Дифференциальные уравнения 1

эта точка в процессе движения имеет в каждом положении заданную скорость. Особенность автономной дифференциальной системы (38.1) (у которой в правую часть не входит t) состоит в том, что заданное поле скоростей не меняется с течением времени (т.е. является стационарным). Моделью дифференциальной системы (38.1) может служить стационарный поток газа. Тогда решения определяют закон движения его частиц.

Как мы выяснили ранее, при продолжении решения x(t; x0) в сторону возрастания t (аналогично в сторону убывания t) может представиться два случая: 1) либо решение будет продолжимо на всю полуось 0 6 t < +∞; 2) либо же при приближении к конечному t = T для решения x(t; x0) имеет место соотношение ||x(t; x0)|| → +∞.

Не умаляя общности, будем считать, что имеет место первый случай. В самом деле, рассмотрим автономную дифференциальную систему

	dx	= f(x)r(x),	(38.2)
	dt

где скалярная функция r > 0 (строго положительна) и удовлетворяет тем же условиям, что и вектор–функция f. Эта система обладает теми же траекториями, что и дифференциальная система (38.1), хотя скорости прохождения этих траекторий различны. В то же время легко подобрать функцию r так, чтобы скорость движения, определяемая дифференциальной системой (38.2), была ограниченной. Поэтому при этом движущаяся точка не могла бы за конечное время уйти на "бесконечность". Для этого достаточно положить

( ∑n )−1 2 r = 1 + fi2 .

i=1

171

Итак, мы будем считать, что вектор–функция
x = x(t; x0)	(38.3)

определена для всех точек x0 пространства Rn и для всех значений времени t (−∞, +∞). Поэтому выражение (38.3) определяет точку, в которую перемещается точка x0 за время t.

Покажем теперь, что вектор–функция (38.3) обладает следующими свойствами:

1)она непрерывна по совокупности переменных;

2)x(0; x0) ≡ x0;

3)x(t2; x(t1; x0)) = x(t1 + t2; x0).

Первое свойство вытекает из теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Второе свойство вытекает из определения решения x(t; x0). Третье (групповое свойство) докажем следующим образом.

Так как правые части дифференциальной системы (38.1) не зависят от t, то непосредственными вычислениями получаем, что данная дифференциальная система наряду с решением x = φ(t) всегда обладает решением x = φ(t + t0) при любом постоянном t0 (У–30) (т.е. второе решение определяет ту же траекторию, что и первое, но закон движения по ней сдвинут на t0 назад во времени). Поэтому две функции

x = x(t; x(t1; x0))

и

x = x(t + t1; x0)

определяют решения дифференциальной системы (38.1). Однако при t = 0 оба выражения дают одну и ту же точку x(t1; x0). Поэтому в силу теоремы существования и единственности для дифференциальной системы (38.1) имеем, что

x(t; x(t1; x0)) ≡ x(t + t1; x0).

172

Полагая t = t2, получаем третье свойство.

Наглядный смысл третьего свойства состоит в следующем: чтобы выяснить, куда точка x0 переместится за время t1 + t2, надо сначала посмотреть, в какую точку она перейдет за время t1, а затем, куда эта вторая точка перейдет за время t2.

Свойства 1) – 3) настолько существенны, что часто под автономной системой (потоком) понимают семейство отображений (38.3) любого множества (на котором можно определить непрерывность этого отображения) на себя, если выполняются условия 1) – 3), даже когда никаких дифференциальных уравнений не задано.

Из свойств 2) и 3), в частности, вытекает, что при каждом фиксированном t отображения

x = x(t; x0)

и

x = x(−t; x0)

пространства Rn на себя являются взаимно обратными. В самом деле, точка x0 в результате последовательного применения этих отображений переходит в

x(−t; x(t; x0)) = x(−t + t; x0) = x(0; x0) = x0.

Кроме того, применение этих отображений в обратном порядке также дает x0.

Имеет место также следующее свойство: если две траектории имеют общую точку, то они совпадают, а соответствующие решения различаются лишь постоянным сдвигом по времени. В самом деле, если

x(t1; x1) = x(t2; x2),

173

то

x(t; x1) ≡ x(t + (t2 − t1)); x2).

Это вытекает из теоремы существования и единственности, так как оба решения при t = t1 совпадают.

