У точковому численні прийнято позначати параметр t через q, а його доповнення до одиниці – через р. Рівняння прямої, записане у вигляді:

M = Ap + Bq,

де p + q = 1,

називається рівнянням прямої АВ у природній параметризації.

Існує безліч і інших параметризацій прямої, кожна з яких пристосована до розв’язання певного виду задач, але природна і стандартна параметризації складають основу точкових рівнянь. Щоб задати точку С на прямій АВ досить задати її параметри (наприклад р_с і q_c, причому p_c + q_c =1 або a_c і b_c, де a_c + b_c = l_AB). Щоб задати відрізок або промінь на прямій досить вказати область зміни параметрів. Задамо, наприклад, значення параметра t для різних геометричних форм:

Значення параметра t Геометрична форма

Параметр t дорівнює нулю (t = 0) Точка А

Параметр t дорівнює одиниці (t = 1) Точка B

Параметр t приймає значення

від 0 до 1 (0 ≤ t ≤1) Відрізок AB

Параметр t більше або дорівнює 0 (t  0) Промінь із А спрямований до B

Параметр t менше або дорівнює 0 (t  0) Промінь із А в напрямку зворотному B

Параметр t більше або дорівнює 1 (t  1) Промінь із B у напрямку зворотному А

Параметр t менше або дорівнює 1 (t  1) Промінь із B у напрямку А

Параметр t належить числовій

осі (– ∞ < t < ∞) Пряма АB

4.4. ПОБУДОВА ЧЕТВЕРТОЇ ВЕРШИНИ ПАРАЛЕЛОГРАМА ПО ТРЬОМ ЗАДАНИМ. РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ.

Н

Рис. 4.3

Рис. 3

ехай задані три вершини A, B, C паралелограма

ABCD. Потрібно визначити току D (четверту вершину паралелограма).

Точка К (рис. 3) є центроїдом діагоналей паралелограма:

2

Рис. 4.4

К = А + С = В + D D = A + C – B.

Твердження:Вершина паралелограма дорівнює сумі двох суміжних з нею вершин без протилежної вершини.

Задача. Визначити рівняння прямої, яка паралельна АВ і проходить через точку С.

Розв’язання: Поточна точка М шуканої прямої утворить з поточною точкою N прямої АВ паралелограм ANMC (рис. 4). Рівняння прямій АВ в природній параметризації має вигляд:

N = Ap + Bq,

тоді шукана вершина М паралелограма ANMC визначить шукане рівняння:

М = Ap + Bq + C – A = A (p - 1) + Bq – C,

де p + q = 1.

Дві незбіжні точки утворюють симплекс прямої; три точки, які не належать прямій утворять симплекс площини; чотири точки, які не належать площині утворять симплекс простору. Симплекс складає геометричну частину визначника лінійної геометричної форми (прямої, площини або простору). Щоб заповнити симплекс безперервною безліччю точок і цим цілком визначити пряму, площину або простір, необхідно задати алгоритм утворення поточної точки М.

П

Рис. 4.5

оточну точку М площини АВС (рис. 5) визначимо як вершину паралелограма NATM, де N,T – поточні точки прямих АС, АВ:

P = (A - C)p + C; Q = (B - C)q + C.

M = (A – C)p + C + (B - C)q + C – C =

= Ap + Bq + C(1 – p - q).

Отже, рівняння площини визначається симплексом АВС за допомогою двох незалежних параметрів p і q.

4.5. ТОЧКОВЕ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ І ПРОСТОРУ В СТАНДАРТНІЙ ТА ПРИРОДНІЙ ПАРАМЕТРИЗАЦІЯХ.

У

Рис. 4.6

симплексі АВС (рис. 4.6) поточну точку М

визначимо орієнтованими площами:

S = S_ABC; S_A = S_MBC; S_B = S_AMC; S_C = S_ABM.

