решения дифференциальной системы (34.1) определены при любых x R.

Напомним, что свойство

fi(x, y) = O(w) при w → +∞

154

означает существование ненулевого конечного предела

		lim	fi(x, y)	= λ R\{0}.
	w		w
		+
		→ ∞

Введем вспомогательные условные обозначения:

+∞
r = ||y||, I = ∫	dr
		.
	L(r)
0

Предложение 34.2. Если существует непрерывная при r > 0 функция L(r), такая, что несобственный интеграл I является расходящимся, а

|fi| 6 L(r), i = 1, n,

то все решения дифференциальной системы (34.1) определены при любых x R.

Пример 34.1. Для линейной дифференциальной системы

dxdy = A(x)y

условия обеих утверждений будут выполнены, если элементы матрицы A(x) являются непрерывными и ограниченными функциями x.

В дальнейшем будем предполагать, что для системы (34.1) выполнены условия одного из двух предложений 34.1 и 34.2.

Определение 34.1. Решение y0(x) дифференциальной системы (34.1), определенное при x > x0, будем называть устойчивым по Ляпунову (устойчивым), если для любого достаточно малого ε > 0 существует такое число δ = δ(ε, t0) > 0, что все решения y(x) этой дифференциальной системы, удовлетворяющие условию ||y(x0) − y0(x0)|| < δ, определены при x > x0 и для них выполнено неравенство

||y(x0) − y0(x0)|| < ε, x > x0.

(34.2)

155

Определению 34.2 можно дать следующую геометрическую интерпретацию: решение y0(x) дифференциальной системы (34.1) устойчиво по Ляпунову, если график функции y(x) = ||y(x)||, соответствующий любому решению y(x) этой дифференциальной системы, достаточно близкому к решению y0(x) при x = x0, целиком расположен в сколь угодно узкой полосе шириной 2ε, построенной вдоль графика функции y0(x) = ||y0(x)|| (на рис. 34.1 такая полоса заштрихована).

Y

Y (X )

ε

δ

ε	δ	Y 0 (X )

O

X0

X

Рис. 34.1.

Определение 34.2. Решение y0(x) дифференциальной системы (34.1) будем называть асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову, и, кроме того, при

||y(x0) − y0(x0)|| < δ(ε, x0)
выполнено условие
lim	||y(x0) − y0(x0)|| = 0	(34.3)
x +
→ ∞

Дополнительное условие (34.3) означает, что любые решения дифференциальной системы (34.1), мало отклоняющиеся от y0(x) в начальный момент времени x0, с ростом x неограниченно приближаются к решению y0(x).

156

Определение 34.3. Решение y0(x) дифференциальной системы (34.1) будем называть неустойчивым по Ляпунову (неустойчивым), если для некоторых ε0 > 0, x0 и любого δ > 0 существует решение y (x) этой дифференциальной системы и момент времени x1 = x1(δ, ε) > x0, такие, что

||y (x) − y0(x0)|| < δ, а ||y (x1) − y0(x1)|| > ε. Геометрически это означает, что если решение y0(x) диф-

ференциальной системы (34.1) неустойчиво по Ляпунову, то среди всех решений этой дифференциальной системы найдется хотя бы одно даже достаточно близкое при x = x0 к y0(x) решение, которое в момент времени x1 > x0 пересечет полосу (см. рис. 34.1) с выбранным фиксированным радиусом ε и выйдет за ее пределы.

Для исследования устойчивости решения y0(x) дифференциальной системы (34.1) удобно выполнить в данной дифференциальной системе замену

z = y − y0(x).

Данное преобразование равносильно замене

y(x) = z(x) + y0(x)

(34.4)

в дифференциальной системе (34.1). Подставляя (34.4) в (34.1) и учитывая, что y = y0(x) есть решение дифференциальной системы (34.1), получаем

dz

dx = f(x, z + y0(x)) − f(x, y0(x)).