Теорема 38.1. Решение x(t) дифференциальной системы (38.1) может быть только одного из следующих трех типов:

1) непериодическое, для которого

x(t1) ≠ x(t2) при t1 ≠ t2;

2) периодическое, для которого найдется такое постоянное T > 0 (период), что x(t + T ) ≡ x(t), а x(t1) ≠ x(t2) при

0 6 t1 < t2 < T ;

3) постоянное, для которого x(t) ≡ x0.

Траектории, соответствующие решениям указанных выше типов, называются, соответственно, незамкнутой, замкнутой (циклом) и точкой покоя (состоянием равновесия). Отметим, что траектория, отличная от точки покоя, представляет собой ориентированную линию, т.е. линию, вдоль которой указано направление, принятое за положительное.

Доказательство. Пусть рассматриваемое решение x(t) не принадлежит к первому типу, т.е. пусть x(t1) = x(t2) для некоторых t1, t2, причем t1 ≠ t2. Вводя вспомогательное условное обозначение

τ = t2 − t1,
получаем, что
x(t + τ) ≡ x(t),	(38.4)

так как решения x(t+τ) и x(t) совпадают при t = t1. Рассмотрим множество K тех чисел τ, для которых имеет место тождество (38.4). Нетрудно убедиться, что K вместе с каждым

174

числом τ содержит и число −τ (для этого надо в тождество (38.4) подставить t − τ вместо t). Кроме того, множество K вместе с числами τ1 и τ2 содержит и число τ1 + τ2 (так как

x(t + τ1 + τ2) ≡ x(t + τ1) ≡ x(t)).

Поэтому множество K представляет собой группу относительно сложения. Отсюда следует, что вместе с числами τ1 и τ2 множество K содержит и число τ1 − τ2.

Возможны два случая: 1) множество K обладает наименьшим положительным числом T ; 2) нет наименьшего положительного числа T .

В первом случае

x(t + T ) ≡ x(t),

а

x(t1) ≠ x(t2) при 0 6 t1 < t2 < T.

В этом случае траектория является периодической, т.е. имеет место второй случай. Нетрудно проверить, что в этом случае множество K состоит из всех чисел, кратных периоду T .

Во втором случае в K имеются сколь угодно малые положительные числа. Поэтому имеется такая последовательность положительных чисел из K, что τk → +∞ при k →

+∞. Тогда при любом фиксированном t

[ ]

t −	t	τk → 0 при k → +∞,
	τk

где в квадратных скобках обозначена целая часть веществен-

ного числа. Отсюда в силу непрерывности решения x(t)

( [ ] )

x(t) = x t −	t	τk	→ x(0) при k → +∞.
	τk

175

Поэтому x(t) ≡ x(0) при всех t. Таким образом, мы имеем решение третьего типа. В этом случае множество K содержит всю прямую R.

Теорема 38.1 доказана.

Отметим, что точка покоя x0 называется устойчивой (соответственно, асимптотически устойчивой, неустойчивой), если решение x(t) ≡ x0 дифференциальной системы (38.1) является устойчивым (асимптотически устойчивым, неустойчивым).

Рассмотрим теперь какое–либо решение x(t) дифференциальной системы (38.1) и соответствующую ему траекторию l.

Точку x будем называть предельной точкой решения x(t) (или траектории l) при t → +∞, если существует такая последовательность точек tk → +∞, что x(tk) → x. Совокупность всех таких точек называется предельным множеством при t → +∞ рассматриваемого решения. Аналогичным образом вводятся понятия предельной точки и предельного множества при t → −∞. Отметим также, что предельные точки при t → +∞ и t → −∞ называются также, соответственно, ω–предельными и α–предельными

точками. Аналогично называются и соответствующие предельные множества.

Если какой–либо цикл служит предельным множеством при t → +∞ или t → −∞ для некоторой отличной от него траектории, то он называется предельным циклом.

Нетрудно видеть, что точка покоя является своей единственной предельной точкой как при t → +∞, так и при t → −∞. Предельные множества для незамкнутых траекторий представляют больший интерес, так как они определяют характер поведения траекторий при больших t. Рассмотрим

176

простые свойства предельных множеств, причем для определенности мы будем иметь в виду предельное множество при t → +∞ (теми же свойствами обладает предельное множество при t → −∞).

Теорема 38.2. Предельное множество замкнуто как точечное множество в n–мерном пространстве (т.е. содержит все свои предельные точки).

