Положення геометричних образів при яких відстані

І КУТИ НЕ СПОТВОРЮЮТЬСЯ НА ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ.

Я

А₂ С₂ а₂ а₂

В₂ b₂ n₂

А₁ m₂ p₂

С₁

n₁ d₀

a₁  p₁

b₁ m₁ d₀ a₁

В₁ 90

Н. в. трикутника АВС з не Н. в. прямих а і b d₀ – відстань між

спотвореними його сторонами та кута  між ними. m і n. d₀ - відстань

кутами і висотами. C₂ A₂ C₂ С₂ В₂ між а і р. K₂

A₂ А₂ 

A₂ B₂ С₁

B₂ D₂  - кут нахилу

d₀ m₂ K₁ А₁ площини АВС до

A₁ D₁ A₁ d₀ горизонтальної

90 m₁ A₁B₁ ₀ B₁ В₁ площини проекцій

C₁ C₁

d₀ –відстань від ₀ – кут між d₀ – відстань від точки А до прямої m гранями АВС і ABD К до площини АВС Рис. 2.1

кщо прямі і площини займають окреме положення щодо площин проекцій (паралельні або перпендикулярні), то площі, відстані і кути не спотворюються. Отже, якщо необхідно визначити подібні метричні характеристики, то можна перетворити проекції геометричної форми до потрібного окремого положення, при якому потрібну метричну характеристику визначають простим виміром на тій площині проекцій, де ця характеристика не спотворюється. Приведемо положення деяких геометричних форм із неспотвореними метричними характеристиками (рис.2.1).

Для приведення геометричних форм із загального в необхідне окреме положення використовують способи перетворення проекцій. До способів перетворення проекцій відносяться:

• Плоскопаралельне переміщення (ППП).

• Обертання навколо осей перпендикулярних площинам проекцій.

• Заміна площин проекцій (скорочено ЗПП).

• Обертання навколо ліній рівня.

• Спосіб суміщення

• Спосіб допоміжного проектування.

Способи ППП і ЗПП є основними способами перетворення проекцій, а решта – додатковими. ППП і ЗПП є рівноцінними по можливостях, які вони надають при рішенні всіляких задач нарисної геометрії. Додаткові способи застосовуються більш спеціалізовано, тому що кожен з них найбільш ефективний при розв`язанні свого, спеціального класу задач. Ця спеціалізація буде виділена при викладі кожного із способів перетворення проекцій.

ЧОТИРИ ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

Для успішного розв`язання задач нарисної геометрії з застосуванням способів перетворення проекцій виникла необхідність виділити деякі задачі перетворення геометричних форм і особисті позначення для них (дати їм імена):

1. Задача №1. Лінія натуральна (ЛН):

Приведення прямої із загального положення в положення прямої рівня.

2. Задача №2. Лінія - точка (ЛТ):

Приведення прямої в положення прямої, що проектується..

3. Задача №3. Площина - лінія (ПЛ):

Приведення площини загального положення в площину, що проектується..

4. Задача №4. Площина натуральна (ПН):

Приведення площини в положення площини рівня.

Методика розв`язання задач нарисної геометрії з використанням перетворення проекцій

Щоб використовувати перетворення проекцій для розв`язання конкретно заданої задачі, необхідно

• Представити, в якому окремому положенні повинні знаходитися геометричні об'єкти цієї задачі для того, щоб відповідь задачі можна одержати на одній із проекцій дуже просто (наприклад, застосовуючи простий вимір). Деякі з подібних положень приведені на рисунку (рис. 1).

• Відзначити, яке з чотирьох положень ЛН, ЛТ, ПЛ або ПН необхідно для безпосереднього розв`язання задачі.

• Перетворенням проекцій привести задачу до цього окремого положення. Виділити на перетвореній проекції відповідь задачі.

2.2. ПЛОСКО-ПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕМІЩЕННЯ (ППП) - ОДИН ІЗ СПОСОБІВ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

Якщо геометричний об'єкт переміщати в системі площин проекцій так, щоб одна з координат кожної точки його не змінювала своєї величини, то таке переміщення називається плоско-паралельним. Кожна точка об'єкта переміщається по деякій траєкторії розташованої в площині рівня (горизонтальній або фронтальній). Відповідно до цього розрізняють горизонтальне плоско-паралельне переміщення (ГППП) і фронтальне плоско-паралельне переміщення (ФППП). Для розв`язання кожної із чотирьох основних задач перетворення проекцій досить цих двох видів ППП. Якщо мова йде про переміщення об'єкта, то передбачається, що він при цьому не допускає деформацій, тобто відстані між точками об'єкта не змінюються при переміщенні. Оскільки в нарисній геометрії об'єкти простору зображуються на плоскому листі креслення за допомогою системи двох ортогональних проекцій (системи Г. Монжа), то для опису ППП необхідно визначити способи переміщення проекцій при ГППП і ФППП.

ПЕРЕМІЩЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ПРИ ГППП

При ГППП висоти точок переміщуваного об'єкта не змінюються, отже, кожна точка його фронтальної проекції рухається по лініях паралельних осі проекцій. Не змінюючи висоти точок ми не зможемо змінити виду горизонтальної проекції, тільки положення горизонтальної проекції може мінятися, переміщаючись, погоджено з рухом самого об'єкта в просторі. Отже, щоб виконати горизонтальне плоско-паралельне переміщення, необхідно:

1. Не змінюючи форми горизонтальної проекції, перемістити її в потрібне місце (допустимо, як паралельний перенос цієї проекції, так і її поворот).

2. Добудувати фронтальну проекцію кожної точки об'єкта, не змінюючи висот.

Приклад ГППП. Пряму АВ перемістити горизонтально, плоско-паралельно так, щоб вона зайняла положення фронтальної прямої рівня.

РОЗВ`ЯЗАННЯ

Горизонтальну проекцію А₁В₁ (рис. 2) переміщаємо на вільне місце креслення, повертаючи її до положення паралельного осі проекцій Х₁₂. По лініях зв'язку фіксуємо фронтальні проекції точок А₂¹В₂¹.

ПЕРЕМІЩЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ПРИ ФППП

При фронтальному плоско-паралельному переміщенні незмінними залишаються глибини точок. При ФППП фронтальна проекція об'єкта не міняючись по величині, копіює рух його, а горизонтальна проекція кожної його точки переміщається по лініях паралельних осі проекцій Х₁₂.

Приклад ФППП: Площина (АВС) із загального положення перевести в горизонтально-проектуюче положення.

Площина є горизонтально-проектуюча, якщо вона містить горизонтально-проектуючу пряму. Фронтальну пряму можна перевести одним ФППП у фронтально-проектуюче положення. Отже, для розв`язання задачі необхідно в площині провести фронталь, що, разом із площиною, переводимо у фронтально-проектуюче положення (рис.2.3). У нашому прикладі фронталь BD площини АВС фронтальним плоско-паралельним переміщенням спроектована в точку В₁¹  D₁¹, тоді площина трикутника проектується в лінію A₁¹B₁¹C₁¹.

Переважна більшість задач курса нарисної геометрії використовують чотири основні задачі перетворення проекцій. Уміння вирішувати ці задачі дозволить значно розширити можливості інженера. Легко помітити, що задача №1(ЛН – лінія натуральна) розглянута нами у якості приклада (рис.2.3), А₂¹В₂¹ – натуральна величина відрізка АВ. Наступний приклад (рис.2.3) демонструє задачу №3 (ПЛ - площина лінія).

Дві інші задачі (ЛТ і ПН) вимагають попереднього виконання розглянутих нами задач, тільки друге пласко - рівнобіжне переміщення дозволить них вирішити.

2.3. ОБЕРТАННЯ НАВКОЛО ОСІ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЇ ДО ПЛОЩИНИ

ПРОЕКЦІЙ - ОКРЕМИЙ ВИПАДОК ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМІЩЕННЯ

Якщо необхідно визначити натуральні величини відрізків, що виходять з однієї точки, зручно скористатися способом обертання навколо осі, перпендикулярної до площини проекцій. Цей спосіб теоретично нічим не відрізняється від ППП, траєкторією руху, при цьому, буде коло.

Задача.Визначити натуральні величини відрізків SA, SB, SC.

Розв’язання задачі зрозуміло з рисунку (рис.2.6).

Спосіб обертання

застосовується при побудові розгорток пірамід.

2.4. СПОСІБ ЗАМІНИ ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ. РОЗВ’ЯЗАННЯ ОСНОВНИХ ЗАДАЧ

СПОСОБОМ ЗПП

Сутність способу заміни площин проекцій полягає в тому, що геометричний об'єкт залишається незмінним, а площини проекцій послідовно замінюються доти, поки ми не прийдемо до одного з чотирьох можливих відповідей, до одного з зображень на площині проекцій, де й одержимо відповідь простим виміром на кресленні.

Н

Рис. 2.7

а рис.2.7 показана схема одержання нової фронтальної проекції точки А на площині проекцій П₄, що розташована перпендикулярно до горизонталь-ної площини проекцій П₁. Зберігається ортогональний напрямок проектування.

На кресленні нова проекція точки А знаходиться на лінії проекційного зв'язку, що перпендикулярна нової осі і відстань від нової проекції точки до нової осі дорівнює відстані від замінної проекції точки до старої осі.

На рис.2.8 приведено розв’язання задачі ЛТ, тобто одержання нової проекції відрізка прямої у вигляді точки. Розв’язання задачі потребувало двох послідовних замін.

На рис.2.9 приведено розв’язання задачі ПН, тобто визначення натуральної величини плоскої фігури. Для цього було виконано дві заміни площин проекцій. Спочатку площина П₂ була замінена на площину П₄ (при цьому одночасно визначився кут нахилу  площини трикутника АВС до горизон-тальної площини проекцій), а потім площина П₁ була замінена на площину П₅.

