Дифференциальные уравнения 1

ющую ей однородную дифференциальную систему. Однако анализ решений однородной дифференциальной системы вида (35.1) с точки зрения их устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости является при произвольной матрице A(x) далеко не простой задачей.

Рассмотрим нормальную однородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

	dy	= Ay.	(35.3)
	dx

Для такой дифференциальной системы справедливо следующее утверждение.

Теорема 35.2. Для асимптотической устойчивости однородной дифференциальной системы (35.3) необходимо и достаточно, чтобы любое из m различных собственных значений λ1, . . . , λm матрицы A имело отрицательную действи-

тельную часть, т.е.
Re λj < 0, j = 1, m.	(35.4)

Доказательство данного утверждения проводится на основе анализа общего решения однородной дифференциальной системы (35.3).

Аналогичным образом доказывается следующее утверждение.

Теорема 35.3. Для устойчивости по Ляпунову однородной дифференциальной системы (35.3) необходимо и достаточно, чтобы

Re λj 6 0, j =
	1, m,		(35.5)

где λj есть собственные значения матрицы A, причем тем собственным значениям λj, для которых Re λj = 0, соответствуют простые элементарные делители, j = 1, m.

161

§ 36. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Рассмотрим случай, когда правые части n уравнений возмущенного движения, составляющих дифференциальную систему вида (34.5), не зависят от переменной x, т.е.

dxdy = F (y), F (0) = 0, (36.1)

причем вектор–функция F (x) дважды непрерывно дифференцируема по фазовым переменным x1, . . . , xn в некоторой окрестности начала координат O = 0 фазового пространства Rn. В соответствии с условием дифференцируемости функции F (y) представим ее в окрестности точки O в виде

F (y) = Ay + F (y),

где Аy есть линейная часть приращения функции (А есть матрица Якоби, элементы которой вычислены в точке y = 0), а F (y) представляет собой совокупность членов более высокого порядка малости, т.е.

	lim		||F (y)||	= 0.
||y||→0 ||y||
Тогда дифференциальная система (36.1) примет вид
	dy	= Ay + F (y).			(36.2)
	dx

Если в дифференциальной системе (36.2) отбросить слагаемые F (y), то получим дифференциальную систему (35.3), которую в данном случае называют системой уравнений первого приближения. Приведем формулировки двух основных теорем, установленных A.M. Ляпуновым и получивших название теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

162

Теорема 36.1. Если все корни характеристического уравнения det (A—λI) = 0 системы уравнений первого приближения (35.3) имеют отрицательные действительные части Re λ < 0, то невозмущенное решение y (x) ≡ 0 асимптотически устойчиво, каковы бы ни были слагаемые F (y)

в (36.2).

Теорема 36.2. Если среди корней характеристического уравнения системы уравнений первого приближения (35.3) имеется хотя бы один с положительной действительной частью, то невозмущенное решение y (x) ≡ 0 неустойчиво независимо от вида слагаемых F (y) в (36.2).

При выполнении условий этих теорем анализ асимптотической устойчивости невозмущенного движения можно провести по уравнениям первого приближения. Однако эти теоремы оставляют невыясненными случаи, когда характеристическое уравнение системы первого приближения, не имея корней с положительными действительными частями, имеет корни с действительными частями, равными нулю, т.е. когда корни являются чисто мнимыми числами или равны нулю. Такие случаи анализа устойчивости названы A.M. Ляпуновым критическими в том смысле, что для них устойчивость и неустойчивость не могут быть выяснены рассмотрением уравнений первого приближения. Исследование устойчивости в критических случаях представляет собой сложную задачу.

Вернемся к теоремам 36.1 и 36.2 об устойчивости по первому приближению. Характеристическое уравнение det (A −

λI) = 0 можно привести к виду
λn + an−1λn−1 + . . . + a0 = 0.	(36.3)

Условия, при которых действительные части корней характеристического уравнения (36.3) отрицательны, выражает следующая теорема, названная по имени английского математи-

163

ка и физика Э. Рауса (1831-1907) и немецкого математика А. Гурвица (1859-1919).

Теорема 36.3 (критерий Рауса–Гурвица). Действительные части всех корней характеристического уравнения (36.3) отрицательны тогда и только тогда, когда все главные миноры определителя n–го порядка

	−	−	−
	an 1	1	0	0	. . . 0	0
	an−3 an 2 an 1			1	. . . 0	0
	−	−	−	−
	an 5 an 4 an 3			an 2	. . . 0	0
				. . .	. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
	0	0	0	0	. . . 0	a0

положительны (мы считаем, что aj = 0, если j < 0).