Доказательство. В самом деле, пусть l есть предельное множество для траектории l, заданной уравнением x = x(t). Кроме того, пусть последовательность точек ak l, ak → x

при k → +∞. Тогда, по определению множества l, при любом k найдется последовательность точек tkj → +∞, для которых x(tkj ) → ak при j → +∞. Выберем такой момент времени tk,

для которого tk > k, а расстояние

1

||x(tk), ak|| < k.

Тогда tk → +∞ при k → +∞, и в то же время

1

||x(tk), x|| 6 ||x(tk), ak|| + ||ak, x|| < k + ||ak, x|| → 0

при k → +∞. Значит, x является предельной точкой при t → +∞, что и требовалось доказать.

Теорема 38.3. Предельное множество состоит из целых траекторий (т.е., если x l, то и вся траектория lx при-

надлежит l).

Доказательство. Заметим, что если исходная трактория l имеет аналитическое задание (38.3) и

x(tn; x0) → x при n → +∞,

причем

tn → +∞ при n → +∞,

177

то при любом фиксированном t

x(tn + t; x0) = x(t; x(tn; x0)) → x(t; x) при n → +∞;

то есть, и

x(t; x) l.

Теорема 38.3 доказана.

Отметим, что теорему 38.3 можно сформулировать и следующим образом: предельное множество является инвариантным относительно отображения

x0 → x(t; x0),

определяемого дифференциальной системой (38.1) в пространстве Rn при каждом t.

Теорема 38.4. Для того, чтобы предельное множество было пустым, необходимо и достаточно, чтобы траектория x(t) при t → +∞ "уходила в бесконечность", т.е. чтобы

||x(t)|| → +∞ при t → +∞.

Доказательство. В самом деле, если это условие выполнено, то предельное множество, очевидно, пустое. Если же условие не выполнено, то найдется шар B : ||x|| 6 R, внутри которого траектория x(t) содержит точки при каких угодно больших t. Поэтому существует последовательность tm → +∞ при m → +∞, для которой последовательность точек x(tm) B. Выбрав из этой ограниченной последовательности сходящуюся подпоследовательность, получим в пределе при t → +∞ предельную точку решения x(t).

Теорема 38.4 доказана.

Теорема 38.5. Для того, чтобы предельное множество состояло из единственной точки x, необходимо и достаточно, чтобы траектория x(t) входила в эту точку при

178

t → +∞, т.е.

x(t) → x при t → +∞.

Доказательство. В самом деле, если это условие выполнено, то утверждение очевидно.

Обратно, пусть дано, что предельная точка x единственна. Зададим произвольное ε > 0. Тогда нам надо будет проверить, что для всех достаточно больших t имеет место неравенство

||x(t), x|| < ε.

Предположим, что это не так. Тогда найдется последовательность t′k → +∞, для которой ||x(t′k), x|| > ε. Однако по определению предельной точки найдется другая последовательность t′′k → +∞, для которой ||x(t′′k), x|| < ε. Отсюда в силу непрерывности функции x(t) следует, что найдется третья последовательность tk → +∞, для которой ||x(tk), x|| = ε. Выбирая из ограниченной последовательности x(tk) сходящуюся подпоследовательность, получим в пределе точку x, для которой ||x, x|| = ε. А это значит, что кроме x имеется по крайней мере еще одна предельная точка. Полученное противоречие и доказывает теорему 38.5.

179

(39.2)

= Ax,

§ 39. Автономные системы на плоскости.

Рассмотрим автономную двумерную дифференциальную систему

	dx	= f(x),	(39.1)
	dt

где вектор–функция f является гладкой на области G R2. Сначала изучим поведение траекторий дифференциальной системы (39.1) в линейном случае, т.е. когда она имеет вид

dx

dt

где det A ≠ 0. При этом предположении дифференциальная система (39.2) имеет единственное состояние равновесия и оно расположено в начале координат O(0, 0) плоскости R2. С помощью линейного невырожденного преобразования x = Sy дифференциальную систему (39.2) приводим к виду

	dy	= Jy,	(39.3)
	dt

где A = SJS−1, J есть вещественная нормальная форма Жордана матрицы A. В зависимости от вида данной вещественной нормальной формы Жордана рассмотрим следующие случаи.

1. Собственные числа λ1 и λ2 матрицы A вещественны, различны и λ1λ2 > 0. В этом случае J = diag{λ1, λ2}. Параметрические уравнения траекторий таковы:

y1 = C1eλ1t, y2 = C2eλ2t, t R.

Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими C1 = 0 или C2 = 0. При C1C2 ≠ 0 имеем, что

C1			λ2	= C2			.
	y1				y2

180