2.5. ОБЕРТАННЯ НАВКОЛО ЛІНІЇ РІВНЯ. СУМІЩЕННЯ

Обертання навколо ліній рівня застосовується для розв’язання планіметричних задач. Сутність цього способу полягає в тому, що при обертанні точки навколо осі, перпендикулярної до площини проекцій, площина обертання точки перпендикулярна до осі обертання. Це дозволяє визначити центр і радіус обертання.

Розглянемо конкретний приклад.

Визначити натуральну величину кута між прямими a і b обертанням навколо горизонталі.

Розв’язання. Проводимо горизонталь h, відмічаємо точки А и В на осі обертання. Через точку S проводимо площину , перпендикулярну осі обертання h. На кресленні (рис.2.10) цьому відповідає проведення через S₁ сліду-проекції горизонтально-проектуючої площини . Відмічаємо точку О – центр обертання ( ) і визначаємо натуральну величину радіуса обертання ОS способом прямокутного трикутника. Відмітимо, що пряма SА в нашому випадку паралельна фронтальній площині проекцій і на кресленні S₀А₁ дорівнює S₂А₂.

Ця обставина використовується в способі суміщення – це є обертання навколо сліду. На рис.2.11 показане суміщення точки А з горизонтальною площиною проекцій обертанням навколо горизонтального сліду h⁰. Відрізок фронтального сліду XF₂ відкладений в натуральну величину XF на площині проекцій П₁ таким чином, що точка F попадає на траєкторію переміщення точки F при обертанні навколо сліду h⁰.

2.5. Матеріали для підготовки до контрольної роботи № 1

РОЗДІЛ 3. БАГАТОГРАННИКИ ТА КРИВІ ПОВЕРХНІ.

У перетині граного тіла площиною, в загальному випадку одержимо багатокутник.

3.1. ПЕРЕТИН ГРАНИХ ТІЛ ПЛОЩИНОЮ.

Багатокутник перетину можна одержати двома способами:

1. Визначити його вершини, що з'єднуються в деякій послідовності, і таким чином, одержати сторони цього багатокутника.

2. Визначити прямі, на яких знаходяться сторони його. Потім, на отриманих прямих визначити вершини шуканого багатокутника перетину, з'єднуючи які, оформити креслення з урахуванням видимості його сторін.

У першому випадку, використовується перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії для визначення вершин багатокутника перетину – спосіб ребер.

В другому випадку, використовується друга основна позиційна задача курсу нарисної геометрії для визначення прямих багатогранника перетину способом граней.

Спосіб ребер може застосовуватися для будь-яких граней багатогранника, спосіб граней – тільки для його граней перпендикулярних площинам проекцій. Отже, спосіб граней раціонально застосовувати для прямих призм. Розглянемо приклади використання цих способів для побудови трикутника перетину MNK.

С

Задача. Побудувати перетинтрикутноїпохилоїпірамідиплощиною (mn).

ПОСІБ РЕБЕР: Побудувати трикутник MNK перетинання похилої піраміди SABC із площиною(mn).

Р

Задача. Побудувати перетин прямої трикутної призми площиною (mn).

Рис. 3.1 Спосіб ребер

Рис. 3.2 Спосіб граней

озв’язання задачі способом ребер виконується в такій послідовності(Рис.3.1):

1. Визначаємо точку М перетину ребра піраміди AS із площиною (mn).

• Укладаємо ребро AS у допоміжну фронтально - проектуючу площину;

• Знаходимо лінію 12 перетину допоміжної площини з заданою;

• Визначаємо шукану точку М перетину ребра піраміди AS із площиною (mn).

2. Аналогічно визначаємо точки N, K перетину ребер BS, CS із площиною (mn).

3. Оформляємо трикутник перетину MNK з урахуванням видимості граней піраміди.

СПОСІБ ГРАНЕЙ: Побудувати трикутник MNK перетину прямої трикутної призми ABC із площиною (mn).

Розв’язання задачі способом граней виконується в такій послідовності (Рис.3.2):

1. Визначаємо сторону MN перетину грані ВР із площиною (mn).

• Будуємо лінію 12 перетину площини грані ВР із площиною (mn).

• Визначаємо точки M, N перетину прямої 12 з ребрами В і С призми АВС.

2. Аналогічно визначаємо точки М, K перетину ребер В, А с площиною (mn).

3. Оформляємо трикутник перетину MNK з урахуванням видимості граней призми.

Аналізуючи розглянуті два способи визначення багатокутника перетину граного тіла площиною, робимо висновок - спосіб ребер поглинає в собі собою спосіб граней. Виділення останнього, як окремого способу, виправдано для площин-граней, що проектуються в відрізок прямої, але його доцільно назвати способом двох ребер. Спосіб двох ребер може застосовуватися як для ребер належних, так і для ребер, що не належать до однієї грані.

СПОСІБ ДВОХ РЕБЕР: Побудувати багатокутник перетину прямої шестикутної призми площиною (mn).