З точкового числення відомо, що рівняння площини через площини орієнтованих трикутників розташованих проти вершин симплексного трикутника виражається співвідношенням:

де s_A +s_B + s_C = s.

Якщо в отриманому співвідношенні, площі замінити пропорційними величинамиa, b, c, одержимо рівняння площини в стандартній параметризації:

Введемо позначення:

Тоді рівняння площини в природній параметризації матиме вигляд:

Геометрична форма в площині визначається областю зміни параметрів відповідно до таблиці:

Таблиця

Значення параметрів p, q, r Геометрична форма

p ≥ 0, q ≥ 0, r ≥ 0, p + q + r =1 Трикутний відсік ABC площини

p = 1, q = r = 0 Точка А

q = 1, p = r = 0 Точка B

r = 1, p = q = 0 Точка C

p = 0, q + r = 1 Пряма BC

q = 0, p + r = 1 Пряма CA

r = 0, p + q = 1 Пряма AB

p + q + r = 1 Площина α(А, B, C)

Параметрами визначається положення точки М щодо симплексу відповідно до схеми:

Схема

Геометрично природні параметри являють собою відношення орієнтованих відрізків (рис. 4.6):

6. ОБЧИСЛЕННЯ ТОЧКИ ПЕРЕТИНУ ПРЯМОЇ ІЗ ПЛОЩИНОЮ

Обчислення точки перетину двох прямих і точки перетину прямої із площиною – найважливіші позиційні задачі курсу нарисної геометрії. Вони, як складові частини, входять у розв’язання багатьох задач. Перетин прямих у курсі розглядається або в площинах проекцій, або в площинах рівня. Отже прямі не можуть бути мимобіжними (точки, що визначають прямі, задаються двома координатами з трьох). Розглянемо цей випадок перетину прямих АВ і СD.

Через площі орієнтованих трикутників АСD

BCD визначаємо відношення АК/ВК.

Введемо позначення:

Тоді, із точкового числення, маємо:

(А - K)/(B - K) = _ACD/_BCD 

Аналогічно, визначимо точку K перетину прямої DE і площини АВС (рис. 4.8):

DK/EK = _DABC/_EABC, звідки маємо

Визначники четвертого порядку складені з координат точок мають вигляд:

Обчислення визначників четвертого порядку

варто проводити способом перетворення або розкладання по координатах точок D і Е.

6. МЕТРИКА ТОЧКОВОГО ЧИСЛЕННЯ.

Для розв’язання метричних задач в точковому численні необхідно ввести метрику в точковій формі і на її основі визначити довжину відрізка, кут між прямими, площу трикутника, перпендикулярність прямих і таке інше.

4.7.1. МЕТРИЧНИЙ ОПЕРАТОР ТРЬОХ ТОЧОК.

ДОВЖИНА ВІДРІЗКА ПРЯМОЇ. КУТ МІЖ ПРЯМИМИ.

У точковому численні особливе місце займає відношення відрізків прямої. Не менш важливу роль відіграє добуток цих відрізків. Спосіб координатного визначення добутку відрізків задає метрику простору, що характеризує властивості вимірів у цьому просторі.

Визначення: Метричним оператором точок АВС при точці А називається число, рівне добуткові довжин направлених відрізків АН і АВ, де Н - ортогональна проекція точки С на пряму АВ:

Для Евклідового простору метричний оператор через Декартові координати заданих точок виражається співвідношенням:

= (x - x)(x - x) + (y - y)(y - y) + +(z – z)(z - z).

З визначення метричного оператора випливає, що він не міняється при перестановці нижніх точок-індексів у позначенні:

Проекції Н відповідає безліч точок C на перпендикулярі до прямої АВ, отже, для кожної точки цієї безлічі метричний оператор не міняється. Нехай Н  B, тоді

B частці випадку, коли C  B, одержимо квадрат довжини відрізка.

ТВЕРДЖЕННЯ. Довжина відрізка АВ визначається співвідношенням:

Безпосередньо з рисунку (рис. 9), випливає: