Дифференциальные уравнения 1
.pdfБудем рассматривать A(x) как матрицу с периодом, равным 2ω. По этому периоду строим матрицу монодромии. Так
как
Φ(x + 2ω) = Φ(x + ω)B = Φ(x)B2, x R,
то матрица монодромии по периоду 2ω равна квадрату матрицы монодромии по периоду ω. Известно, что если B есть вещественная матрица, то матрица B2 имеет вещественный логарифм. Поэтому для вещественной дифференциальной системы (32.1) всегда существует вещественная замена (32.9), где G(x) есть вещественная неособая при всех x R 2ω– периодическая гладкая матричная функция, переводящая дифференциальную систему (32.1) в дифференциальную систему с постоянной вещественной матрицей коэффициентов.
141
§ 33. Голоморфные системы дифференциальных уравнений.
Рассмотрим нормальную систему обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений |
|
|
|
|
dy |
= f(x, y), |
(33.1) |
|
dx |
||
|
|
|
где f есть голоморфная на области G Rn+1 вектор–функция. Тогда для каждой точки (s, ξ1, . . . , ξn) G существует такая ее окрестность
|x − s| < ρ, max |yi − ξi| < R,
i=1,n
в которой вектор–функция f разлагается в сходящийся векторный степенной ряд
f(x) = |
+∞ |
akj1...jn(x − s)k(y1 − ξ1)j1 · · · (yn − ξn)jn, |
|
||
k j |
+...+j |
=0 |
+ 1 |
∑ n |
|
akj1...jn Rn, k N {0}, j1 N {0}, . . . , jn N {0}.
Введем вспомогательные обозначения
ξ = (ξ1, . . . , ξn)T , j = (j1, . . . , jn), yj = y1j1 · · · ynjn.
Тогда предыдущий векторный степенной ряд можно записать в виде
∑+∞
akj1...jn(x − s)k(y1 − ξ1)j1 · · · (yn − ξn)jn =
k+j1+...+jn=0
∑+∞
=ak,j(x − s)k(y − ξ)j.
k,j=0
142
Для упрощения рассуждений выполним в исходной дифференциальной системе (33.1) замену
x 7→x + s, y 7→y + ξ
(это равносильно случаю s = 0, ξ = 0). Тогда правая часть дифференциальной системы (33.1) принимает вид
∑+∞
f(x, y) = |
ak,jxkyj, (x, y) Π, |
(33.2) |
|
k,j=0 |
|
где Π = {(x, y)| |x| < ρ, max |yi − ξi| < R}.
i=1,n
Так как голоморфная на Π вектор–функция является непрерывно дифференцируемой, то из теоремы 18.1 (Пикара–Лин- делефа) вытекает, что дифференциальная система (33.1) при представлении (33.2) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию
y|x=0 = 0. |
(33.3) |
Определение 33.1. Векторный степенной ряд будем называть формальным, если о его сходимости ничего не предполагается.
Таким образом, векторный степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Определение 33.2. Формальный векторный степенной ряд будем называть формальным решением дифференциальной системы (33.1), если после подстановки данного формального векторного степенного ряда в эту дифференциальную систему получаем в правой и левой частях формальные векторные степенные ряды с совпадающими соответствующими коэффициентами.
Далее будем рассматривать существование формального
143
решения
∑+∞
y(x) = Akxk, Ak Rn, |
(33.4) |
k=0 |
|
задачи Коши (33.1) – (33.3).
На множестве голоморфных в окрестности точки (0, 0) Π функций g определим линейный дифференциальный опера-
тор
L = ∂x∂ + ∂y∂ · f,
действующий по правилу
Lg = ∂x∂g + ∂y∂g · f.
Вчастности, Ly = f.
По индукции строим k–ую (k > 1) степень линейного диф-
ференциального оператора L:
Lk = L(Lk−1), L0g = g.
При этом отметим, что если y есть решение дифференциальной системы (33.1), то
dxd g(x, y(x)) = ∂x∂g + ∂y∂g · dydx(x) =
= ∂x∂g + ∂y∂g · f(x, y(x)) = Lg(x, y(x)).
Поэтому L называют оператором дифференцирования в силу дифференциальной системы (33.1).
Теорема 33.1. Задача Коши (33.1) – (33.3) имеет (и притом единственное) формальное решение (33.4), где
Ak = k1!Lk−1f|(x,y)=(0,0), k N.
144
Доказательство. Будем искать решение задачи Коши (33.1)
– (33.3) в виде формального векторного степенного ряда (33.4). Из начального условия (33.3) следует, что A0 = 0. После подстановки в дифференциальную систему (33.1), (33.2) формального векторного степенного ряда
∑+∞
y = y(x) = Akxk,
k=1
в левой части получаем формальный векторный степенной
ряд
∑+∞
|
(k + 1)A |
|
xk, |
(33.5) |
||
|
|
|
k+1 |
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
а в правой части – выражение |
|
|
(+∞ |
)j |
||
|
+∞ |
|
|
|||
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
f(x, y(x)) = |
a |
k,j |
xk |
|
A xl |
, |
|
|
|
|
l |
|
|
|
k,j=0 |
|
|
|
l=1 |
|
которое после выполнения указанных в нем действий представимо в виде формального векторного степенного ряда
∑+∞
f(x, y(x)) = Bkxk, Bk Rn. |
(33.6) |
k=0
Полагая в соотношении (33.6), что x = 0, имеем
B0 = f|(x,y)=(0,0).
Продифференцируем соотношение (33.6) по x, считая y(x) решением дифференциальной системы (33.1), (33.2). Получаем,
что
dxd f(x, y(x)) = ∑+∞ kBkxk−1,
k=1
145
или
∑+∞
Lf(x, y(x)) = kBkxk−1. |
(33.7) |
k=1 |
|
При x = 0 имеем
B1 = Lf|(x,y)=(0,0).
Если продифференцировать соотношение (33.7) по x, то получим
|
|
+∞ |
|
|
|
∑ |
|
L2f(x, y(x)) = k(k − 1)Bkxk−2, |
|||
откуда |
|
k=2 |
|
1 |
|
||
B2 = |
L2f|(x,y)=(0,0) |
||
|
|||
2! |
и
Bk = k1!Lkf|(x,y)=(0,0), k N {0}.
Приравнивая соответствующие коэффициенты формальных векторных степенных рядов (33.5) и (33.6), получаем
(k + 1)Ak+1 = k1!Lkf|(x,y)=(0,0), k N {0}.
Заменяя теперь в последних соотношениях k на k − 1, имеем, что
Ak = k1!Lk−1f|(x,y)=(0,0), k N {0}.
Теорема 33.1 доказана.
Определение 33.3. Формальный векторный степенной ряд вида
∑+∞ Lkk!y x=0 xk
k=0
будем называть рядом Ли функции y = y(x).
Из соотношения f = Ly следует, что формальное решение y задачи Коши (33.1) – (33.3) представимо рядом Ли.
146
Отметим, что при вычислении выражений
Lk−1f|(x,y)=(0,0)
приходится выполнять лишь действия дифференцирования формальных векторных степенных рядов, сложения и умножения. Поэтому компоненты векторных коэффициентов Ak являются полиномами компонент векторных коэффициентов ai,j с положительными коэффициентами.
Определение 33.4. Голоморфную дифференциальную систему
dy |
+∞ |
|
|
|
∑ |
dx |
= g(x, y), g(x, y) = |
bk,jxkyj, (x, y) Π, (33.8) |
|
|
k,j=0 |
будем называть мажорантой голоморфной дифференциальной системы (33.1), (33.2), если
|(ak,j)i| 6 (bk,j)i, k N {0}, j N {0}, i = 1, n, (33.9)
где (•)i есть i–я компонента вектор-столбца (•), i = 1, n.
Теорема 33.2. Пусть
∑+∞
y = y(x) = Akxk
k=0
и
∑+∞
z = z(x) = Bkxk
k=0
есть формальные решения задач Коши (33.1) – (33.3) и (33.8), (33.3). Тогда если дифференциальная система (33.8) есть мажоранта для дифференциальной системы (33.1), (33.2), то формальный векторный степенной ряд для формального решения z есть мажоранта векторного степенного ряда для формального решения y, т.е.
|(Ak)i| 6 (Bk)i, k N {0}, i = 1, n.