Обозначая

F (x, z) = f(x, z + y0(x)) − f(x, y0(x)),

окончательно имеем

	dz	= F (x, z),	(34.5)
	dx
		157

где F (x, 0) ≡ 0.

Входящие в дифференциальную систему (34.5) обыкновенные дифференциальные уравнения называют уравнениями возмущенного движения. Они имеют очевидное нулевое (тривиальное) решение y0(x) ≡ 0. Решение y0(x) дифференциальной системы (34.1), устойчивость которого подлежит анализу, называют невозмущенным движением. Переменные z называют возмущениями.

Итак, мы показали, что устойчивость по Ляпунову решения y0(x) дифференциальной системы (34.1) равносильна устойчивости нулевого решения z0(x) ≡ 0 уравнений возмущенного движения. Поэтому составление уравнений возмущенного движения есть первый этап при анализе устойчивости невозмущенного движения.

158

§ 35. Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим нормальную неоднородную линейную дифференциальную систему

dxdz = A(x)z + f(x) (35.1)

из n линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и соответствующую ей однородную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

	dy	= A(x)y.	(35.2)
	dx

Будем предполагать, что элементы квадратной матрицы A(x) порядка n и вектор-функция f(x) непрерывны при любых x > x0.

Определение 35.1. Дифференциальную систему (35.1)

будем называть устойчивой (неустойчивой), если все ее решения z(x) устойчивы (неустойчивы) по Ляпунову.

Определение 35.2. Дифференциальную систему (35.1)

будем называть асимптотически устойчивой, если все ее решения y(x) асимптотически устойчивы.

Теорема 35.1. Для устойчивости неоднородной дифференциальной системы (35.1) необходимо и достаточно, чтобы было устойчивым тривиальное решение y = 0 соответствующей ей однородной дифференциальной системы (35.2).

Доказательство. Необходимость. Согласно определению 35.1, если дифференциальная система (35.1) устойчива, то все ее решения устойчивы по Ляпунову. Пусть z (x) = g(x) есть одно из таких решений. В силу определения 34.1 это означает, что для каждого ε > 0 существует δ > 0, такое, что

159

для любого другого решения z(x) дифференциальной системы (35.1) справедливо при x > x0 неравенство ||z(x)−g(x)|| < ε, если только z(x0) − g(x0) < δ. Но в соответствии разность z(x)—g(x) = y(x) является решением однородной дифференциальной системы (35.2), и предпоследнее неравенство эквивалентно неравенству ||y(x)|| < ε при x > x0, если только ||y(x0)|| < δ. А это и означает, согласно определению 34.1, устойчивость тривиального решения y (x) ≡ 0 однородной дифференциальной системы (35.2).

Достаточность. Пусть тривиальное решение y (x) ≡ 0 однородной дифференциальной системы (35.2) устойчиво по Ляпунову. Тогда в силу определения 34.1 для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого решения y(x) этой дифференциальной системы при ||y(x0)|| < δ справедливо неравенство ||y(x)|| < ε, x > x0. Следовательно, если z (x) = g(x) есть некоторое решение неоднородной дифференциальной системы (35.1), a z(x) есть произвольное решение этой дифференциальной системы, такое, что z(x) = y(x) + g(x), то из неравенства ||y(x0)|| = ||z(x0) − g(x0)|| < δ будет вытекать неравенство ||z(x) − g(x)|| < ε, x > x0. Это означает, что решение z (x) = g(x) устойчиво и в силу определения 35.1 неоднородная дифференциальная система (35.1) устойчива. Теорема 35.1 доказана.

Замечание 35.1. Аналогичный критерий имеет место и для асимптотической устойчивости дифференциальных систем (35.1) и (35.2): для этого необходимо и достаточно, чтобы тривиальное решение y (x) ≡ 0 однородной дифференциальной системы было асимптотически устойчивым (У–28).

Таким образом, при исследовании устойчивости любой нормальной неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений достаточно рассматривать лишь соответству-

160