Пример 36.1. Для характеристического уравнения второй степени

		λ2 + a		λ + a			0	= 0
			1
условия Рауса–Гурвица имеют вид:
						a	1
или	= a1	> 0, ∆2	=			01	a0			= a0a1	> 0,
∆1

a0 > 0, a1 > 0.

164

§ 37. Метод функций Ляпунова.

Для исследования устойчивости A.M. Ляпунов разработал два метода. Первый метод Ляпунова основан на интегрировании системы уравнений возмущенного движения. Второй, или прямой, метод Ляпунова не связан с возможностью интегрирования этой системы, а приводит к отысканию функций, обладающих определенными свойствами, и его часто называют также методом функций Ляпунова. Изложим основные понятия этого метода.

Пусть система из n уравнений возмущенного движения имеет вид (36.1). Рассмотрим некоторую скалярную функцию V (y) векторного аргумента y при условии

n
∑	6 H = const > 0,
yi2		(37.1)

i=1

считая в (36.1) переменную (время) x > 0. Будем полагать функцию V (y) непрерывной вместе со своими частными про-

	изводными	∂V	, i =		, в области U, определяемой условием
				1, n
		∂yi				√
	(37.1) и представляющей собой замкнутый шар радиуса						H

в фазовом пространстве Rn (центр шара находится в точке O). При y = 0 функция V (y) обращается в нуль: V (0) = 0.

Наряду с функцией V (y) будем рассматривать ее полную производную по x в силу дифференциальной системы

системы (36.1):
	dV		∑
	dx	=		∂yi	Fi(y) = (grad V (y), F (y)), y U.	(37.2)
			i=1

Определение 37.1. Функцию V (y) будем называть знакоопределенной (определенно–положительной или определенно–отрицательной), если она во всей области

165

U за исключением точки y = 0 принимает значения одного знака (положительные или отрицательные), y U\{0}.

Определение 37.2. Функцию V (y) будем называть знакопостоянной (постоянно–положительной или посто- янно–отрицательной), если она принимает в области U значения одного знака, но может обращаться в нуль и при y ≠ 0, т.е. V (y) > 0 (V (y) 6 0), y U\{0}.

Пример 37.1. Функция V (y1, y2) = y12 + y22 определенно– положительная, а V (y1, y2) = (y1 − y2)2 постоянно–положи- тельная (так как она обращается в нуль на всей прямой y1 = y2).

Определение 37.3. Функцию V (y) будем называть знакопеременной, если она в области U может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 37.1 (теорема Ляпунова об устойчивости).

Если для дифференциальной системы (36.1) возможно найти знакоопределенную функцию V (y), полная производная

которой dVdx в силу этой системы есть знакопостоянная функция противоположного с V (y) знака или тождественно равная нулю, то решение y (x) ≡ 0 устойчиво.

Пример 37.2. Рассмотрим дифференциальную систему

dy1	= y2 + 3y12y22 − 4y15,	dy2	= −y1 − y23 + y13y2. (37.3)
dx		dx

В качестве функции V (y) возьмем определенно–положитель-

y2

+ y2

ную функцию V (y1, y2) =

1

2

. Вычислим полную произ-

2

водную в силу системы (37.3):

dV

= y1

dy1

+y2

dy2

= y1(y2

+3y12y22−4y15)+y2(−y1−y23+y13y2) =

dx

dx

dx

=

−

(2y13

−

y22)2

6 0.

166

Функция dVdx является постоянно–отрицательной. Поэтому на основании теоремы 37.1 приходим к выводу, что нулевое решение y1(x) = y2(x) = 0 устойчиво.

Теорема 37.2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если для дифференциальной системы (36.1) возможно найти знакоопределенную функцию V (y),

полная производная которой dVdx в силу этой системы есть знакоопределенная функция со знаком, противоположным знаку V (y), то решение y (x) ≡ 0 асимптотически устойчиво.

Пример 37.2. Рассмотрим дифференциальную систему

dy1	= 2y23 − y15,	dy2	= −y1 − y23.	(37.4)
dx		dx

В качестве функции V (y) возьмем определенно–положитель-

							y2	+ y4
ную функцию V (y1, y2) =							1	2	. Вычислим полную произ-
								2
водную в силу системы (37.4):
	dV		dy1		dy2
		= y1		+ y2		= y1(2y23 − y15) + y2(−y1 − y23) =
	dx		dx		dx

= −y16 − 2y26 < 0.