147
Доказательство. Существование и единственность формальных решений следует из теоремы 33.1, причем
1 |
Lk−1f|(x,y)=(0,0), Bk |
|
|
|
1 |
Mk−1f|(x,y)=(0,0), k N {0}, |
|||
Ak = |
|
= |
|
||||||
k! |
k! |
||||||||
где линейный дифференциальный оператор |
|||||||||
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
||
|
|
M = |
|
|
+ |
|
· g. |
||
|
|
|
∂x |
∂y |
Формулы для вычисления соответствующих компонент векторных коэффициентов Ak и Bk однотипны. Поэтому на основании оценок (33.9) и сделанного выше замечания о вычислении компонент коэффициентов приходим к выводу, что имеют место неравенства из утверждения теоремы. Теорема 33.2 доказана.
Определение 33.5. Дифференциальную систему |
|
||
|
dy |
= F (x, y), |
(33.10) |
|
dx |
||
|
|
|
компоненты правой части которой совпадают между собой и равны
M
(1 − x)(1 − y1) · · · (1 − yn), x < 1, x1 < 1, . . . , xn < 1, M > 0,
будем называть модельной дифференциальной системой.
Непосредственными вычислениями убеждаемся (У–25), что дифференциальная система (33.10) имеет n − 1 первых интегралов
y2 − y1, y3 − y1, . . . , yn − y1
и его интегрирование сводится к интегрированию скалярного дифференциального уравнения
dy1 = M . dx (1 − x)(1 − y1)(1 −148y1 − C2) · · · (1 − y1 − Cn)
Для решения y этого дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию
y|x=0 = 0,
выполняется
y1(x) = y2(x) = . . . = yn(x)
и поэтому компоненты yi являются решениями задачи Коши
du |
= |
M |
, u|x=0 |
= 0. |
|
|
|||
dx |
(1 − x)(1 − u)n |
Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его (У–26), получаем решение нашей задачи Коши в окрестности точки x = 0 в виде
√ |
|
u(x) = 1 − n+1 1 + (n + 1)Mln(1 − x). |
(33.11) |
Это решение определено, если x < 1 и
1 + (n + 1)Mln(1 − x) > 0,
т.е. при (У–27)
()
x 6 1 − exp |
1 |
|
|
− |
|
. |
|
(n + 1)M |
Модельная дифференциальная система (33.10) в окрестности начала координат 0 Rn+1 является голоморфной, так как компоненты правой части F этой системы при |x| < 1 и
max |yi| < 1 разлагаются в абсолютно сходящийся степенной
i=1,n
ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
∑ n |
k j |
1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= M |
|
x y |
. . . y |
n. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(1 |
− |
x)(1 |
− |
y1) |
· · · |
(1 |
− |
yn) |
|
1 |
n |
||||
+ 1 |
=0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
149 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k j |
+...+j |
|
|
|
Решение y также голоморфно в некоторой окрестности точки x = 0. В самом деле, из формулы (33.11) на основании теоремы о подстановке степенного ряда в степенной ряд следует, что yi разлагаются в сходящийся абсолютно степенной ряд на некотором интервале (−r, r). Поэтому
∑+∞
y(x) = Akxk, |x| < r.
k=1
Нетрудно показать (У–28), что
()
r > 1 − exp |
1 |
|
|
− |
|
. |
|
(n + 1)M |
Таким образом, мы получили, что решение задачи Коши (33.10), (33.3) для модельной дифференциальной системы является голоморфной вектор–функцией в некоторой окрестности точки x = 0.
Теперь рассмотрим на
Π = {(x, y)| |x| < ρ, max |yi| < R}
i=1,n
дифференциальную систему (33.1), (33.2). Не умаляя общности, будем считать, что
ρ > 1, R > 1,
ибо в противном случае с помощью замен
x 7→ρx2 , y1 7→Ry21 , . . . , yn 7→Ry2n ,
получим дифференциальную систему того же типа, но с увеличенными промежутками изменения переменных x, y1, . . . , yn, соответственно.
150