Функция dVdx является определенно–отрицательной и на основании теоремы 37.2 приходим к выводу, что нулевое решение y1(x) = y2(x) = 0 асимптотически устойчиво.

Удовлетворяющие условиям теорем 37.1 и 37.2 функции

V (y) называют функциями Ляпунова.

Определение 37.4. Пусть дана функция V (y), y U, где U есть область, определяемая условием (37.1). Совокупность значений переменных y из области U, удовлетворяющая неравенству V (y) > 0, будем называть областью V > 0, а поверхность V (y) = 0 – границей области V > 0.

167

Определение 37.5. Функцию W (y) будем называть оп- ределенно-положительной в области V > 0, если во всех точках этой области она положительна и в нуль может обратиться только на границе этой области или вне ее.

Теорема 37.3 (теорема Четаева). Если дифференциальная система (36.1) такова, что возможно найти функцию V (y), для которой существует область V > 0, и если полная

производная dVdx в силу этой системы является определенноположительной в области V > 0, то решение y (x) ≡ 0 неустойчиво.

Функции, удовлетворяющие условию теоремы 37.3, называют функциями Четаева – по имени русского математика и механика Н. Г. Четаева (1902-1959).

Пример 37.3. Рассмотрим дифференциальную систему

	dy1	= y13	+ 2y1y22,	dy2	= y1y2.	(37.5)
	dx			dx

Рассмотрим функцию V (y1, y2) = y1 − y22. Вычислим полную

dV

производную в силу системы (37.5) (У–29): dx = y13. Область V > 0 можно задать неравенством y1 > y22. В этой области функция dVdx является определенно–положительной. Таким образом, выполнены условия теоремы 37.3, т.е. выбранная функция V (y1, y2) является функцией Четаева и поэтому нулевое решение y1(x) = y2(x) = 0 неустойчиво.

Отметим, что применение прямого метода Ляпунова основано на использовании функции V (y), однако к настоящему времени не известен общий способ построения функции Ляпунова, удовлетворяющей соответствующим теоремам.

В частном случае однородной линейной дифференциальной системы (35.3) с постоянными коэффициентами функцию

168

Ляпунова следует искать в классе квадратичных форм:

V (y) = yT Вy,

где матрица В является искомой. Полная производная в силу дифференциальной системы (35.3) имеет вид

dVdx = yT (AT B + BA)y.

Потребуем теперь, чтобы квадратичная форма V (y) удовлетворяла уравнению dVdx = W (y), где W (y) = yT Сy есть заданная квадратичная форма. Для нахождения матрицы В запишем матричное уравнение

AT B + BA = C.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 37.4. Если корни характеристического уравнения дифференциальной системы (35.3) таковы, что λj +λk ≠ 0 ни при каких j = 1, n, k = 1, n, то, какова бы ни была наперед заданная квадратичная форма W (y) = yT Cy, существует единственная квадратичная форма V (y) = yT By,

удовлетворяющая уравнению dVdx = W (y).

Заметим, что если все Re λj < 0, j = 1, n, то условие λj + λk ≠ 0 будет заведомо выполнено.

169

§ 38. Автономные системы.

Рассмотрим автономную дифференциальную систему

	dx	= f(x),	(38.1)
	dt

где вектор–функция f определена на пространстве Rn и удовлетворяет условию Липшица по всем своим аргументам в каждой ограниченной части данного пространства. Тогда при

начальном условии

x(0) = x0

существует решение

x = x(t; x0)

дифференциальной системы (38.1), определенное в некоторой окрестности точки t = 0.

Это решение можно рассматривать как закон движения точки в пространстве Rn, т.е. закон изменения по времени координат этой точки. При этом движении точка x описывает некоторую траекторию lx0, зависящую от выбора начальной точки x0 (не следует путать эту траекторию с интегральной кривой дифференциальной системы (38.1), так как интегральная кривая расположена в (n+1)–мерном пространстве (t, x)).

При законе движения x = x(t) вектор скорости выражается

по формуле

v = dxdt .

Поэтому автономная дифференциальная система (38.1) задает поле скоростей (поле направлений) в пространстве

Rn, т.е. в каждой точке x задается вектор v = f(x). При этом решением служит такой закон движения точки, при котором

170